人教课标版高中数学必修1研习教材重难点：单调性与最大(小)值

研习点1. 增函数与减函数

1.增函数与减函数的概念（重点） 一般地,设函数f(x)的定义域为I:

增函数的定义:如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function).如右图所示.

减函数的定义:如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数

f(x)在区间D上是减函数(decreasing function).如右图所示.

yf(x)f(x1)x1f(x2)x2图3xyf(x)f(x1)x1f(x2)x2x图4从增函数的定义可以看出, 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数yx2（如右图），当

x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.

函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.另外,在某个区间上的两个自变量x1,x2与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的，而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式：设x1,x2a,b，那么

fx1fx2（1）fx1fx20fx在a,b是增函数；0fx在a,b是

x1x2x1x2减函数；

（2）x1x2fx1fx20f(x)在a,b是减函数. 2．单调性与单调区间（难点）

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此

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yf(x)f(x1)xf(x2)x2时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:

⑴函数的单调区间是其定义域的子集；增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言.有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性. 因此说函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念.

⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如右图中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)>f(x2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；

⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)f(x2), ”改为“f(x1)f(x2) 或

f(x1)f(x2),”即可；

⑷定义的内涵与外延：

内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函

数，图象下降则为减函数.

思考：函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数f(x)在区间D上单调”与“区间D是函数f(x)的单调区间”这两句话,你认为一样吗? 【辨析·比较】 单调区间的书写要求

由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数f(x)在其定义内的两个区间A、（减）函数，一般不能认简单地认为f(x)B上都是单调增

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在区间AB上是增（减）函数.例如f(x)1在区间(,0)上是减函数，在区间x(0,)上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)上是减函数.事实上，若取x111x2，有f(1)11f(1)，这是不符合减函数的定义的. 典例1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.

【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图（1）中 f(x)的单调区间有3,1,(－1,0),0,1,1,3.其中在 3,1和 0,1上是减函数,在 (－1,0)和 1,3上是增函数.图（2）中 g(x)的单调区间有,和

223,223,,其中在和 ,2222上都是减函数. 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

3．单调性的判断与证明（难点）

用定义法判断或证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的方法步骤： (1) 任取x1，x2∈D，且x1(3)变形（通常是因式分解和配方）； (4) 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

(5) 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）. 【梳理·总结】 判断函数的单调性常用的结论

（1）函数yf(x)与yf(x)的单调性相反；

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（2）当函数yf(x)恒为正或恒有负时，y相反； 1与函数yf(x)的单调性f(x)（3）函数yf(x)与函数yf(x)C（C为常数）的单调性相同； （4）当C0（C为常数）时，yf(x)与yCf(x)的单调性相同；当C0（C为常数）时，yf(x)与yCf(x)的单调性相反； （5）函数f(x)、g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)仍是增（减）函数； （6）若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是增（减）函数；若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是减（增）函数； （7）设f(x)0，若f(x)在定义域上是增函数，则nf(x)、kf(x)(k0)、fn(x)(n1)都是增函数，而1是减函数. f(x)典例2. 讨论函数f(x)1x2的单调性.

【研析】定义域 {x|1≤x≤1} 在[1,1]上任取x1,x2且x1212222(1x12)(1x2)1x1x2122=

x22x121x1x2122(x2x1)(x2x1)1x1x2122

2∵x1x2 ∴x2x10 另外，恒有1x121x20

∴若1≤x10 则f(x1)f(x2)0 f(x1)>f(x2) ∴ 在[1，0]上f(x)为增函数，在[0，1]上为减函数. 4.复合函数的单调性

①关于复合函数的单调性.

如果函数yfu,ugx在区间D上定义,

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若yfu为增函数, ugx为增函数,则yfgx为增函数; 若yfu为增函数, ugx为减函数,则yfgx为减函数; 若yfu为减函数, ugx为减函数,则yfgx为增函数; 若yfu为减函数, ugx为增函数,则yfgx为减函数. ②关于分段函数的单调性.

gx,xa,b若函数fx,gx在区间a,b上是增函数, hx在区间

hx,xc,dc,d上是增函数,则fx在区间a,bc,d上不一定是增函数,若使得fx在

区间a,bc,d上一定是增函数,需补充条件: gbhc

【梳理·总结】从图象上看出函数的单调性利用图像判断函数的单调性时，如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是上升的，那么就说函数在这一区间上是增函数，这个区间就是它的单调递增区间.如果函数在定义域内的某一区间上图像自左向右是下降的，那么就说函数在这一区间上是减函数，这个区间就是它的单调递减区间.

典例3.已知f(x)82xx2,若g(x)f(2x2)试确定g(x)的单调区间和单调性

【研析】该题考察了复合函数的单调性.要记住“同向增、异向减”的规则.函数的定义域为R，分解基本函数为gf(t)t22x8和t2t2.

显然gf(t)t22x8在(1,)上是单调递减的，(,1)上单调递增； 而t2x2在(,0),(0,)上分别是单调递增和单调递减的.且

2x21x1，

根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0).

研习点2.函数的最大值与最小值

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最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ① 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ① 对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ② 存在x0∈I，使得f(x0) = M. ③ 那么，称M是函数y=f(x)的最小值.

1 函数最大注意：○（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，○

都有f(x)≤M（f(x)≥M）.

【探究·发现】 判断函数的最大（小）值的方法 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值; ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值: ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).

典例4.当x[0,1]时，求函数f(x)x2(26a)x3a2的最小值 【研析】函数yf(x)图象的对称轴为方程为x3a1,从而

1当3a10，即a时，0,1是f(x)的递增区间，f(x)minf(0)3a2；

32当3a11，即a时，0,1是f(x)的递减区间，f(x)minf(1)3a26a3；

312当03a11，即a时，f(x)minf(3a1)6a26a1 33 6 / 7

从而f(x)min(a)3a23223a6a3 (a3)6a26a1(1a2)331 7 / 7