高一下期数学总结附例题答案

不等式

1、不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加） （5）ab,cdacbd（异向不等式相减） （6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒数关系） ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则） （12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 abab.（当仅当a=b时取等号）

2(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b| 4、不等式解法

分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb对数不等式：转化为代数不等式

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f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)含绝对值不等式

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x) 数列

等差数列

一 定义式： anan1d 二 通项公式：anam(nm)d

a1(n1)d一个数列是等差数列的等价条件：b为常数)，即an是关于n的一次函数，因为nZ，所以anananb(a，关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n项和公式：

n(a1an)n(n1)na中间项 na1d Sn22一个数列是等差数列的另一个充要条件：Snan2bn(a，b为常数，a≠0)，即Sn是关于n的二次函数，因为nZ，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论

1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

ab2.a与b的等差中项A；

2在等差数列an中，若mnpq，则

amanapaq；若mn2p，则aman2ap；

3.若等差数列的项数为2nnN，则S偶S奇nd，

S奇S偶an； an1若等差数列的项数为2n1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇S偶n n14.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设

Aa1a2an,，

Ban1an2a2n，

Ca2n1a2n2a3n，则有2BAC；

5.a10,SmSn,则前Smn(m+n为偶数)或Smn1(m+n为奇

22数)最大

等比数列

anq(n2,an0,q0){an}成等比数列。 一 定义：an1第 2 页 共 16 页

二 通项公式：ana1qn1，anamqnm

数列{an}是等比数列的一个等价条件是：

当q0且q0时，an关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。 Sna(bn1),(a0,b01，）(q1)na1n三 前n项和：Sna1(1q)a1an1q；

(q1)1q1q四 性质结论：

1.a与b的等比中项GGabGab(a,b同号)； 2.在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq；

若mn2p，则amanap2；

3.设Aa1a2an,，Ban1an2a2n，

2Ca2n1a2n2a3n， 则有B2AC

第三部分

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式， 例如：

an11an1，

2an1111是公差为2的等差数列112(n1)，从而求

2{}an1a11an11an1an11两边取倒数出an。

第二类：

(n21)ann2an1n(n1)

n1nn1anan11an是公差为1的等差数列 nn1nn1112nana1an

n1n1二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如annan1annn1an2anna!1

1】 【注: n!n(n1)(n2)求通项公式an的题，不能够利用构造等比或者构造等差求an的时候，一般通过递推来求an。

第四部分 求前n项和Sn

一 裂项相消法：

11111111122334（nn1）1,2,3,4,的前n和是：39278111111111()()()()、

1111122334nn1（+12+3+4+）+（+++）11n3927811n1n1第 3 页 共 16 页

二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

求：

Sn=x3x25x3(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn (x1)Sn=x3x25x3(2n-5)xn-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn (x1)① xSn=x23x35x4(2n-5)xn-1(2n-3)xn(2n-1)xn+1 (x1)② ①减②得：

(1x)Sn=x2x22x32xn-12xn2n1xn+1x2x21xn-11x2n1xn+1

从而求出Sn。

错位相减法的步骤：

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式 (3)用①②，错位相减 (4)化简计算

三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

例：等差数列求和：

Sn=a1a2a3an2an1anSn=anan1an2a3a2a1两式相加可得：

2Sn=a1ana2an1a3an2a3an2a2an1a1anna1anSn

解三角形

一、知识点总结 1．正弦定理:

abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC. sinAsinBsinCb2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA2a2c2b2222．余弦定理： bac2accosB 或 cosB.

2acc2b2a22bacosCb2a2c2cosC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

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5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

sin

直线与方程

一、概念理解：

1、倾斜角：1 找α：直线向上方向、x轴正方向； 2 平行：α=0°；

3 范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：1 找k ：k=tanα （α≠90°）； 2 垂直：斜率k不存在； 3 范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：ktanABCABCABCcos,cossin,tancot 222222y1y2y2y1 x1x2x2x14、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2 1 相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：<1> l1x轴，即k1不存在，则k20； <2> 斜率都存在时：k1k21 。 2 平行：<1> 斜率都存在时：k1k2,b1b2； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 3 重合： 斜率都存在时：k1k2,b1b2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

1 点斜式：yy0k(xx0) 将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可； 2 斜截式：ykxb 将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；

3 两点式：

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)

y2y1x2x1 将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接带入即可； 4 截距式：

xy1 将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可； ab 5 一般式：AxByC0 ，其中A、B不同时为0

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在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。

3、距离公式：

(x1x2)(y1y2) 推导方法：构造直角三角形“勾股定理” 1 两点间距离：P； 1P2 2 点到直线距离：d22Ax0By0CABC1C2AB2222 推导方法：构造直角三角形“面积相等”；

3 平行直线间距离：d 推导方法：在y轴截距(0,C1)代入2 式；

4、中点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2) AB中点 C (x0,y0)：(x1x2y1y2,) 22三、解题指导与易错辨析：

1、解析法（坐标法）：

1 建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； 2 依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； 3 将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。 2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： 1 PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 2 PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； 3 PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：1 含有一个未知参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0 => 必过点(-2,3)

2 含有两个未知参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)

圆与方程

一、圆的标准方程

1、圆的标准方程：(xa)(yb)r

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：

（1）(x0a)(y0b)>r，点在圆外 （2）(x0a)(y0b)=r，点在圆上 （3）(x0a)(y0b)第 6 页 共 16 页

22222222222222222

二、 圆的一般方程

1、圆的一般方程：x2y2DxEyF0

2、圆的一般方程的特点：

(1)x2和y2的系数相同，不等于0． 2 没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 三、 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆心(的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当dr时，直线l与圆C相离；（2）当dr时，直线l与圆C相切； （3）当dr时，直线l与圆C相交； 四、 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

习题

不等式：

1、 已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范围。

2、已知abc，且abc0，求c/a的取值范围。

DE,)到直线22第 7 页 共 16 页

3、正数x,y满足x2y1，求1/x1/y的最小值。

5、已知函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范围。

6、(x2)x22x30

7、(x2)(ax2)0

1、解： 3xy1*(xy)2*(xy)

根据已知条件：11*23xy12*3,13xy7 所以3xy的取值范围是1,7

2、解：由已知条件，显然a0,c0

bc,a2cabc0,a0,c/a1/2 ab,2acabc0,c2a,a0,c/a2

综上所述c/a的取值范围是2,1/2

3、解：1/x1/y1*(1/x1/y)(x2y)(1/x1/y)1x/y2y/x2 32(x/y)(2y/x)322（x,y为正数）

5、解：由习已知得：1ab2,2ab5

mn9m3 设：f(3)9a3bm(ab)n(ab) mn3n6 f(3)6*f(1)3*f(1),12f(3)27

所以f(3)的取值范围是12,27

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6、解：不等式f(x)g(x)0与f(x)0或g(x)0同解，也可以这样理解：

g(x)0 符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式f(x)g(x)0可转化为f(x)g(x)0 或

f(x)g(x)0。

解得：原不等式的解集为x|x3或x1 7、解：当a0时，原不等式化为x20，得x2； 当a0时，原不等式化为(x2)(x)0，得

2a2x2； a2； a 当0a1时，原不等式化为(x2)(x)0，得x2或x2 当a1时，原不等式化为(x2)0，得x2；

2a 当a1时，原不等式化为(x2)(x)0，得x数列：

2a2或x2 a1、等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

2、已知等差数列{an}的公差是正数，且a3²a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．

3、 （2009湖南卷）设n是等差数列n的前n项和，已知2，6，则A．13 B．35 C．49 D． 63

Saa3a11S7等于【 】

4、已知数列an，其中an2n3n，且数列an1an（为常数）为等比数列，求常数。

5、 数列an为各项均为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为，它的前2n项和为6560，求首项a1和公比q。

6、例3.已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝

log3an，其前n项和S。

n

（1）证明{bn}为等差数列。

（2）若S11S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围。

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1、解 依题意，得

10(101)d=14010a1＋2 a1＋a3＋a5＋a7＋a9=5a1＋20d=125解得a1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为

an=113＋(n－1)²(－22)=－22n＋135 ∴a6=－22³6＋135＝3

2a1＋9d=28直接去求a6，所列方程组化简后可得相减即得a1＋5d=3，

a1＋4d=25即a6＝3．

2、解法一 设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得

(a1＋2d)(a1＋bd)＝－12 a1＋3d＋a1＋5d=－4 ① ②

由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4 再由d＞0，得d＝2 ∴a1=－10

最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180 解法二 由等差数列的性质可得： a4＋a6＝a3＋a7 即a3＋a7＝－4 又a3²a7=－12，由韦达定理可知： a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根 解方程可得x1=－6，x2＝2 ∵ d＞0 ∴{an}是递增数列 ∴a3＝－6，a7=2

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a7a3=2，a1＝－10，S20＝18073

7(a1a7)7(a2a6)7(311)49.故选C. 3、 解: S7222a2a1d3a17(a1a7)7(113)149.故选C. 或由, a716213. 所以S7aa5d11d22216d=4、、解：an1an为等比数列，那么an1anan2an1anan1，将an2n3n代入2并整理得

16(2)(3)2n3n0，解之得2或3。 5、、解：若q1，则应有S2n2Sn，与题意不符合，故q1。依题意有：

a11qn1q80(1)aq2n 111q6560(2)(2)(1)得1q2n1qn82即q2n82qn810 得qn81或qn1（舍去），qn81。

由qn81知q1，数列an的前n项中an最大，得an。 将qn81代入（1）得a1q1 （3），

由a1na1qn得a1qnq，即81a1q （4），

联立（3）（4）解方程组得a12。

q36、（1）证明：设{an}的公比为q.

bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3 ＝log3q为常数，故{bn}为等差数列。 （2）解：b1＝log3a1＝4 ∵S11S12，且S11最大

b110∴

bb110d0120

b111d0

410d0411d0

25d411。

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an1an

解三角形：

1、1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于( ) A．30° C．60°

B．30°或150° D．60°或120°

2、已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

3、在ABC中，设

4、(本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇

tanA2cb,，求A的值。 tanBb的方向去追,.求追及所需的时间和应沿北偏东45角的正弦值. 北 C 东

1、D

2

2

2

2

2

B A

2、解：b＝a＋c-2accosB＝(33)＋2-2²33²2²(- ∴ b＝7，

32)＝49．

S△＝

1113acsinB＝³33³2³＝22223．

3、解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在B处追上, 则有

222AB14x,BC10x,ACB120.(14x)12(10x)240xcos120,

20sin12053x2,AB28,BC20,sin.

2814第 12 页 共 16 页

所以所需时间2小时, sin4、解：53. 14tanA2cb,根据正弦定理 tanBbsinABsin2sinCsinB sinBcosAsinB sinAcosBsinBcosA2sinCcosA sin(AB)2sinCcosA1 sin2CsinCcosAcosAA602直线与方程：

1、下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是( )． A．2x－y＋1＝0 C．2x＋4y＋1＝0

2、求斜率为

B．2x－4y＋2＝0 D．2x－4y＋1＝0

3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程． 4

3、△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．

4、过点P(1，2)的直线l被两平行线l1 : 4x＋3y＋1＝0与l2 : 4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．

1．D

解析：利用A1B2－A2B1＝0来判断，排除A，C，而B中直线与已知直线重合． 2、解：设所求直线的方程为y＝

3x＋b， 4令x＝0，得y＝b，所以直线与y轴的交点为(0，b)； 令y＝0，得x＝－

44 0． b，所以直线与x轴的交点为－ b，33244由已知，得|b|＋－ b＋b2 ＋ － b＝12，解得b＝±3．

33第 13 页 共 16 页

故所求的直线方程是y＝

3x±3，即3x－4y±12＝0． 4y ＝ 2x － 13、解：依条件，由解得A(1，1)．

y ＝ x因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，所以点C(2，5)关于y＝x的对称点C'(5，2)在AB边所在的直线上．

AB边所在的直线方程为y－1＝

2 － 1(x－1)，整理得x－4y＋3＝0． 5 － 1又BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，所以BC边所在的直线的斜率为－

1． 2(第19题)

1BC边所在的直线的方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0．

25 ． 联立x－4y＋3＝0与x＋2y－12＝0，解得B7，24、解：当直线l的方程为x＝1时，可验证不符合题意，故设l的方程为y－2＝k(x－1)， y ＝ kx ＋ 2 － k3k － 7－ 5k ＋ 8， 由解得A； 3k ＋ 43k ＋ 44x ＋ 3y ＋ 1 ＝ 0y ＝ kx ＋ 2 － k3k － 128 － 10k， 由解得B． 3k ＋ 43k ＋ 44x ＋ 3y ＋ 6 ＝ 055k因为|AB|＝2，所以 ＋ ＝2．

3k ＋ 43k ＋ 4整理得7k－48k－7＝0．解得k1＝7或k2＝－

2

221． 7故所求的直线方程为x＋7y－15＝0或7x―y―5＝0．

圆与方程：

2222

1、1．圆C1 : x＋y＋2x＋8y－8＝0与圆C2 : x＋y－4x＋4y－2＝0的位置关系是( )． A．相交

B．外切

C．内切

D．相离

2、设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM| ＝( )． A．

53 4 B．

53 2 C．

5313 D．

223、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

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4、圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程

5、已知圆C :(x－1)＋(y－2)＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B． (1)求直线PA，PB的方程； (2)求过P点的圆的切线长； (3)求直线AB的方程． 1、A

解析：C1的标准方程为(x＋1)＋(y＋4)＝5，半径r1＝5；C2的标准方程为(x－2)＋(y＋2)＝(10)，半径r2＝10．圆心距d＝(2 ＋ 1)2 ＋ (2 － 4)2＝13．

因为C2的圆心在C1内部，且r1＝5＜r2＋d，所以两圆相交． 2、C

3 ， 3， 解析：因为C(0，1，0)，容易求出AB的中点M2，2533所以|CM|＝(2 － 0) ＋ － 1 ＋ ． (3 － 0)2＝

22222

2

2

2

2

2

2

2

3、解：以D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz，E点在平面xDy中，且EA＝

1 ， 0， 所以点E的坐标为1，21． 2又B和B1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，

111 1， ，同理可得G点的坐标为1所以点F的坐标为1，， ， ．

2224、．解：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r， 因为圆与两坐标轴相切，

所以圆心满足|a|＝|b|，即a－b＝0，或a＋b＝0． 又圆心在直线5x―3y―8＝0上，

222

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5a－3b－8＝0，5a－3b－8＝0，所以5a―3b―8＝0．由方程组 或

a－b＝0，a＋b＝0，a＝4，a＝1，解得或所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．

b＝－1．b＝4，故所求圆的方程为(x－4)＋(y－4)＝16，或(x－1)＋(y＋1)＝1． 5、解：(1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx―y―2k―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，

－ k － 3 k ＋ 122222

＝2， 解得k＝7，或k＝－1．

故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．

(2)在Rt△PCA中，因为|PC|＝(2 － 1)2 ＋ (－ 1 － 2)2＝10，|CA|＝2， 所以|PA|＝|PC|－|CA|＝8．所以过点P的圆的切线长为22．

2

2

2

1(3)容易求出kPC＝－3，所以kAB＝．

32CA2如图，由CA＝CD²PC，可求出CD＝＝．

PC102

1设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．

3由

1 － 6 ＋ 3b 27＝解得b＝1或b＝(舍)．

3101 ＋ 32所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．

(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．

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