第三章 3.2 第一课时 函数的零点,二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

第一课时 函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、

不等式解集之间的关系

课标要求 1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点. 2.理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系，能借助二次函数的图像求一元二次不等式的解集. 素养要求 1.通过求函数的零点，培养数算素养. 2.通过二次函数的图像、零点、方程、不等式解集之间关系的对应，培养联系、转化的思想观点，提升逻辑推理、直观想象素养.

教材知识探究

如图已知函数f(x)＝x＋1的图像.

问题 (1)写出方程f(x)＝0的解集A； (2)写出不等式f(x)>0的解集B； (3)写出不等式f(x)<0的解集C； (4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？

(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？ 提示 (1)A＝{－1} (2)B＝(－1，＋∞) (3)C＝(－∞，－1) (4)A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅

(5)A∪B∪C＝R

1.函数的零点 零点不是点

(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.

(2)α是函数f(x)的零点⇔(α，0)是函数图像与x轴的公共点.

(3)当函数图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点；当函数图像通过零点但不穿过x轴时，函数值不变号，该零点叫做函数的不变号零点.

(4)两个零点把x轴分为三个开区间，在每个开区间上所有函数值保持同号. 2.二次函数的零点与其对应的二次方程、不等式的解集之间的关系 a>0与a<0时不等式的解集不同 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：

(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2(x10，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，f(x)<0的解集为(x1，x2)；,

若a<0，则不等式f(x)>0的解集为(x1，x2)，f(x)<0的解集为(－∞，x1)∪(x2， ＋∞).

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点(x0，0).,若a>0，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞)，f(x)<0的解集为∅；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为∅，f(x)<0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞).

(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点.,若a>0，不等式f(x)>0的解集为R，f(x)<0的解集为∅；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为∅，f(x)<0的解集为R.

教材拓展补遗

[微判断]

1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(×)

提示 函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点.(√) 3.一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为R.(√)

4.对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根.(×)

提示 对f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，函数只有一个零点. [微训练]

1.函数y＝2x－1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是________. 11

解析 令y＝0，得2x－1＝0，∴x＝2，与x轴的交点为2，0.

11

答案 2，0，2 

2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________.

1

解析 由9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0，∴只有3x＋1＝0即x＝－3时，不等式才成

1

立，即其解集为－3.



答案

1

－ 3

1

3.设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x－1＜x＜3，则ab的值为________.



1

解析 由题意知a<0，且－1，3为方程ax2＋bx＋1＝0的两根， 根据根与系数的关系，得 1b－1＋＝－3a，

11

－1×3＝a，a＝－3，∴∴ab＝6. b＝－2，答案 6 [微思考]

1.求一元二次不等式解集的常用方法是什么？ 提示 因式分解法、配方法、图像法.

2.ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立的充要条件是什么？ a>0，提示 

Δ<0.

3.二次函数常有几种设法？

提示 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； b24ac－b2

(2)顶点式：f(x)＝ax＋2a＋4a(a≠0)；

(3)零点式(两根式)：

f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2是二次函数的零点.

题型一 求一元二次不等式的解集

二次项系数为负时，可先化为正，再解不等式.别忘了前面学过的配方法和因式分解法

【例1】 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6. 解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0. ∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 1

方程(2x－1)2＝0的根为x＝2. 1

∴4x2－4x＋1≤0的解集为2.



(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6， ∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1规律方法 当所给不等式不是一般形式的不等式时，应先化为一般形式.在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要结合相对应的一元二次方程的根的情况以及对应的二次函数的图像. 【训练1】 求下列不等式的解集： (1)2x2－x＋6>0；

1

(2)－2x2＋3x－5>0； (3)(5－x)(x＋1)≥0.

解 (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点. ∴原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，

∵方程x2－6x＋10＝0的判别式Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅.

(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.

题型二

求含参数的一元二次不等式的解集

关注引起讨论的因素，分类的标准

【例2】 解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. 解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0， 解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}. (2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0， 2

对应方程的两个根为x1＝a，x2＝2. 2

①当02，

2所以原不等式的解集为xx>a或x<2； 

2

②当a＝1时，a＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； 2

③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为

a

2xx>2或x<.

a

2

(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝a，

22

x2＝2，则a<2，所以原不等式的解集为xa

综上，当a<0

2时，原不等式的解集为xa当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；

2

当0a或x<2；



当a>1

2时，原不等式的解集为xx>2或x规律方法 含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数且另一端是零；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.

【训练2】 求关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0的解集.

解 (1)当m＝0时，原不等式化为－3<0，一定成立，故不等式解集为R. (2)当m≠0时，原不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 31

当m>0时，解得－m当m＜0时，解得m综上，m＝0时，原不等式解集为R；m>0m<0

1331

时，原不等式解集为x－m题型三 三个“二次”间对应关系的应用

【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1，2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.

解 由题意知1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两根. 由根与系数的关系，可得 －a＝1＋2，a＝－3，

即 b＝1×2，b＝2，∴不等式bx2＋ax＋1>0， 就是2x2－3x＋1>0.

由2x2－3x＋1>0，得(2x－1)(x－1)>0，

1

所以x<2或x>1.

1－∞，∴bx＋ax＋1>0的解集为∪(1，＋∞). 2

2

规律方法 1.已知不等式的解集求参数，要运用函数的零点与对应不等式的解集之间的关系来解决.

2.常运用根与系数的关系(韦达定理)列方程(组)求出参数.

【训练3】 若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3解 ∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3－3＋4＝－a，b＝－a，

由韦达定理得即

cc＝－12a.

－3×4＝a，

∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，∴(x－5)(x＋3)＜0，

故所求的不等式的解集为{x|－3【例4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)2的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.

解 令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1，由此可画出f(x)的图像的示意图.

∴f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(－1，1)∪(1，＋∞)， f(x)≤0的解集为[－2，－1]∪{1}.

规律方法 1.分解因式，求得函数的零点；

2.写不等式的解集常用标根引线法，奇次因式的根要穿过(变号零点)，偶次因式的根(不变号零点)要穿而不过.

【训练4】 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)3(x－1)的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集. 解 令f(x)＝0，得

f(x)的零点为－2，－1，1. 由此可画出f(x)图像的示意图，

∴f(x)>0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)，f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，1].

一、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升学生的数算、逻辑推理、直观想象素养. 2.求一元二次不等式解集的常用方法有因式分解法、配方法和图像法(包括示意图法)，图像法是基本方法.对于含有参数的一元二次不等式，要注意分类讨论. 3.会利用二次函数与x轴的交点、零点及其对应方程的解集、不等式解集之间的相互关系解决有关问题. 二、素养训练

1.不等式2x2－x－1>0的解集是( ) 1A.－2，1 

C.(－∞，1)∪(2，＋∞)

B.(1，＋∞)

1

D.－∞，－2∪(1，＋∞) 

解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0， 1

解得x>1或x<－2，

1

－∞，－∴不等式的解集为∪(1，＋∞). 2答案 D

2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7B.2 D.4

21

解析 由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝a，a＝3.

答案 C

3.已知函数y＝f(x)具有奇偶性且存在多个零点，则这些零点之和为________. 解析 奇、偶函数的零点关于原点对称，所以它们的和为零. 答案 零

4.函数f(x)＝x3－4x的零点为________.

解析 ∵f(x)＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)，∴f(x)的零点为－2，0，2. 答案 －2，0，2

5.解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0(a>－1).

解 (1)当a＝0时，原不等式化为x－1>0，∴不等式的解集为{x|x>1}； 1

当a≠0时，方程ax＋(1－a)x－1＝0的两根为x1＝－a，x2＝1.

2

11

(2)当a>0时，－a<1，∴不等式的解集为xx>1或x<－a；



11

(3)当－1＜a＜0时，1<－a，∴不等式的解集为x1综上，a>0－11

时，不等式的解集为xx>1或x<－a；a＝0

时，不等式的解集为{x|x>1}；

11基础达标

一、选择题

1.函数y＝x2－4的图像与x轴的交点坐标及函数的零点分别是( )

A.(0，±2)；±2 C.(0，－2)；－2

B.(±2，0)；±2 D.(－2，0)；2

解析 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2，0)，函数的零点为±2. 答案 B

2.函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2

D.3

解析 令f(x)＝0即x3－2x2＋2x＝0，

得x(x2－2x＋2)＝0.

∵x2－2x＋2＝0无解，∴x＝0，∴f(x)的零点为0. 答案 B

3.不等式x2－4x＋5>0的解集为( ) A.(－1，5) C.R

解析 令x2－4x＋5＝0， 则Δ＝(－4)2－4×5×1＝－4<0， ∴原不等式的解集为R. 答案 C

4.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A.(－2，6)

C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)

B.[－2，6] D.{－2，6}

B.(－∞，－1)∪(5，＋∞) D.∅

解析 由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0， ∴m＞6或m＜－2. 答案 C

5.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，则f(x)的零点个数为( ) A.1 007 C.2 014

B.1 008 D.2 015

解析 因为f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 007个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1 007个.所以f(x)的零点共有1 007＋1 007＋1＝ 2 015 (个). 答案 D 二、填空题

6.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________. 解析 由题意知－4，2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数关系，可得－4＋2＝－a，a＝2，解得 －4×2＝b，b＝－8.答案 2 －8

x2＋2x－3，x≤0，

7.函数f(x)＝的零点为________. 2

－2＋x，x＞0解析 令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3， 又x≤0，∴x＝－3是函数一个零点； 令－2＋x2＝0得x＝±2. 又x＞0，∴x＝2为函数的零点. 故f(x)的零点为－3，2. 答案 －3，2

3

8.若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为2，则f(1)＝________.

33

解析 因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为2，所以2是方程2x2－ax＋3＝093

的一个根，则2×4－2a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0. 答案 0 三、解答题

9.已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1. (1)m为何值时，函数的图像与x轴有两个交点； (2)如果函数的一个零点是0，求m的值. 解 (1)函数图像与x轴有两个交点，则 m－1≠0， Δ＝（－4m）2－4×2（m－1）（2m－1）＞0，1

解得m＞3且m≠1.

(2)0是函数的一个零点，∴f(0)＝0， 1

∴2m－1＝0，∴m＝2. 10.若不等式ax＋bx＋c≥0＋a<0的解集.

1

解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－3≤x≤2，



2

1

的解集为x－3≤x≤2，求关于

x的不等式cx2－bx

1

知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－3，2， 1b－＋2＝－3a，52∴∴b＝－3a，c＝－3a.

1c－×2＝3a，25

∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为－3ax2－－3ax＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.

又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，即(2x＋1)(x－3)<0，

1

∴所求不等式的解集为x－2能力提升

11.已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点. (1)求m的范围；

(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值. 解 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时， 函数为y＝－14x－5，显然有零点； 当m＋6≠0，即m≠－6时， 则Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1) 5

＝－36m－20≥0，得m≤－9. 5

∴当m≤－9且m≠－6时，二次函数有零点. 5

综上，m的取值范围是－∞，－9.

(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有 2（m－1）m＋1

x1＋x2＝－，x1x2＝. m＋6m＋6x1＋x211

∵x＋x＝－4，即xx＝－4， 1212∴－

2（m－1）

＝－4，解得m＝－3.

m＋1

且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意， ∴m的值为－3.

12.已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围. 解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∵y＝f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x， x2－2x， x≥0，

∴f(x)＝2

－x－2x， x＜0.

(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1； 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，

根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1).