《平方差公式》教学设计

张中华 2012年12月24日

青岛版八年级（上）第2章乘法公式与因式分解

2.1《平方差公式》教学设计

聊城市临清刘垓子中学 张中华

一、教材的地位和作用

乘法公式实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数算中经常用到，就把它们作为公式。《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，也是最基本、用途最广泛的公式之一。

二、教学目标分析 （一）知识目标

经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征； （二）能力目标

能运用公式进行简单的运算，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； （三）情感目标

让学生经历“特殊—一般—特殊”（即:特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程，积累数学活动的经验，同时体会数学的简洁美和数形结合的思想方法。培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的意识。

三、教学重点、难点

重点：经历探索并归纳平方差公式的过程，并能熟练运用公式进行简单的运算。 难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，从实际中抽象出字母符号式子的符号化的过程，

发展观察、归纳、概括等能力。 四、教法、学法分析 （一）教法分析

1、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解。

2、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用

中积累解题的经验，体会成功的喜悦。

（二）学法分析

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。

五、教学过程设计

教 教 学 设 计 问题1：美丽壮观的城市广场，是人们休闲旅游的地设 计 意 图 学 环 节 （一） 教学时，可先让学生按算式803×797，发创设情境，导方，已经成为现代化城市的一道风景线。某城市广场呈现这种算法十分繁琐。然后告诉学生学过本章长方形，长为803米，宽797米。 相关内容后，将有简单的笔算方法，以激发学你能用简便的方法计算出它的面积吗？ 问题2：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长（m+1）米，宽为（m-1）米的长方形花坛。你会计算改造后的花坛的面积吗? 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 通过对特殊的多项式与多项式相乘的计生学习本章的兴趣。 入课题 算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式 （二） （1）（m+1）（m-1）= ； （2）（5+x）（5-x）= ； （3） = ； （4）（2x+1）（2x-1）= ． 问题3：依照以上四道题的计算回答下列问题： ① 式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式。 探索根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式新知，尝试发现 的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。 先让学生观察后思考，再进行小组内交流讨论，由学生代表发言，全班统一认识。 （三） 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交 提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言总结归纳，发流，发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差表述到公式表示的过过渡，教师巡回引导，并的积，右边是这两个数的平方差，即： 集思广益。从而提高学生观察归纳、语言表达、两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的合作交流等能力。 现新知 平方差． 并猜想出： 问题5：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形（如图）.你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？ 提示：a2-b与(a+b)(a-b)都可表示该图形的面积。 2 通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结 （四） 合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联题． 在平方差公式 中，其结构特征为： ①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同通过观察平方差公式，体验公式的简洁性公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算，验证其公式的正确性．即： 数形系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问结合，几何说理 （五） 项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ； 并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清剖析 ②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式． 的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公公式，发式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。现本质 问题6：判断下列算式能否运用平方差公式计算： （1）（2x+3a）(2x–3b)； （2） ； （3）（－m+n）（m－n）； （4） ； 学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式 （六） 问题7：利用平方差公式计算： 必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体母含义广泛性的理解。 观察体会与公式的对应关系： （3x +2y）（3x –2y）=（3x）2－（2y）2 （1）（3x +2y）（3x－2y）； （2）（-7+2m2）会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字巩固（-7-2m2）. 解：（1）（3x +2y）（3x –2y） =（3x）2－（2y）2 = 9x 2－4y2 （2）（-7+2m2）（-7-2m2） =（-7）2－(2m2)2 =49－4m4 问题8：利用平方差公式计算情景导航中提出的问把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性； 运用，内化新知 解决书写操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性。 （七） 题： 即：803×797=（800+3）（800-3） 拓展=8002-32=0000-9=639991 问题9：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积． 应用，强化思维 运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务于生活，学生感受到学习了有用的数学，设计此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深学生对平方差公式的理解。 （八） 1．计算： 2．在下列括号中填上合适的多项式： 设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺小试项，关键在于理解公式结构特征，同时训练了牛刀，挑战自我 3．看谁算得快： 垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目 的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维。 （九） 问题12：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？提示：从知识和情感态度两个方面加以小结。 总结概括，自我使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．分组讨论后交流。 评价 必做题： 课本P36习题2.1 A组1、2 选做题： （十） 1．课本P36习题2.1 B组1、2 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 课后作业分层处理有较大的弹性，体现作业的作业 巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，得到不同的发展。 满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上（5）（1+1/2）（1+1/4）（1+1/16）（1+1/256） 六、教学反思：

本节课学习了平方差公式： ，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可迅速而简捷地计算出符合平方差公式特征的多项式乘法的结果。运用公式的关键要看是否符合公式的特征，在课堂上，教师要引导学生注意观察平方差公式的结构特征，从而体会平方差公式的适用特点：即这两个数分别是什么。公式中的a、b不仅可代表具体的数字、字母、单项式，也可代表多项式。

教师要特别关注学生的学习过程（包括课堂上参与教学活动的程度、合作交流意识、思考的习惯、思维的水平等），要善于激发学生的自主学习，并重视平方差公式的探索、推导过程，让学生在观察、思考、讨论、回答、小结等数学活动中掌握新知。

附：达标检测设计 一、选择题：

1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D.

2．下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. ＝25 －4 C. D. 二、填空题：

3．计算： ； 4．计算： ；

5．(_____－4b)(_____+4b)=9a2－16b2．

三、计算：

6. ； 7. ；

8． ； 9．53×47. 四、解答题：

10.已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长.

（对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况）