工程测量平面坐标系统的建立

郭红霞

1

王军德

1

张俊山

2

（1.郑州测绘学校，河南郑州，450005； 2.河南省地震局，河南郑州，450000）

The Establishing of an Engineering Surveying Plane Coordinate System

GUO Hong-xia，WANG Jun-de

[摘要] 本文讨论了地面长度投影到参考椭球面及椭球面长度投影到高斯平面所引起的长度变形，并结合实例给出了几种平面直角坐标系统的实现方法，对解决平面控制测量中的投影变形问题有很好的指导意义。 [关键词] 参考椭球面；高斯平面；长度投影变形；子午线；投影基准面；

平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面以及将椭球面长度再投影到高斯平面均会引起长度变形。国家坐标系统为了控制长度变形，虽然采用了分带投影，以满足测图的基本要求，但长度变形依然存在，尤其是在离子午线越远的地区变形越大。如果不考虑长度变形的影响，将不能满足大范围工程项目勘测和施工放样的要求。

如何根据实际情况来合理确定测区子午线、变换投影基准面，以建立符合工程需要的平面直角坐标系统呢？本文将首先讨论两次投影的变形情况，以及工程平面坐标系统方案的选择原则，然后给出几种坐标系统方案的实现方法，并用实例加以说明以帮助工程人员解决实际工程中所遇到的投影变形问题。

一、两项投影的长度变形：

在控制测量计算中，有两项投影计算会引起长度变形：一个是地面水平距离（一般是高于椭球面的）投影到参考椭球面，这将引起距离变短；一个是参考椭球面距离投影到高斯平面，这将导致距离变长。下面讨论两项变动的大小情况。

1、地面水平距离投影到椭球面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作

ΔS1=－

Hd (1) R0式（1）中：H为边长两端点的平均高程， R为当地椭球面平均曲率半径，d0为地面水平距离。 其中，R计算公式如（2）式

RC， （2） 2Va2且C,V1e'2cos2B

b式中，a为椭球长半轴，b为椭球短半轴，e为椭球第二偏心率，B为测区平均大地纬度。

表1中列出了在不同高程面上依（1）式计算的每公里长度投影变形值和相对变形值。R的概值取作6370km。

表1 不同高程面上高程投影每公里长度投影变形值和相对变形值 H(m) ΔS1(mm) 50 -7.8 100 -15.7 150 -23.5 200 -31.4 300 -47.1 500 -78.5 1000 -157 2000 -314 3000 -472 'ΔS1 S111111 12740063700426003180021200127001 63701 31801 2120由表1可知，高于椭球面的地面水平边长投影到椭球面总是距离变短。投影变形的绝对值与H成正比，随H的增大而增大，而且当H=150m时，每公里长度变形即接近2.5cm ，相对变形接近14万。

当投影面不是参考椭球面，而是某个高程为H0的投影面时，则（1）式变为

S1HH0 （3） R2、椭球面距离投影到高斯平面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作

y2m•S （4） S22R2式（4）中：S为椭球面边长，R为当地椭球面平均曲率半径，ym为投影边两端y坐标（去掉500km常数）的平均值。表2中列出了不同ym时每公里长度投影变形值和相对变形值。计算时取B=35°，R=63702m。

表2 不同ym时高斯投影每公里长度投影变形值和相对变形值

ym（km） ΔS2(mm) 10 1.2 20 4.9 30 11.1 40 19.1 50 30.8 60 44.3 70 60.4 80 78.8 90 99.8 100 123 ΔS2 S1111111111 810000200000900005000032500226001660012700100008100 由表2可知，投影变形与ym的平方成正比，离子午线越远，变形越大。约在ym＝45km处每公里变形2.5cm，相对变形14万。

综合以上两种变形，最后的投影长度变形为

HH0y2mSS1S2d0•S

R2R2近似的写为

y2mHH0)S （5） S(22RR二、工程测量平面直角坐标系统方案

工程控制网作为各项工程建设施工放样测设数据的依据，为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在数值上应尽量相等。也就是说，由上述两项投影改正而带来的长度变形（ΔS＝ΔS1＋ΔS2）综合影响应该在一定数值之内。正是基于此项考虑，根据工程地理位置和平均高程的大小，可以采用下述三种坐标系统方案：

1、当长度变形值不大于2.5cm/km，可直接采用高斯正形投影的国家统一3°带平面直角坐标系统； 2、当长度变形值大于2.5cm/km，可采用：①投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统；②投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系统；③投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统。

2

3、面积小于25km的小测区工程项目，可不经投影采用平面直角系统在平面上直接计算。 三、变换投影基准面和子午线的地方坐标系

前述的1，3两种方案无须多作解释，读者一看就能明白。这里仅介绍第2种方案的三种情况。 前已导出，要使控制网变形小，即要求基本做到

y2mHH0)S0 （6） SS1S2(2R2R由对此式的不同处理可导出几种不同的工程测量平面直角坐标系统方案。

（一）投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统；

这种方案的思路是地面观测值仍然归算到参考椭球面，但高斯投影的子午线不是标准3°带子午线，而是按工程需要来自行选择一条子午线。用这条子午线，边长的高程投影和高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消。

由于投影基准面仍然为参考椭球面，故H00，则（6）式变为

yH(m2)•S0 （7） 2RR解得

ym即当ym满足上式时边长的两项投影互相抵消。

【例】某测区相对于参考椭球面的高程Hm=500m ，为使边长的高程投影及高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消，依上式算得

22RH （8）

ym263700.580km

即选择与该测区相距80km处的子午线作子午线。这样，在测区，边长的高程投影和高斯投影引起的长度变形能基本互相抵消。但是，当y80km时，也即该测区的其它地方仍然会有变形，用不同的y值代入（5）式计算，当y=66Km时，每公里变形为 –2.5cm，当y=91.5Km时，每公里变形为2.5cm。

即最大抵偿带宽不超过25公里。由此看出，这种方案的有效抵偿带宽不可能宽，有较大的局限性。

（二）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带平面直角坐标系统；

这种方案的思路是在不改变国家标准3°带子午线的情况下，不再投影至参考椭球面而是投影至某个抵偿高程面，从而得到地面上边长的高斯投影长度改正与归算到基准面上的高程投影改正相互抵偿的相同效果。

在保持子午线不变，即ym不变的前提下，由（6）式可解得

y2m H0H （9）

2Ry2m这就是说，如果把地面边长投影至高程为H0H的高程面上，而不是投影至参考椭球面上，则高

2R程投影引起的长度变形ΔＳ1与高斯投影引起的长度变形ΔＳ2能够互相抵消。

2不过，测区是个范围，而不是一个点。式中的ym应如何取值呢？高斯投影长度变形S2ym ，对22222于一个测区，必有ym的最小值（y）min和最大值（y）max，显然，我们既不能取ym（y）min ，又不

能取ym=(y)max,而应取

22(ym)min(ym)maxy= (10)

22m22用这样的ym带入（9）式算出的Ｈ0，可使整个测区边长变形综合最小。当然实际选用时，如果结合测区地势情况，需要时对ym稍作变动效果会更好。

【例】某测区相对于参考椭球面的平均高程Ｈ＝1000m，在国家标准3°带内跨越的y坐标范围为-80km～-50km，若不变换子午线，求能抵偿投影变形的高程抵偿面。

22(50)2+(80)2【解】 y==4450

22m即 ym=-66.7km

y2m4450106H0H=1000-=650.7m

2R26370000即选Ｈ0＝650m的高程面作控制网的投影基准面最为合适。事实上，最小变形在y0=-66.7km处，因为

(66.7)210.65y2mHH0)1000≈0 ΔＳ＝（）×1000＝（222637063702RR最大变形在y1=-50km和 y2=-80km处，分别为-0.024m和＋0.024m。

这种坐标系统的实现步骤，一般是先算出基准面为参考椭球面的国家标准3°带控制网坐标，再将控制网缩放至抵偿高程面。这样做的好处是有两套坐标，其中一套是国家标准系统的坐标，另一套为抵偿高程面坐标。至于控制网缩放至高程抵偿面的做法，请读者参看下面方案（三）的例子。

从上面的例子的计算结果也可看出，若不变换子午线，仅靠选择抵偿高程面，其抵偿范围也是有限的，上例中的有效抵偿带宽仅为30km。

（三）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统。

这种方案的思路结合了前两种方案的一些特点，既将子午线移动至测区中部，又变换了高程投影面。当测区东西向跨度较大，需要抵偿的带宽较大时，即可采用此种方案。

该方案同时要求

ΔS1=HH0·d0＝0 （11） Ry2m•S＝0 （12） ΔS2 = 22R这里H0表示投影基准面的高程。

由（11）式解得

HH0

此时边长的高程投影变形为零。若H0取测区平均高程面Hm，或略低于该平均高程面，则各边长高程投影近似为零。

由（12）式解得

ym=0

这表示要求测区在子午线附近。

根据以上两种要求，这种坐标系的作法是将高斯投影的子午线选为测区内或附近某一合适的子午线；而高程投影面选为测区平均高程面Hm或比它稍低一些的高程面上。

因为这种坐标系的变形最小，许多离国家标准3°带子午线较远的城市多采用这种坐标系，常称作城市坐标系或地方坐标系。下面详细介绍这种坐标系的实现步骤。

1、选择合适的地方带子午线L0

在测区内或测区附近选择一条整5′或整10′的子午线作子午线。例如河南某城市的城市地方坐标系子午线取作112°30′，某县城的城市坐标系子午线取作115°25′。

2、已知点换带计算

将当地的国家控制网已知点坐标通过高斯反、正投影计算，换算成子午线为L0的地方带坐标系内的坐标。

3、计算控制网的地方带坐标（第1套地方坐标）

将地面观测值（包括边长）先投影至参考椭球面，再投影至所选子午线的高斯平面，然后进行平差计算。获得的坐标，高程投影基准面仍为参考椭球面（或似大地水准面），而子午线则为地方子午线。可称作第一套地方坐标。这套坐标系的好处是，可通过坐标换带与国家标准坐标系统互算。这样，地方控制网与国家控制网就是联系紧密的统一系统。

4、选高程投影面H0

高程投影面H0一般选测区平均高程面Hm，或最好稍低一点的面。H0取至整10米。

5、计算地方带平均高程面坐标（第2套地方坐标）

（1）在测区内（最好在中心区）选择点P0作为控制网缩放的不动点。P0点的坐标（x0 ,y0）在控制网缩放前后保持不变。点P0可以是一个实有的控制点，也可以是一个人为取定的坐标点。

（2）计算控制网缩放比例k

kRH0 （13） R式中：R为当地椭球面平均曲率半径，用公式（2）计算得到；H0为所选高程投影面。

（３）计算各点第２套地方坐标

xi2x0(xi1x0)k

yi2y0(yi1y0)k （14）

这里的下标１，２分别代表第１套、第２套地方坐标。i代表除不动点Ｐ0以外的所有点，包括已知点。由以上两式计算出来的坐标即为子午线为地方子午线Ｌ0，高程投影面为Ｈ0的第２套地方坐标系。它适合于工程应用。

【例】某测区有2个已知点（坐标如表3所示），平面坐标采用北京坐标系统，高程为56年黄海高程系统，测区距离子午线114°约-91km～-87km，测区平均正常高程约为400m，高程异常约为38m，两项投影变形的综合影响约在

11~之间，不能满足工程施工需要，现准备采用投影于抵偿高

3000040000程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系统。

表3 某测区已知点的国家标准3°带高斯平面直角坐标

点 名 1.谢庄西 2.蝎子山 X 3816697.421 381400576 Y 38409493.713 38412975.234 H常 495.665 431.905 【解】1、选择合适的子午线

根据工程勘测提供的测区1：10000地形图，确定测区地方带坐标系统的子午线经度采用113°。 2、已知点换带计算

通过高斯反、正投影计算，将“谢庄西”和“蝎子山”两已知点从114°子午线国家坐标换算至以113°为子午线的地方坐标。结果如表4所示。

表4 换带至113°子午线的已知点高斯平面直角坐标 点 名 1.谢庄西 2.蝎子山 X 3816257.086 3813659.006 Y 501365.862 504872.877 H常 495.665 431.905 3、计算控制网的地方带坐标（第1套地方坐标） 利用第2步中计算得到的以113°为子午线的两已知点坐标作为已知数据，对平面控制网进行平差计算，获得平面控制网中各控制点的第1套地方坐标。如表5所示。

表5 改变子午线所得到的控制网第1套地方坐标

点 名 1.谢庄西 2.蝎子山 3.万羊碑 4.孤堆坡 5.薛家庄 6.五交公司 X 3816257.086 3813659.006 3814961.956 3812810.803 3815594.534 3814828.401 Y 501365.862 504872.877 500908.590 502020.178 504350.101 502686.250 H常 495.665 431.905 483.302 393.133 452.473 405.696 4、选高程投影面H0

由于测区平均正常高程约为400m，而测区高程异常约为38米，故我们选取H0=440m高程面作为高程投影面。

5、计算地方带平均高程面坐标（第2套地方坐标）

因为点“五交公司”基本位于测区，故选择点“五交公司”作为控制网缩放的不动点P0。由于测区平均纬度约为34°27'，计算得到当地椭球面的平均曲率半径

RC6399698.901786370307.496，根据（13）式计算出控制网的缩22V10.006738521468•(COS(3427'))放系数为kRH01.000069070449 。利用k再根据（14）式即可计算出各控制点的第2套地方坐R表6 改变高程投影面所得到的控制网第2套地方坐标 点 名 1.谢庄西 2.蝎子山 3.万羊碑 4.孤堆坡 5.薛家庄 6.五交公司 X 3816257.185 3813658.925 3814961.965 3812810.6 3815594.587 3814828.401 Y 501365.771 504873.028 500908.467 502020.132 504350.216 502686.250 标，如表6所示：

本例中也可采用测区附近的任一整数坐标点位作为不动点P0，如(3815000,503000)，测量人员可依据实际情况自行合理确定。

四、结论

上述三种方案，实践中可根据具体情况灵活选用。一般来说，对于城市坐标系统和范围较大的工程测

量坐标系统，以将子午线选在测区中部的方案为最好；在此基础上，如果需要，再将控制网缩放至比测区平均高程面或稍微低一点的高程面上。

参考文献

[1] 杨国清，李明海.控制测量学 [M].郑州：郑州测绘学校校内教材.

[2] 中国有色金属工业总公司.工程测量规范（GB50026-93）.北京：中国计划出版社.

作者简介

郭红霞，（1972-），河南卫辉人，讲师，毕业于武汉测绘科技大学，主要从事工程测量教学工作。