湖南省新化县2016_201学年高一数学下学期期中试题理

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1、设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x<1} C．{x|1B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x<2}

5

2、已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )

13

12

A．－

135C. 13

3

5B．－

1312D. 13

π

3、已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝( )

A.57 C．57

B.61 D．61

314、已知α是锐角，a＝，sin α，b＝cos α，，且a∥b，则α为( )

34

A．15° C．75°

5、若10＝5,10＝2，则a＋b等于( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

abB．45° D．15°或75°

6、已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )

A．4 cm C．8 cm

22

B．6 cm D．16 cm

2

2

7、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )

43

A.π

3C.3

π 3

1B.π 2D.3π 6

8、点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

9、已知直线x－3y－2＝0，则该直线的倾斜角为( )

1

A．30° C．120°

B．60° D．150°

π10、要得到函数y＝3sin2x＋的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( ) 4

π

A．向左平移个单位

4π

C．向左平移个单位

8

π

B．向右平移个单位

4π

D．向右平移个单位

8

11、函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )

12、若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)＜0的解是( )

A．(－3,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3) D．(－3,0)∪(1,3)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、设sin 2α＝－sin α，α∈

π，π，则tan 2α的值是________．

2

→→

14、在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．

41＋，x≥4，

15、已知函数f(x)＝xlog2x，016. 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实

17、(10分) 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.

(1)若a∥b，求a²b；

(2)若a－b与a垂直，求θ.

2

π5π3

18、(12分) 已知sin(α- )＝，cos(－β)＝，且0，0，求

4134224cos(α－β)的值．

19、(12分) 已知圆C：x＋y－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2，0)，且斜率为k.

(1)求以线段CD为直径的圆E的方程； (2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．

20、 (12分) 如图所示，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB∥平面MOC； (2)求证：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱锥V­ABC的体积．

2

2

3

21、（12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B (A>0，ω>0，|φ|<

)的最大值为22，最小值2为－2，周期为π，且图象过0，－

24

. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

22、（12分）已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0且a≠1)，

(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；

(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.

4

新化一中2017年高一上学期期中测试数学（理科选修）试题 时 间：120分钟 满 分：150分 命题人：胡胜虎 审题人：吴文凯 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1、设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x<2}

解析： 阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)， 又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}， ∴N∩(∁UM)＝{x|15

2、已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )

1312

A．－

135C. 13

5B．－

1312D. 13

122解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sinα＝－.

13答案： A

π

3、已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝( )

3

A.57 C．57

B.61 D．61

3

π2解析：由题意可得a²b＝|a|²|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝（2a－3b）＝

4|a|＋9|b|－12a²b＝16＋81－36＝61. 答案：B

22314、已知α是锐角，a＝，sin α，b＝cos α，，且a∥b，则α为( )

34

A．15° C．75°

B．45° D．15°或75° 43

31

解析： ∵a∥b，∴sin α²cos α＝³，

5

1

即sin 2α＝.

2

又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D

5、若10＝5,10＝2，则a＋b等于( ) A．－1 C．1

解析： ∵a＝lg 5，b＝lg 2，

∴a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C. 答案： C

6、已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A．4 cm C．8 cm

22

abB．0 D．2

B．6 cm D．16 cm

2

2

2r＋l＝8，r＝2，

解析： 由题意得解得

l＝2r.l＝4.

12

所以S＝lr＝4(cm)．

2答案： A

7、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )

43A.π

3C.3

π 3

1B.π 2D.3π 6

解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为3，故所1132

求体积为³³π³1³3＝π，选D.

236

答案： D

8、点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°

6

解析： 利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.

答案： C

9、已知直线x－3y－2＝0，则该直线的倾斜角为( ) A．30° C．120°

解析： 直线x－3y－2＝0的斜率k＝答案： A

π10、要得到函数y＝3sin2x＋的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( ) 4π

A．向左平移个单位

4π

C．向左平移个单位

8

π

B．向右平移个单位

4π

D．向右平移个单位

8

B．60° D．150°

3

，故倾斜角为30°，选A. 3

πππ解析：因为y＝3sin2x＋＝3sin2x＋，所以由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位可488π得y＝3sin2x＋的图象．

4

答案：C

11、函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )

π

解析： 当x＝时，y＝1＞0，排除C.

2

π

当x＝－时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos x＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排

2除B.

当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D. 答案： D

12、若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)＜0的解是( ) A．(－3,0)∪(1，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

7

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3,0)∪(1,3)

【解析】 ∵f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f(x)也是增函数，

又∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)＜0；当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0，∵(x－1)²f(x)＜0，

∴

x－1<0，

fx>0

或

x－1>0，

fx<0，

解可得－3＜x＜0或1＜x＜3，

∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D. 【答案】 D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、设sin 2α＝－sin α，α∈

π，π，则tan 2α的值是________．

2

解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.

π因为α∈，π，sin α≠0，

2

1

所以cos α＝－. 2

2π又因为α∈，π，所以α＝π， 32

π4π所以tan 2α＝tan π＝tanπ＋＝tan ＝3. 333答案：3

→→

14、在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．

→→→→

解析： ∵∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∴OB²AB＝0. →→→

又AB＝OB－OA＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)， ∴(2，2)²(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0. ∴t＝5. 答案： 5

41＋，x≥4，

15、已知函数f(x)＝xlog2x，0若关于x的方程

8

f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

【解析】 关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根， 等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下：

由图可知实数k的取值范围是(1,2)． 【答案】 (1,2)

16. 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

π解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋， 4

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，

πππ2

所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω²ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω＝＋2kπ，

424

k∈Z.

πππ22

又ω－(－ω)≤，即ω≤，所以ω＝，所以ω＝.

2422答案：

π

2

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

17、(10分) 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.

(1)若a∥b，求a²b； (2)若a－b与a垂直，求θ.

解析： (1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，

∴a²b＝|a||b|cos θ＝±2.……………………………………………………………5’ (2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)²a＝0， 2即|a|－a²b＝1－2cos θ＝0，

∴cos θ＝

2. 2

又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ……………………………………………………………10’

9

π5π3

18、(12分) 已知sin(α- )＝，cos(－β)＝，且0，0，求

4134224cos(α－β)的值．

πππ12

解析： ∵0<α- <，∴cos(α- )＝.

42413πππ

∵－<－β<0，∴sin(－β)＝－

244∴cos(α－β)＝cos[(α- β)＝12’

19、(12分) 已知圆C：x＋y－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2，0)，且斜率为k.

(1)求以线段CD为直径的圆E的方程； (2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．

解析：(1)将圆C的方程x＋y－8y＋12＝0配方得标准方程为x＋(y－4)＝4， 则此圆的圆心为C(0，4)，半径为2.

所以CD的中点E(－1，2)，|CD|＝2＋4＝25， 所以r＝5，

故所求圆E的方程为(x＋1)＋(y－2)＝5. ………………………………………………………6’ (2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.

|0－4＋2k|3若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离>2，解得k<.……………12’ 2

4k＋120、 (12分) 如图所示，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB∥平面MOC； (2)求证：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱锥V­ABC的体积．

(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点， 所以OM∥VB. 又因为VB⊄平面MOC.

所以VB∥平面MOC………………………………………………………………………………4’

2

22

2

2

2

2

2

2

2

π42

1－cos－β＝－.……………6’

45

ππππππ

)＋(－β)]＝cos(α- )cos(－β)-sin(α- )sin(－444444

16

.……………………………………………………………………………………………………65

10

(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点， 所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC， 所以OC⊥平面VAB. 又OC⊂平面MOC.

所以平面MOC⊥平面VAB. ……………………………………………………………………………8’

(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2， 所以AB＝2，OC＝1.

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3. 又因为OC⊥平面VAB，

13

所以三棱锥C­VAB的体积等于OC²S△VAB＝. 33

又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等， 所以三棱锥V­ABC的体积为

3

.…………………………………………………………………12’ 3

21、（12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<

π的最大值为22，最小值2

为－2，周期为π，且图象过0，－

(1)求函数f(x)的解析式；

2. 4

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解析： (1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最大值为22，最小值为－2， 32∴A＝2，B＝.

22

又∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期为π， 2π

∴T＝＝π，即ω＝2.

ω32

∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋.

22又∵函数f(x)过0，－1

即sin φ＝－.

2

23222

，∴－4＝2sin φ＋2， 4

11

ππ

又∵|φ|<，∴φ＝－，

26

π322

∴f(x)＝sin2x－＋.…………………………………………………………………8’

622π322

(2)令t＝2x－，则y＝sin t＋，其增区间为：

622

2kπ－π，2kπ＋π，k∈Z.

22

πππ

即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.

262ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋. 63

ππ所以f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋，k∈Z. ……………………………………12’

6322、（12分）已知函数f(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0且a≠1)，

(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；

(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)确定x为何值时，有f(x)－g(x)＞0.

2x＋1>0，

解析： (1)要使函数有意义，则有

1－2x>0，

11－∴x22



.………………………3’ 

(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x)，

F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－2x＋1)－loga(1＋2x)＝－F(x)．

∴F(x)为奇函数．…………………………………………………………………………………7’ (3)∵f(x)－g(x)＞0，∴loga(2x＋1)－loga(1－2x)＞0， 即loga(2x＋1)＞loga(1－2x)．

1

①当0＜a＜1时，有0<2x＋1<1－2x，∴－21

②当a＞1时，有2x＋1>1－2x>0，∴02

1综上所述，当0＜a＜1时，有x∈－，0，使得f(x)－g(x)＞0； 2

1当a＞1时，有x∈0，，使得f(x)－g(x)＞0. ………………………………………7’ 2

12