高三数学椭圆教案

一.基本知识概要

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2aF1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2aF1F2时为线段F1F2，2aF1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|

PFde，0＜e＜1的常数

。（e1为抛物线；e1为双曲线）

x2y22 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：221（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中ca2b2（一个Rt）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：221（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中ca2b2

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

223.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：xy1（a＞b＞0）有以下性质：

22ab坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）；

a2④ 准线方程：xca2；或y

c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PFac,PFminac max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

c（焦距与长轴长之比）0,1；e越大越扁，e0是圆。 ab22a2⑦ 焦准距p；准线间距

cc

⑧ 两个最大角F1PF2maxF1B2F2,A1PA2maxA1B2A2

y2x2焦点在y轴上，中心在原点：221（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

ab4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。

6.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

二.例题：

例1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭

圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。

y2x2 (2) 设椭圆1上的点P到右准线的距离为10，那么点P到左焦点的距离等于

10036_______。

(3) 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上的点，

当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率e=_______。（教材P119页例1）。

x2y2（4）已知椭圆1上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P

259的坐标是_________。 解：(1) ∵椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c，|AF|=a=3，

∴c=2，b2=5。∴椭圆方程是

x2y2x2y21，或1。 5995（2）由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。

x2y2b222(3) 设椭圆方程为221（a＞b＞0）,cab, F1（－c，0），则点P(c,)，

aabbb2由PO∥AB得kAB=kOP即，∴b=c，故e2。

aac2（4）设P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为x25， 4故

|PF1||PF2|11925119)。 ，∵|PF1|=2|PF2|，∴x，故P(,252124xx44【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a，b，c的一个关系式，然后再求e； 2)由椭圆的

一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3）结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。

x2y2例2：如图，设E：221（a>b>0）的焦点为F1与F2，且PE,F1PF22。

ab

求证：PF1F2的面积Sbtan。（图见教材P119页例2的图） 证明：设PF1r1,PF2r2，则S2221r1r2sin2,又F1F22c， 222 由余弦定理有(2c)r1r22r1r2cos2(r1r2)2r1r22r1r2cos2＝

2b2(2a)2r1r2(1cos2)2r1r2(1cos2)4a4c4br1r2

1cos222222b22sincos1sin2b2b2tan. 这样即有S22cos21cos2【思维点拨：解与PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并

结合PF1PF22a来解决。

例3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，

直线OM（O为原点）的斜率为

2，且OA⊥OB，求椭圆的方程。

2解：设椭圆方程为ax+by=1，A(x1,y1),B(x2,y2),M(

22

x1x2y1y2,). 22由xy12(ab)x2bxb10. 消去y得22axby1x1x2xx2bayy2, 1=1－1, 2ab2ab2∴

∴M(ba,),∴由kOMabab2得b22a……①; 又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即

x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴

（2b1）2b10, ∴a+b=2……②.

abab22联立①②得a2(21),b22(21)∴方程为2(21)x22(21)y1.

【思维点拨】“OA⊥OBx1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论. 例4:（备用）已知椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且∠P F1F2=1200，求tan∠F1PF2。

x2y21。 解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=3。∴椭圆方程为43(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到

|F1F2||PF2||PF1||PF2||PF1|, sinsin1200sin(600)sin1200sin(600)

∴化简可得5sin3(1cos),∴tan2sin3,

1cos5从而可求得tan∠F1PF2=

53。 11【思维点拨】解与△P F1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且

结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。

x2y2例5:（备用）（1）已知点P的坐标是(-1,3)，F是椭圆1的右焦点,点Q在椭圆上

16121移动，当QFPQ取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。

2 （2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为e33，已知点P0,这 22个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是7 的点的坐标。

解(1)由椭圆方程可知a=4,b=23,则c=2,e’

1, 2’

椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQl于点Q, 过点P作PPl于点P,则据椭圆的第二定义知,

’

’

QFQQ'e

111QFQQ',QFPQQQ'PQ

222易知当P、Q、Q在同一条线上时，即当Q与P点重合时，QQ'PQ才能取得最小

’

’

’

值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得x2。

1 因此,当Q点运动到(2,-3)处时, QFPQ取最小值9.

2x2y2(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是221ab0

abb1c2a2b23b2,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d 由e2,解得12a24aaa23a2231222则dxya2yy3y4b23

222b12

其中byb,如果b, 则当y=-b时,d取得最大值

2222723b

22

解得b=731111与b矛盾, 故必有b 当y时d2取得最大值， 2222272x2y21 4b3 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为42由y111可得椭圆上到点P的距离等于7的点为3,,3,

222三、课堂小结:

1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,,e的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).

2.在椭圆的两种标准方程中，总有a＞b＞0，c

a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.