中考前的函数复习

１８　中学教与学　南　　；尊　｜廖　蘑髫　李桂强　应多搜集这方面的问题，对学生进行有针对　性的训练．　（江苏省徐州市王杰中学，２２１００４）　函数是近代数学的重要基础，也是中考　的重点内容之一．深刻理解函数的不同表现　形式，增强解答函数相关问题的能力，是提高　中考数学成绩的一项基本功．那么，在初三最　后阶段如何进行函数的复习呢？我们认为，　宜从“基本要求”和“较高要求”人手，并通过　适量和高效率的解题训练，掌握各种数学变　换和问题转化的技能，以达到熟练驾驭所学　知识的目的．　１基本要求　１．２会在具体问题中分辨常量、变量的意　义；了解函数的概念和三种表示方法；能确定　简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题　中的函数的自变量取值范围，并会求出函　数值．　例３下列函数中，自变量　的取值范　围是　＞２的函数是（　）．　（Ａ）ｙ＝厢（ｃ）ｙ　（Ｂ）），＝　（Ｄ）），　１．１理解直角坐标系及点的坐标的意义．　例ｌ在平面直角坐标系中，请你任意　写出一个点的坐标，且使该点在第三象限，你　所选择的点的坐标是——．　（２００５，湖南省中考题）　例２　如图　ｌ，围棋盘的左下　（２００６，江苏省苏州市中考题）　＇　１　例４若　（，一　１，Ｙ１）、Ｎ（一去，Ｙ２）、　Ｐ（　，　３）三点都在函数Ｙ＝号（ｋ＜０）的图　像上，则Ｙ。、Ｙ　、Ｙ，的大小关系为（　（Ａ）Ｙ２＞Ｙ３＞Ｙ１　（Ｃ）Ｙ３＞Ｙ１＞Ｙ２　）．　角呈现的是一局　围棋比赛中的几　手棋．为记录棋　（Ｂ）Ｙ２＞Ｙ１＞Ｙ３　（Ｄ　），３＞Ｙ２＞Ｙ１　（２００４，山东省潍坊市中考题（实验区））　谱方便，横线用　数字表示，纵线　用英文字母表　图１　示，这样，黑棋①的位置可记为（Ｃ，４），白棋　②的位置可记为（Ｅ，３）．则黑棋⑨的位置应　记为．评注：此两例均是常规性试题，对常规性　试题要力保不出错．只有这样，才能将数学中　考成绩保持在较高的水平上．　１．３能结合图像（或图表）对简单实际问题　中的函数关系进行分析；能用适当的函数表　示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；　结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化　规律进行初步预测；探索具体问题中的数量　关系和变化规律．　例５甲、乙两个工程队分别同时开挖　两段河渠，所挖河渠的长度ｙ（ｍ）与挖掘时间　　（２００６，江苏省苏州市中考题）　评注：这类试题多是让学生在新情境中　应用所学的基础知识来解决问题．综观近两　年各地中考试题的低档题部分，其开放程度　正逐渐增强，命题方式也力求新颖．在复习时　维普资讯 http://www.cqvip.com ２１３０８年第１期　１９　（ｈ）之间的关系如　Ａ、Ｂ、Ｃ三点，当　≥０　Ｙ　Ｊ　图２所示．请根据　时，其图像如图３所　４　图像所提供的信息　示．、　２　●　ｌ　一　解答下列问题：　（１）求抛物线的解　０　：　ｊ　（１）乙队开挖　－２　析式，写出抛物线的顶　—４　。　到３０　ｍ时，用了　图２　点坐标；　ｈ：　（２）画出抛物线　圈。　开挖６　ｈ时，甲队比乙队多挖了——ｍ．　Ｙ＝　＋如＋ｃ当　＜０时的图像；　（２）请你求出：　（３）利用抛物线Ｙ＝似　＋　＋ｃ，写出　①甲队在０≤　≤６的时段内，Ｙ与　之　为何值时，Ｙ＞０．　间的函数关系式；　（２ｏ０６，江苏省南通市中考题）　②乙队在２≤　≤６的时段内，Ｙ与　之　评注：这些试题基于学生已有的经验进　间的函数关系式．　行设计，利用图表或文字提供信息，考查学生　（３）当　为何值时，甲、乙两队在施工过　对各种信息进行识别、理解、选择、整合、转　程中所挖河渠的长度相等？　化，进而解决问题的能力．一般来讲，这些试　（２００６，河北省中考题（实验区））　题设置比较灵活，无模式可寻，主要考查学生　评注：这类试题通过设置较好的问题情　的数学学习能力．　境来加强对学生学习数学的过程的考查．因　１．５结合具体情境体会和分析一次函数、正　此，复习时应多设置一些实验操作、自主探索　比例函数、反比例函数、二次函数的意义，根　的问题情境来训练学生，以体现课程标准中　据已知条件确定函数表达式；能用一次函数、　关于“评价的主要目的是为了全面了解学生　正比例函数、反比例函数、二次函数解决简单　的学习历程”的要求．　的实际问题；根据实际问题确定自变量取值　１．４理解一次函数、正比例函数、反比例函　范围，并会求出相应的函数值；在解决实际问　数的图像，会用描点法画出反比例函数及二　题的最值时，要分析函数取最值时，对应的自　次函数的图像，根据函数的图像和解析式探　变量的值是否在取值范围内．　索其性质（图像的变化）；会确定二次函数图　像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求　例８某块试验　推导）．　田里的农作物每天　例６已知一次函数ｙ＝似＋ｂ（口、ｂ是　的需水量Ｙ（ｋｇ）与生　常数），　与Ｙ的部分对应值如表１　长时间　（ｄ）之间的　囊１　关系如图４所示．这　些农作物在１０　ｄ、　图４　一２　—１　Ｏ　１　２　３　３０　ｄ的需水量分别为２　０００　ｋｇ、３　０００　ｋｇ，在　，，　６　４　２　Ｏ　一２　—　４０　ｄ后每天的需水量比前一天增加１００　ｋｇ．　那么，方程似＋ｂ＝０的解是——；　（１）分别求出　≤４０和　＞１４０时Ｙ与　之间的关系式；　不等式似＋ｂ＞０的解集是——．　（２）如果这些农作物每天的需水量大于　（２００５，江苏省徐州市铜山区中考题（实　或等于４　０００　ｋｇ时需要进行人工灌溉，那么，　验区））　应从第几天开始进行人工灌溉？　例７已知抛物线Ｙ＝似　＋　＋ｃ经过　（２ｏｏ６，江苏省南京市中考题）　维普资讯 http://www.cqvip.com ２０　评注：近两年的中考试题从多个层面展　示了数学应用的广泛性，揭示了数学源于生　活、寓于生活、用于生活的基本事实，着力实　现数学的文化性、应用性与理论性的有机结　合，以促进学生综合文化素质的形成与提高．　２较高要求　２．１通过建立直角坐标系，领会平面图形及　其变换与数的运算之间的关系，体会直角坐　标系是数形结合的好工具；会在直角坐标系　中将函数图像进行几何变换，并求出变换后　的函数解析式；会利用函数图像与坐标轴的　关系或函数图像之问的关系找到等量与不等　量的关系；会用观察、画图或计算器等手段估　计方程的解．　１　例９函数Ｙ＝　的图像如图５所示，在　同一直角坐标系内，如果将直线Ｙ＝一　＋１　沿Ｙ轴向上平移２个单位后，那么，所得直线　＾　与函数Ｙ＝÷的图像的交点共有——一个．　（２００５，江苏省淮安市金湖区中考题（实　验区））　ｙ　／　，　ｌ　●　一　、　ｌ　图５　‘　图６　例ｌＯ图６是规格为８×８的正方形网　格，请在所给网格中按下列要求操作：　（１）请在网格中建立平面直角坐标系，使　点Ａ坐标为（一２，４），点　坐标为（一４，２）；　（２）在第二象限内的格点上画一点ｃ，使　点ｃ与线段ＡＢ组成一个以ＡＢ为底的等腰　三角形，且腰长是无理数，则点Ｃ的坐标是　——～，△ＡＢＣ的周长是（结果保留　根号）；　（３）画出△ＡＢＣ以点ｃ为旋转中心、旋　中学教与学　转１８０。后的△Ａ　ｃ，联结　和Ａ　Ｂ，试说　出四边形ＡＢＡ　Ｂ　是何特殊四边形，并说明　理由．　（２００６，江苏省扬州市中考题）　评注：这类试题或要求学生在方格纸上　建立适当的直角坐标系，描述特殊点的坐标，　或要求学生在直角坐标系中进行图形变换，　感受图形变换后点的坐标的变化，考查学生　对重要概念和数学思想方法的深层次理解与　灵活运用．这是课程改革的突出特点之一，也　是近年中考命题主要趋势之一．对此，我们在　复习时应给予足够的关注．　２．２会判断实际问题中函数、函数解析式、　图像之间的相互关系；能从特殊点、图像位　置、图像变化趋势、图像与坐标轴关系、两个　简单图像之间关系等方面认识图像，并能从　代数的角度认识图像的性质；能解决较复杂　的函数、方程、不等式等知识的综合应用题．　例ｌ１课题研究：现有边长为１２０　ｔｉｎ的　正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口　的水槽，使通过水槽的水的流量最大．　初三（１）班数学兴趣小组经讨论得出结　论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面　面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为　此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：　（１）方案①：把它折成横截面为直角三角　形的水槽，如图７．　若　ＡＣＢ＝９０￣，设ＡＣ＝　ｅｍ，该水槽的　横截面面积为Ｙ　ｃＩｎ２，请你写出Ｙ关于　的函　数关系式（不必写出　的取值范围），并求：　当　取何值时，，　的值最大？最大值又是　多少？　Ａ　。　曰Ｃ　图７　・图８　方案②：把它折成横截面为等腰梯形的　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００８年第１期　２ｌ　｛≥＞教法与学法　◇　衡凰蛔游　勰法　王连福　（天津市塘沽区第二中学，３００４５０）　一般地，几何题都有各自的常规解法．但　则丽ＰＥ＋　ＰＦ＝　．　是，在特定条件下，还会产生特殊解法．　１．线段的和差的特殊解法　因为ＢＰ＋ＣＰ＝ＢＣ，所以，　众所周知，证明线段的和差一般多采取　ＰＥ＋ＰＦ＝ＡＢ．　截长法、补短法和面积法．而某些题，运用比　证法２：图形中有很多直角三角形，且之　例法、三角法或代换法则能更巧妙地完成．　中又有　ＤＢＣ＝　Ｃ，故考虑用锐角三角函　例１如图１，已　数表示线段ＰＥ、ＰＦ和ＡＢ．　知△ＡＢＣ中，　＝　因为　ＢＥＰ＝　ＰＦＣ＝　Ａ＝０，故有　０，Ｄ是ＡＣ上一点，　ＰＥ＝ＢＰｓｉｎ　ＤＢＣ，　ＢＤ：ＤＣ，Ｐ是ＢＣ上　Ｂ　Ｐ　Ｃ　ＰＦ＝ＰＣｓｉｎ　Ｃ，　的任意点，阳上ＢＤ　图１　ＡＢ＝ＢＣｓｉｎ　Ｃ．　于点Ｅ，ＰＦ上ＡＣ于　点Ｆ．求证：ＡＢ＝ＰＥ＋ＰＦ．　由于ＤＢ＝ＤＣ，有　ＤＢＣ＝　Ｃ．所以，　证法１：考虑到图形中存在相似三角形，　ＰＥ＋ＰＦ＝ＢＰｓｉｎ　ＤＢＣ＋ＰＣｓｉｎ　Ｃ　＝故从比例线段着手探讨求证．　（ＢＰ＋ＰＣ）ｓｉｎ　Ｃ＝ＢＣｓｉｎ　Ｃ＝ＡＢ．　易证△ＢＰＥ∽△ＣＰＦ∽△ＣＢＡ．有　点评：这两种证法都很巧妙，也很独特、　ＰＥＡＢ　新颖．不仅未添加任何辅助线，而且能够从中　一一　一一ＢＰ—ＣＰ—ＲＣ‘　复习相似比例、锐角三角函数等知识．　水槽，如图８．　本，抓好基础，并以主干知识为框架，把各个　若　ＡＢＣ＝１２０。，请你求出该水槽的横　局部知识有机融合，形成一个条理化、有序化　截面面积的最大值，并与方案①中的Ｙ的最　和网络化的知识体系，将重点放在知识的内　大值比较大小．　在联系上，引导学生既要挖掘知识的纵向联　（２）假如你是该兴趣小组的成员，请你再　系，又要注意知识的横向联系．另外要特别强　提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面　调的一点是，对课题研究的考查方式，例１１　面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数　不失为一个好的范例．该试题主要考查了学　据（不要求写出解答过程）．　生通过观察、实验、操作、猜想等手段，最终解　（２００５，江苏省淮安市金湖区中考题（实　决问题的能力．课题研究是课程改革的亮点　验区））　之一，因此，复习时教师仍然要注意引导学生　评注：类似这样的试题多以函数为载体，　动手实践、自主探索与合作交流，进而促进学　既考查了函数的基本知识，又考查了其与方　生良好的学习方式的建立．　程、几何等相关联的知识．复习时应立足课