南充高中2012年面向省内外自主招生考试数学试题及答案

南充高中2012年面向省内外自主招生考试

数 学 试 卷

（时间：120分钟 满分：150分）

一、填空题（每小题6分，共84分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）） 1、已知ab3,ab1,则ab 2、若xx10则2x3xx 3、若x0,xy0,则yx1xy5

4、123201120122011321等于 的平方 5、在有理数范围内分解因式：(x3)(x1)(x2)(x4)24

6、甲、乙、丙三名学生分20支相同的铅笔，每人至少1支，则不同的分配方法有 种 7、已知a、b、2分别为三角形三边的边长，且a、b为方程(3x4x1)(3x4x5)12的根（a、b可以相等），则三角形的周长为

8、一动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知动点P每秒前进或后退1个单位,设xn表示第n秒时点P在数轴的位置所对应的数（如x44,x55,x64）.则x2012 22332329、关于x的方程x223x1k有四个相异的实数根，则k的取值范围是 10、ABC中，B90,AB7,BC24.ABC内部有一点P到各边的距离相等，则这个距离为 11、某中学派41名学生参加南充市中学生田径运动会，其中得金牌的12人，得银牌的5人，得铜牌的8人，同时得金、银牌的2人，同时得金、铜牌的6人，同时得银、铜牌的3人，同时得金、银、铜牌的1人，那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 人.

12、已知直线AB的方程为：ykxm经过点A(a,a),B(b,8b)(a0,b0).当b是整数时，满足条

a件的k

13、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD3,BC9,AB6,CD4.若EF//BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为

14、若x表示不超过实数x的最大整数，例如3.13,3.14，则方程：xx3的解为 2ADE B

7（13

题

F C 二、选择题（每小题5分，共20分, 下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）

15、当式子x1x2x3x1999取得最小值时,实数 7x的值是（ ）

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A．1 B．999 C．1000 D．1999 16、计算113234113234+

2423（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2 17、已知

1x1则的值为（ ） x(0x1).x2x18x A．7 B．7 C．5 D．5 18、如图，过ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定ADE,特别地，当点D与E重合时，规定A0.对B、C作类似的规定.给出下列结论: BE1A①若C90,A30,则A1,C. 2．②若A1,则ABC为直角三角形.

③若A1,则ABC为钝角三角形；若A1,则ABC为锐角三角形. ④若ABC0,则ABC为等边三角形. 其中,正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（共46分）

19、（10分）如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OBOC3OA.27B D E 7（18题图） C

5直线yx1过点B且与y轴交于点D，E为抛物线顶点.若DBC,CBE, （1）求抛物线对应的方程； （2）求的值.

(19题图) C A 13y D O 5B x E第 2 页 共 6 页

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20、（10分）已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PCAB,交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E.求证: PC2PDPEACCB

21、（12分）若关于x的方程

（20题图） Ｅ A C · O B

F P D 2kx1kx1只有一个解（相等的解也算作一个），求k的值. 2x2x2xx第 3 页 共 6 页

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22、（14分）已知抛物线yx23xc过两点(m,0)、(n,0)且m33m2(c2)m2nc8,抛物线与双曲线yk的交点为(1,d). xkx⑴求抛物线与双曲线的解析式；

⑵已知点P(x0)上，它们的横坐标分别为a,2a,,2012a,O为坐标原点，1,P2,,P2012都在双曲线y,S2SPP,S3SPP,点Q在双曲线y(x0)上，记S1SPP过Q作QMy轴于M，记SSQMO. 12O13O14O求S1S2S2011kxSSS的值. 232012第 4 页 共 6 页

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数学试卷答案

一、 填空题答案：

1． 36 2. 1 3． -4 4． 2012 5．(x2)(x3)(x2x8) 6． 171 7．16或20 8． 506

339．0k2 10． 3 11． 26 12． 9或15 13． 39 14、

5二、选择题答案：15 C 16 D 17 C 18Ｃ 三、解答题、 19、（1）解：易知，D(0,1),C(0,3),A(1,0),B(3,0).则ya(x1)(x3)a1. 从而抛物线对应的解析式为yx22x3 （４分） （2）解：由（1）可知E(1,4)于是BC32,CE2,BE25. BC2CE2BE2,BCE为直角三角形.

5

故tanCE1OD1.又tanDBO,则 CB3OB3DBO.故DBOOBC45. （１０分）

20、证明：

延长ＰＣ交⊙O于Ｇ，由割线定理，得

PDPE=PFPG.由相交弦定理,得ACCB=CFCG直径ABFG,CF=CGACCB=CF2.PDPE=PFPG=（PC－CF)(PC+CG)=(PC-CF)(PC+CF)=PC2CF2PDPEACCBPCCFCFPC2.即 PCPDPEACCB （１０分） 21、解：原分式方程可化为

2222

kx22x10.（x0,x2) ①

（1）当k0时，x是分式方程的一个解. （4分） （2）当k0时，=24k0时，k1,x1是分式方程的一个解. （8分）

（3）当k0时，0时，方程 ①的两个根一个是分式方程的增根，另一个是分式方程的根.当x2212第 5 页 共 6 页

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是分式方程的增根时,代人方程①得k(2)22(2)10k.此时, 方程①的另一个根x是分式方程的一个解；

当x0是分式方程的增根时,代人方程①得k022010不可能成立.

故k的取值为0或1或. （12分） 22、解：依题意有

342334m(m23mc)2(mn)c82 m3mc0mn3c2

抛物线的解析式为yx23x2 （2分） 因为抛物线与双曲线的交点为（1,d),d12312,d2于是kdk21

2所以，双曲线的解析式为y=. （4分）

x2（２）解：点P1、Pn1(n1,2,,2011)都在双曲线y=(x>0)上,

x且横坐标分别为a（,n1)a,所以，点P1、Pn1的纵坐标分别为、22

a(n1)a过点P1作直线a1//x轴交y轴于A1,过Pn1作直线bn1//y轴交x轴于Bn+1、交a1于Cn1. 则SnSP1Pn1O(n1)aa(n1)a（8分）

设Q(x1,y1)(x10)则y12121a2a22212n(n1)aa=n. (n1)a2n1a(n1)a21于是SSQMOx1y11 （10分） x12SSS故S1S2S2011232012122011111(1)(2)(2011)232012232012 12201112011(12011)2011201122025077 （14分）

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