2020-2021学年人教A版高中数学必修2学案：第1章空间几何体章末综合提升

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

空间几何体的结构特征

【例1】 (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1)A (2)D [(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是

直平行六面体，正确．

(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥

的四个侧面都是直角三角形．]

与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

[跟进训练]

1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为( )

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4

C [将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两hhh2162

棱台的高分别为x1，x2，则h＋x＝36，解得x1＝2，h＋x＋x＝

112163x12

，解得x2＝h. 故＝.] 814x23

空间几何体的表面积与体积

π

【例2】 (1)在梯形ABCD中，∠ABC＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )

A．4π C．6π

B．(4＋2)π D．(5＋2)π

(2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥 A1­BB1D1D的体积为________．

1π

(1)D (2)3 [(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－1

AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋2×2π×1×12＋12＝(5＋2)π.

(2)∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， ∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，2.

2

∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为2， 1121

∴V四棱锥A1­BB1D1D＝Sh＝×(1×2)×＝.]

3323

空间几何体的表面积与体积的求法：

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．

[跟进训练]

2．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的体积．

[解] 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

1

设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是3V. 1

而四棱锥A′­BCC′B′的体积为3Sa， 111故有3V＋3Sa＝V，即V＝2Sa.

与球有关的切、接问题

【例3】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )

4448481

A．3π B．9π C．4π D．16π

(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积32

是3π，那么这个三棱柱的体积是( )

A．963 B．163 C．243 D．483

(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P-ABCD的高，则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.

由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，

又底面边长为4, 所以AE＝22， PE＝6, 所以侧棱长PA＝PE2＋AE2＝62＋（22 ）2＝44＝211. 设

球的半径为R, 则PF＝2R. 由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解11112484π2

得R＝3，所以S＝4πR＝4π×3＝9，故选B.



(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，a313

有2×3＝R＝2，解得a＝43.故此三棱柱的体积V＝2×2×(43)2×4＝483.]

与球相关问题的解题策略：

(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．

(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．

[跟进训练]

3．已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为________．

273

ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB

2π [∵三棱锥P-＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则

正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为33

32＋32＋32＝33，∴其外接球半径R＝2.因此三棱锥P-ABC的外接球的体积V4π333273

＝＝3×

2π.] 2

莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚

的事。每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一

天，所以每一日都要更用心。这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。加油！！