2011-2015历年全国高考解析几何题目汇总·2016高考适用

(2015课标Ⅱ，20，12分)已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点

，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边

形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.

(2014安徽，19，13分)如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x(p1>0)和E2：

y2=2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点. (1)证明：A1B1∥A2B2； (2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值.

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(2013安徽，18，12分)设椭圆E： +=1的焦点在x轴上. (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

(2)设F1，F2分别是椭圆E的左，右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上.

(2013山东，22，13分)椭圆C：

+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，

离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明出这个定值.

+

为定值，并求

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(2012湖南，21，13分)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x-5)2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

(1)求曲线C1的方程；

(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

(2011山东，22，14分)已知动直线l与椭圆C：

+=1交于P(x1，y1)，Q(x2，

y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点. (1)证明： +和+均为定值； (2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值； (3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

？若存在，

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(2011四川，21，12分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当|CD|=

时，求直线l的方程；

·为定值.

(2)当点P异于A、B两点时，求证：

(2014福建，9，5分)设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( ) A.5 B. + C.7+ D.6

(2014湖北，9，5分)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.

B.

C.3 D.2

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(2015湖北，21，14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，

N绕O

转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C的方程；

(2)设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值.若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

图1

图2

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(2014浙江，21，15分)如图，设椭圆C： +=1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.

(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b.

(2014课标Ⅰ，20，12分)已知点A(0，-2)，椭圆E：

+=1(a>b>0)的离心率

为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

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(2013浙江，21，15分)如图，点P(0，-1)是椭圆C1： +=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.

(2013课标全国Ⅰ，20，12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

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(2012浙江，21，15分)如图，椭圆C： +=1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分. (1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

(2015北京，19，14分)已知椭圆C： +=1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；

(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

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(201川，20，13分)如图，椭圆E： +=1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点.当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2. (1)求椭圆E的方程；

(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

=

恒

(2014山东，21，14分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形. (1)求C的方程；

(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， (i)证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

(ii)△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

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(2013湖北，21，13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1)当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由.

(2012福建，19，13分)如图，椭圆E：

+=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点

为F2，离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

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(2012江西，20，13分)已知三点O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|+|=·(+)+2. (1)求曲线C的方程；

(2)动点Q(x0，y0)(-2[第219页 第7题] (2011湖南，21，13分)如图，椭圆C1：

+=1(a>b>0)的

离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长. (1)求C1，C2的方程；

(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. (i)证明：MD⊥ME；

(ii)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得=？请说明理由.

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