一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
1、设全集U=R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1 5 2、已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=( ) 13 12 A.- 135C. 13 3 5B.- 1312D. 13 π 3、已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=( ) A.57 C.57 B.61 D.61 314、已知α是锐角,a=,sin α,b=cos α,,且a∥b,则α为( ) 34 A.15° C.75° 5、若10=5,10=2,则a+b等于( ) A.-1 C.1 B.0 D.2 abB.45° D.15°或75° 6、已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为( ) A.4 cm C.8 cm 22 B.6 cm D.16 cm 2 2 7、如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( ) 43 A.π 3C.3 π 3 1B.π 2D.3π 6 8、点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( ) A.30° C.60° B.45° D.90° 9、已知直线x-3y-2=0,则该直线的倾斜角为( ) 1 A.30° C.120° B.60° D.150° π10、要得到函数y=3sin2x+的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象( ) 4 π A.向左平移个单位 4π C.向左平移个单位 8 π B.向右平移个单位 4π D.向右平移个单位 8 11、函数y=xcos x+sin x的图象大致为( ) 12、若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则(x-1)f(x)<0的解是( ) A.(-3,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-3,0)∪(1,3) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13、设sin 2α=-sin α,α∈ π,π,则tan 2α的值是________. 2 →→ 14、在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为________. 41+,x≥4, 15、已知函数f(x)=xlog2x,0 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤). ................... 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实 17、(10分) 已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为θ. (1)若a∥b,求a²b; (2)若a-b与a垂直,求θ. 2 π5π3 18、(12分) 已知sin(α- )=,cos(-β)=,且0,0,求 4134224cos(α-β)的值. 19、(12分) 已知圆C:x+y-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD为直径的圆E的方程; (2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围. 20、 (12分) 如图所示,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱锥VABC的体积. 2 2 3 21、(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|< )的最大值为22,最小值2为-2,周期为π,且图象过0,- 24 . (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 22、(12分)已知函数f(x)=loga(2x+1),g(x)=loga(1-2x)(a>0且a≠1), (1)求函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域; (2)判断F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)确定x为何值时,有f(x)-g(x)>0. 4 新化一中2017年高一上学期期中测试数学(理科选修)试题 时 间:120分钟 满 分:150分 命题人:胡胜虎 审题人:吴文凯 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 1、设全集U=R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1 解析: 阴影部分所表示集合是N∩(∁UM), 又∵∁UM={x|-2≤x≤2}, ∴N∩(∁UM)={x|1 2、已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=( ) 1312 A.- 135C. 13 5B.- 1312D. 13 122解析: ∵α为第二象限角,∴cos α=-1-sinα=-. 13答案: A π 3、已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=( ) 3 A.57 C.57 B.61 D.61 3 π2解析:由题意可得a²b=|a|²|b|cos =3,所以|2a-3b|=(2a-3b)= 4|a|+9|b|-12a²b=16+81-36=61. 答案:B 22314、已知α是锐角,a=,sin α,b=cos α,,且a∥b,则α为( ) 34 A.15° C.75° B.45° D.15°或75° 43 31 解析: ∵a∥b,∴sin α²cos α=³, 5 1 即sin 2α=. 2 又∵α为锐角,∴0°<2α<180°. ∴2α=30°或2α=150°. 即α=15°或α=75°. 答案: D 5、若10=5,10=2,则a+b等于( ) A.-1 C.1 解析: ∵a=lg 5,b=lg 2, ∴a+b=lg 5+lg 2=lg 10=1,故选C. 答案: C 6、已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为( ) A.4 cm C.8 cm 22 abB.0 D.2 B.6 cm D.16 cm 2 2 2r+l=8,r=2, 解析: 由题意得解得 l=2r.l=4. 12 所以S=lr=4(cm). 2答案: A 7、如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( ) 43A.π 3C.3 π 3 1B.π 2D.3π 6 解析: 由题意知,该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥,圆 锥的半径为1,高为3,故所1132 求体积为³³π³1³3=π,选D. 236 答案: D 8、点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6 解析: 利用正方体求解,如图所示:PA与BD所成的角,即为PA与PQ所成的角,因为△APQ为等边三角形,所以∠APQ=60°,故PA与BD所成角为60°,选C. 答案: C 9、已知直线x-3y-2=0,则该直线的倾斜角为( ) A.30° C.120° 解析: 直线x-3y-2=0的斜率k=答案: A π10、要得到函数y=3sin2x+的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象( ) 4π A.向左平移个单位 4π C.向左平移个单位 8 π B.向右平移个单位 4π D.向右平移个单位 8 B.60° D.150° 3 ,故倾斜角为30°,选A. 3 πππ解析:因为y=3sin2x+=3sin2x+,所以由y=3sin 2x的图象向左平移个单位可488π得y=3sin2x+的图象. 4 答案:C 11、函数y=xcos x+sin x的图象大致为( ) π 解析: 当x=时,y=1>0,排除C. 2 π 当x=-时,y=-1,排除B;或利用y=xcos x+sin x为奇函数,图象关于原点对称,排 2除B. 当x=π时,y=-π<0,排除A.故选D. 答案: D 12、若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则(x-1)f(x)<0的解是( ) A.(-3,0)∪(1,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) 7 C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(1,3) 【解析】 ∵f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,∴在(-∞,0)内f(x)也是增函数, 又∵f(-3)=0,∴f(3)=0,∴当x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,f(x)<0;当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0,∵(x-1)²f(x)<0, ∴ x-1<0, fx>0 或 x-1>0, fx<0, 解可得-3<x<0或1<x<3, ∴不等式的解集是(-3,0)∪(1,3),故选D. 【答案】 D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13、设sin 2α=-sin α,α∈ π,π,则tan 2α的值是________. 2 解析:因为sin 2α=-sin α,所以2sin αcos α=-sin α. π因为α∈,π,sin α≠0, 2 1 所以cos α=-. 2 2π又因为α∈,π,所以α=π, 32 π4π所以tan 2α=tan π=tanπ+=tan =3. 333答案:3 →→ 14、在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为________. →→→→ 解析: ∵∠ABO=90°,∴AB⊥OB,∴OB²AB=0. →→→ 又AB=OB-OA=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t), ∴(2,2)²(3,2-t)=6+2(2-t)=0. ∴t=5. 答案: 5 41+,x≥4, 15、已知函数f(x)=xlog2x,0 8 f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________. 【解析】 关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根, 等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点, 作出函数的图象如下: 由图可知实数k的取值范围是(1,2). 【答案】 (1,2) 16. 已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________. π解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sinωx+, 4 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称, πππ2 所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω²ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω=+2kπ, 424 k∈Z. πππ22 又ω-(-ω)≤,即ω≤,所以ω=,所以ω=. 2422答案: π 2 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤). ................... 17、(10分) 已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为θ. (1)若a∥b,求a²b; (2)若a-b与a垂直,求θ. 解析: (1)∵a∥b,∴θ=0°或180°, ∴a²b=|a||b|cos θ=±2.……………………………………………………………5’ (2)∵a-b与a垂直,∴(a-b)²a=0, 2即|a|-a²b=1-2cos θ=0, ∴cos θ= 2. 2 又0°≤θ≤180°,∴θ=45°. ……………………………………………………………10’ 9 π5π3 18、(12分) 已知sin(α- )=,cos(-β)=,且0,0,求 4134224cos(α-β)的值. πππ12 解析: ∵0<α- <,∴cos(α- )=. 42413πππ ∵-<-β<0,∴sin(-β)=- 244∴cos(α-β)=cos[(α- β)=12’ 19、(12分) 已知圆C:x+y-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD为直径的圆E的方程; (2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围. 解析:(1)将圆C的方程x+y-8y+12=0配方得标准方程为x+(y-4)=4, 则此圆的圆心为C(0,4),半径为2. 所以CD的中点E(-1,2),|CD|=2+4=25, 所以r=5, 故所求圆E的方程为(x+1)+(y-2)=5. ………………………………………………………6’ (2)直线l的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. |0-4+2k|3若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离>2,解得k<.……………12’ 2 4k+120、 (12分) 如图所示,在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱锥VABC的体积. (1)证明:因为O,M分别AB,VA的中点, 所以OM∥VB. 又因为VB⊄平面MOC. 所以VB∥平面MOC………………………………………………………………………………4’ 2 22 2 2 2 2 2 2 2 π42 1-cos-β=-.……………6’ 45 ππππππ )+(-β)]=cos(α- )cos(-β)-sin(α- )sin(-444444 16 .……………………………………………………………………………………………………65 10 (2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点, 所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC, 所以OC⊥平面VAB. 又OC⊂平面MOC. 所以平面MOC⊥平面VAB. ……………………………………………………………………………8’ (3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2, 所以AB=2,OC=1. 所以等边三角形VAB的面积S△VAB=3. 又因为OC⊥平面VAB, 13 所以三棱锥CVAB的体积等于OC²S△VAB=. 33 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等, 所以三棱锥VABC的体积为 3 .…………………………………………………………………12’ 3 21、(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< π的最大值为22,最小值2 为-2,周期为π,且图象过0,- (1)求函数f(x)的解析式; 2. 4 (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解析: (1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的最大值为22,最小值为-2, 32∴A=2,B=. 22 又∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的周期为π, 2π ∴T==π,即ω=2. ω32 ∴f(x)=2sin(2x+φ)+. 22又∵函数f(x)过0,-1 即sin φ=-. 2 23222 ,∴-4=2sin φ+2, 4 11 ππ 又∵|φ|<,∴φ=-, 26 π322 ∴f(x)=sin2x-+.…………………………………………………………………8’ 622π322 (2)令t=2x-,则y=sin t+,其增区间为: 622 2kπ-π,2kπ+π,k∈Z. 22 πππ 即2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z. 262ππ 解得kπ-≤x≤kπ+. 63 ππ所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z. ……………………………………12’ 6322、(12分)已知函数f(x)=loga(2x+1),g(x)=loga(1-2x)(a>0且a≠1), (1)求函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域; (2)判断F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)确定x为何值时,有f(x)-g(x)>0. 2x+1>0, 解析: (1)要使函数有意义,则有 1-2x>0, 11-∴x .………………………3’ (2)F(x)=f(x)-g(x)=loga(2x+1)-loga(1-2x), F(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(-2x+1)-loga(1+2x)=-F(x). ∴F(x)为奇函数.…………………………………………………………………………………7’ (3)∵f(x)-g(x)>0,∴loga(2x+1)-loga(1-2x)>0, 即loga(2x+1)>loga(1-2x). 1 ①当0<a<1时,有0<2x+1<1-2x,∴- ②当a>1时,有2x+1>1-2x>0,∴0 1综上所述,当0<a<1时,有x∈-,0,使得f(x)-g(x)>0; 2 1当a>1时,有x∈0,,使得f(x)-g(x)>0. ………………………………………7’ 2 12 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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