函数极限习题与解析

一、填空题 1、设f(x)2xlglgx ，其定义域为 。

2、设f(x)ln(x1) ，其定义域为 。 3、设f(x)arcsin(x3) ，其定义域为 。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为 。 5、设yf(x)的定义域是[0，2] ，则yf(x)的定义域为 。

2x22xk4 ，则k= 。 6、limx3x3x有间断点 ，其中 为其可去间断点。 sinxsin2x8、若当x0时 ，f(x) ，且f(x)在x0处连续 ，则f(0) 。

xnnn9、lim(222) 。

nn1n2nn7、函数y10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的 条件。

(x31)(x23x2) 。 11、limx2x55x312、lim(1)kne3 ，则k= 。

n2nx2113、函数y2的间断点是 。

x3x214、当x时，

1是比x3x1 的无穷小。 x15、当x0时，无穷小11x与x相比较是 无穷小。 16、函数ye在x=0处是第 类间断点。

31x17、设yx1 ，则x=1为y的 间断点。 x1）））））））））） 18、已知f1则当a为 时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。 3，

333sinxx02x19、设f(x)若limf(x)存在 ，则a= 。 1x0(1ax)xx020、曲线y21、f(x)xsinx2水平渐近线方程是 。 x24x21x12的连续区间为 。

xa,x022、设f(x) 在x0连续 ，则常数

cosx,x0a= 。

二、计算题

1、求下列函数定义域 （1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ （1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1,

21 ； （2）ysinx ； 21x1x,g(x)2lnx ；

,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx(1x) ； （2）y3xx ；

（3）yx(x1)(x1) ；

4、求由所给函数构成的复合函数 （1）yu

（2）y

（3）yu222223,usinv,vx2 ；

u,u1x2 ；

,uev,vsinx ；

5、计算下列极限 （1）lim(1n111123(n1) ； n) ； （2）limn242n2

x22x1x25（3）lim ； （4）lim ； 2x1x2x3x1

x32x211（5）lim(1)(22) ； （6）lim ； 2xx2xx(x2)

x211（7）limxsin ； （8）lim ；

2x0x

（9）2xlimx(x1x) ；

6、计算下列极限 （1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx(x1x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与12(1x2) ；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）limxx(1x)x ； 16）limx0(1x)x ；

（ （ （

8、利用等价无穷小性质求极限

sin(xn)tanxsinx（1）lim ； （2）limx0x0(sinx)msinx3

9、讨论函数的连续性

(n,m是正整数) ；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x1

10、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x) ； （2）lim(xxx2xx2x) ；

6

（3）limlnx0sinx1 ； （4）lim(1)2x ；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nnxn,求limf(t11) ； t1

（6）limxln(xx1) ； x1

ex,x011、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a ，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。

（B）

1、设f(x)的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）yf(e) （2）yf(lnx)

x0,xo2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)]

f[f(x)],g[g(x)],

3、利用极限准则证明： （1）lim1n111 （2）limx[]1 ；

x0nx

（3）数列2,

4、试比较当x0时 ，无穷小2x3x2与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x) ； （2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

22x3x1) ； 2x1 （3）lim

tanxsinx ； 3x0xaxbxcxx)（4）lim(x03

1(a0,b0,c0) ；

1,x0xsin6、设f(x) 要使f(x)在(,)内连续， x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0 求f(x)的间断点，并说明间断点类型。 7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x ，且(x)0 ，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

（1）、lim[cosln(1x)coslnx] ；（2）、limxx01xsinxcosx ；

x3x252xaxsin ；（3）、求lim（4）、已知lim()9 ，求常数a 。

x5x3xxxa（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，且f(a)a,f(b)b ，

证明：在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使f() 。

第一章 函数与极限 习 题 解 析

（A）

一、填空题 （1）(1,2] （2）(1,) （3）[2 ，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3 （7）xk,kz（10）充分 （11）

,kz （5）[2,;x0 （8）2 （9）1

2]

13 （12） （13）x=1 , x=2 （14）高阶 22（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）[2,1](1,2] （22）1 二、计算题

1、（1） (,1)(1,1)(1,)

（2） [0,) （3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数

222sinx] 4、（1）y(sinx) （2）[y1x2] （3）[ye5、（1）[ 2 ] （2）[] （3）-9 （4）0 （5）2 （6） （7）0 （8）22 （9）6、（1）w （2）

2121 22121 （3）1 （4）e （5）e （6）e 5237、（1）2xx是xx的低阶无穷小 （2）是同阶无穷小

0,mn18、（1） （2）1,mn

2,mn9、不连续

10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）e （5）0 （6）-2

2 11、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0] （2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x) ，g[g(x)]0 ，

xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111 （2）提示：x(1)x[]x nnxxx （3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x5、提示： 令21t（同阶）

xxx1 （2）提示：除以2x ；e 21 （3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x1x ；

2axbxcxx) （4）提示： (33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0) （a0）

x0x08、x1是第二类间断点 ，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x ，故(x)ln(1x) ，再由ln(1x)0 ，

，x0 。

得：1x1 ，即x0 。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2x 1sinxlim(xsinx)=0 2x0x223、解：因为当x时 ，sin~ ，

xx=

3x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1eaxaxx=a=e2a 4、解：因为：9=lim()=limaexxxa1x所以e2ax9 ，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x ，F(x)在a,b上连续 ，且

F(a)f(a)a0 ，F(b)f(b)b0 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开

区间(a,b)内至少存在一点(a,b) ，使F()0 ，即f() 。

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