小题专练17-2023届高考数学一轮复习新高考版

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:复数,★)已知复数z满足(z+i)i=1+i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.(考点:集合,★)设M={x|y=log2(x+1)},N={𝑦|𝑦=(),x>0},则( ).

2A.M⊆N B.N⊆M C.RM⊆N D.N⊆RM

3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=15,则a3等于( ). A.1

B.2

C.3 D.4

𝑥2𝑦2

𝑏

𝑎

1𝑥

4.(考点:双曲线,★)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,离心率为,则双曲线C的渐近线方程为

( ). A.4x±3y=0 C.4x±5y=0

B.3x±4y=0 D.5x±4y=0

5.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)=ax2-x-c,且f(x)<0的解集为(-1,2),则函数y=f(|-𝑥|)的图象大致为

( ).

6.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(𝜔>0,0<𝜑<

1

2π3

)的图象的相邻两条对称轴

之间的距离为,若f(x)的图象过点(,

2

π

π√3),则62

f(x)的单调递减区间为( ).

A.[𝑘π+

π12

,kπ+

π

7π12

],k∈Z

B.[𝑘π-12,kπ-12],k∈Z C.[2𝑘π+

π12

5π

,2kπ+

2π3

7π12

],k∈Z

D.[𝑘π+6,kπ+

π

],k∈Z

7.(考点:排列组合,★★)某中学举行文艺晚会,已知该晚会有1个曲艺节目、4个语言节目和2个歌唱节目,

若要求2个歌唱节目不连排,则不同演出顺序的种数为( ). A.2700 B.3600

C.4500 D.00

8.(考点:函数与导数的综合,★★★)已知函数f(x)=|ln x|-ax(0B.(

ln212

,)

e

C.(0,

ln2e

) D.(ln 2,1)

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:性检验,★)下列有关性检验说法正确的是( ). A.性检验中的统计假设就是假设相关事件A,B互斥 B.性检验得到的结论不一定正确

C.性检验的基本思想是带有概率性质的反证法 D.性检验是判断两事物之间是否相关的唯一方法 10.

(考点:基本初等函数,★★)如图,西部某沙漠的风化面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat(k∈R,

且k≠0,a>0,且a≠1),则下列说法正确的是( ). A.风化面积每月增加的面积都相等 B.第8个月时,风化面积会超过120 m2

C.风化面积从2 m2蔓延到 m2只需经过5个月

2

D.若风化面积蔓延到4 m2,6m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2>t3

11.(考点:椭圆,★★)在椭圆𝑎2+𝑏2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF2|=|3PF1|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,

则该椭圆的离心率可能为( ). A.4 B.2 C.3 D.4 12.(考点:与球有关的计算,★★★)已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ

的二面角B-AC-D,若折成的四面体ABCD内接于球O,则下列说法正确的是( ). A.四面体ABCD的体积的最大值是24 B.球心O为线段AC的中点 C.球O的表面积为定值 D.球O的体积为定值

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(k,2),b=(1,3),c=(-2,1),且(2a-3b)∥c,则实数k= . 14.(考点:二项式定理,★★)(𝑥2+𝑥+y)的展开式中x2y的系数为 .

15.(考点:均值不等式,★★★)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-2y-2=0,则3a+9b的最小值

是 .

2

16.(考点:数列的综合,★★★)已知各项均为正数的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,S2n-1=𝑎𝑛,n∈N*,则数列{𝑎𝑛}

1

5

1

1

2

3

𝑥2𝑦2

的通项公式为 ;若不等式an≥

答案解析：

𝜆𝑛

𝑛+8

对于任意的n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为 .

3

1.(考点:集合,★)设M={x|y=log2(x+1)},N={𝑦|𝑦=(),x>0},则( ).

2A.M⊆N B.N⊆M C.RM⊆N D.N⊆RM

【解析】因为M={x|y=log2(x+1)}={x|x>-1},N={𝑦|𝑦=(),x>0}={y|02【答案】B

2.(考点:复数,★)已知复数z满足(z+i)i=1+i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由题意可得z=【答案】D

3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=15,则a3等于( ). A.1

B.2

5(𝑎1+𝑎5)

2

1+ii

1𝑥

1𝑥

-i=1-2i,故复数z在复平面内对应的点位于第四象限.

C.3 D.4

=15,可得a1+a5=2a3=6,所以a3=3,故选C.

【解析】由S5=【答案】C

4.(考点:双曲线,★)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,离心率为,则双曲线C的渐近线方程为

𝑎

𝑏

4

𝑥2𝑦2

5

( ). A.4x±3y=0 C.4x±5y=0

B.3x±4y=0 D.5x±4y=

0

𝑥2𝑦2

5

𝑐

5

【解析】因为双曲线𝑎2-𝑏2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,所以a=4.由离心率为4,可得𝑎=4,c=5,所以

b=√𝑐2-𝑎2=√25-16=3,所以双曲线C的渐近线方程为3x±4y=0.故选B. 【答案】B

5.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)=ax2-x-c,且f(x)<0的解集为(-1,2),则函数y=f(|-𝑥|)的图象大致为

( ).

4

【解析】因为函数f(x)=ax2-x-c,且f(x)<0的解集为(-1,2),所以-1,2是方程ax2-x-c=0的两个根,由根与系数的关

系可得-1+2=𝑎,-1×2=-𝑎,所以a=1,c=2,所以f(x)=x2-x-2.又由f(|-𝑥|)=f(|x|),可知y=f(|-𝑥|)的图象为C. 【答案】C

6.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(𝜔>0,0<𝜑<

之间的距离为,若f(x)的图象过点(,

2π

π√3),则62

2π3

1

𝑐

)的图象的相邻两条对称轴

f(x)的单调递减区间为( ).

A.[𝑘π+12,kπ+12],k∈Z B.[𝑘π-5π12

π7π

,kπ-],k∈Z

12π

7π

π

C.[2𝑘π+12,2kπ+12],k∈Z D.[𝑘π+6,kπ+

π

2π3

],k∈Z

𝑇π22

π√3

),得62

【解析】由题意得=,T=π,则ω=2.由f(x)的图象过点(,

2π

ππ

π

2π

π

sin(2×+φ)=,即sin

62

π

π√3π3

+φ=.

√3

2

又因为0<φ<,所以<+φ<π,所以+φ=,则φ=,所以f(x)=sin(2𝑥+).

3333333

令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[𝑘π+

2

3

2

12

12

π

π

3π

π

7π

π12

,kπ+

7π12

],k∈Z.

【答案】A

7.(考点:排列组合,★★)某中学举行文艺晚会,已知该晚会有1个曲艺节目、4个语言节目和2个歌唱节目,

若要求2个歌唱节目不连排,则不同演出顺序的种数为( ). A.2700 B.3600 C.4500 D.00

2

【解析】先对除歌唱节目以外的5个节目全排列,共A55种方式,再把2个歌唱节目插在6个空位中,有A6种方

5

2

式,所以不同的演出顺序共有A55A6=3600(种).

【答案】B

8.(考点:函数与导数的综合,★★★)已知函数f(x)=|ln x|-ax(0ln2e

ln212

,)

e

) D.(ln 2,1)

【解析】令y1=|ln x|,y2=ax,若函数f(x)在区间(0,4)上有三个零点,则y1=|ln x|与y2=ax的图象在区间(0,4)上有

三个交点.由图象易知,当a≤0时,不符合题意;当a>0时,易知y1=|ln x|与y2=ax的图象在区间(0,1)上有一个交点,所以只需要y1=|ln x|与y2=ax的图象在区间(1,4)上有两个交点即可,此时|ln x|=ln x,由ln x=ax,得a=

ln𝑥𝑥

.令h(x)=

ln e1e

e

ln𝑥𝑥

,x∈(1,4),则h'(x)=

ln4ln24

1-ln𝑥𝑥21e

,故函数h(x)在(1,e)上单调递增,在(e,4)上单调递

减,h(e)=【答案】B

=,h(1)=0,h(4)==2

,所以

ln22

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:性检验,★)下列有关性检验说法正确的是( ). A.性检验中的统计假设就是假设相关事件A,B互斥 B.性检验得到的结论不一定正确

C.性检验的基本思想是带有概率性质的反证法 D.性检验是判断两事物之间是否相关的唯一方法

【解析】性检验中的假设是H0:A,B,当我们拒绝H0时,A,B就相关了,所以A错误;性检验只是在

一定的可信度下进行判断,不一定正确,所以B正确;假设检验的基本思想是“在一次试验中,小概率事件不可能发生”,若小概率事件发生了,则有理由认为原假设不成立,所以C正确;性检验不是判断两事物之间是否相关的唯一方法,所以D错误.故选BC. 【答案】BC 10.

(考点:基本初等函数,★★)如图,西部某沙漠的风化面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat(k∈R,

6

且k≠0,a>0,且a≠1),则下列说法正确的是( ). A.风化面积每月增加的面积都相等 B.第8个月时,风化面积会超过120 m2

C.风化面积从2 m2蔓延到 m2只需经过5个月

D.若风化面积蔓延到4 m2,6m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2>t3

【解析】由题意可知,函数图象过点(1,1)和点(3,4),代入函数关系式y=kat(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1),得

𝑘𝑎=1,𝑘=2,{3解得{ 𝑘𝑎=4,𝑎=2,所以函数关系式为y=2×2t=2t-1.

对于A项,因为函数是曲线型函数,所以风化面积每月增加的面积不相等,故A错误. 对于B项,当x=8时,y=27=128,风化的面积超过了120 m2,故B正确.

对于C项,令y=2,得t=2;令y=,得t=7,所以风化面积从2 m2蔓延到 m2需要5个月,故C正确.

对于D项,令y=4,得t1=3;令y=6,得t2=log212;令y=9,得t3=log218.所以t1+t2=3+log212=log296>log218=t3,故D正

确. 【答案】BCD

11.(考点:椭圆,★★)在椭圆𝑎2+𝑏2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF2|=|3PF1|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,

则该椭圆的离心率可能为( ). A.4 B.2 C.3 D.4 |𝑃𝐹2|=3|P𝐹1|,3𝑎𝑎【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0),由椭圆的定义可得{解得|PF2|=,|PF1|=,

22|𝑃𝐹1|+|P𝐹2|=2a,

𝑎

2

由题意可得{3𝑎

2

1

1

2

3

𝑥2𝑦2

11

≥a-c,≤a+c,

解得≥,又0<<1,所以≤<1,

𝑎2

𝑎

2𝑎

1

𝑐1𝑐1𝑐

所以该椭圆离心率的取值范围是[2,1). 故选BCD. 【答案】BCD

12.(考点:与球有关的计算,★★★)已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ

的二面角B-AC-D,若折成的四面体ABCD内接于球O,则下列说法正确的是( ). A.四面体ABCD的体积的最大值是24 B.球心O为线段AC的中点 C.球O的表面积为定值

7

D.球O的体积为定值 【解析】如图所示,

当平面ACD⊥平面ABC时,四面体ABCD的体积最大,最大值为3×2×3×4×

11

3×4245

=5,故A错误;

𝐴𝐶5

由题意得,在四面体ABCD内,AC的中点O到点A,B,C,D的距离相等,且大小为2=2,所以点O为外接球的球心,

且球的半径R=2=2,为定值,所以球的表面积和体积都为定值.故选BCD. 【答案】BCD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(k,2),b=(1,3),c=(-2,1),且(2a-3b)∥c,则实数k= .

【解析】因为a=(k,2),b=(1,3),c=(-2,1),所以2a-3b=(2k-3,-5).又因为(2a-3b)∥c,所以(2k-3)×1-(-5)×(-2)=0,解得

k=2. 【答案】2 14.(考点:二项式定理,★★)(𝑥2+𝑥+y)的展开式中x2y的系数为 . 【解析】(𝑥++y)的展开式的通项公式为

𝑥

展开式的通项公式为

12

数为C5C4=30.

2

1

5

𝑟

Tr+1=C5(𝑥2

1

5

1313

𝐴𝐶5

+)

𝑥

15-𝑟

·yr,令r=1,则

2

1

T2=C51

1x2+𝑥5

4y.又

(𝑥+𝑥)的

2

14

𝑘

𝑘24-k18-3k,令Tk+1=C4(x)·(𝑥)=C𝑘4x

8-3k=2,则k=2,所以(𝑥++y)的展开式中x2y的系

𝑥

【答案】30

15.(考点:均值不等式,★★★)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-2y-2=0,则3a+9b的最小值

是 .

【解析】由题意可知直线过圆心,因为圆x2+y2-2x-2y-2=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,所以a+2b=2,利用均值

不等式可得3a+9b=3a+32b≥2√3𝑎·32𝑏=2√3𝑎+2𝑏.因为a+2b=2,所以3a+9b≥2√32=6,当且仅当3a=32b,即a=1,b=2时取等号. 【答案】6

2

16.(考点:数列的综合,★★★)已知各项均为正数的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,S2n-1=𝑎𝑛,n∈N*,则数列{𝑎𝑛}

1

的通项公式为 ;若不等式an≥𝑛+8对于任意的n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为 .

8

𝜆𝑛

22

【解析】因为S2n-1=𝑎𝑛,所以𝑎𝑛=

(2𝑛-1)(𝑎1+𝑎2𝑛-1)

2

=(2n-1)an,所以an=2n-1,n∈N*.因为不等式an≥𝑛+8对于任意的n∈

8

min

𝜆𝑛

N*恒成立,所以λ≤[

(𝑛+8)(2𝑛-1)

𝑛

]min

,即λ≤(2𝑛-𝑛+15),当n≥1时,f(n)=2n-𝑛+15单调递增,其最小值为f(1)=9,

8

所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 【答案】an=2n-1,n∈N* 9

9