Cauchy不等式的不同形式及其证明

Ｖｏ１．１０，Ｎｏ．４　Ｊｕ１．，２００７　高等数学研究　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　１Ｏ９　Ｃａｕｃｈｙ不等式的不同形式及其证明　潘群星　张良云　（南京农业大学理学院　南京　２１００９５）　摘　要　分类给出在ｎ维实空间Ｒ　中，ｚ　（Ｒ）空间中，Ｒｉｅｍａｎｎ积分中，概率空间（ｎ，Ｆ，Ｐ）中以及内积空间中　Ｃａｕｃｈｙ不等式的不同形式并利用多种方法对其加以证明．　关键词　Ｃａｕｃｈｙ不等式；Ｒｉｅｍａｎｎ积分；随机变量；内积　中图分类号　Ｏ１７８　在高等数学课程中有许多定理和公式的证明都是由Ｃａｕｃｈｙ不等式来解决的，因此它具有重要　的理论意义．在工程测量中有时要应用Ｃａｕｃｈｙ不等式进行测量估计和误差分析，因此它有重要的　实践意义．下面从不同角度给出Ｃａｕｃｈｙ不等式的证明及其应用．　１　维实空间Ｒ　中的Ｃａｕｃｈｙ不等式形式　（∑ａｉｂ　）。≤∑ｎ　∑６ｚ．　证法１　设厂（ｚ）一　（ｘａ　—ｂ１）。≥０，（ｚ∈Ｒ），则　（１）　ｚ。（　ｎ　）～２ｘ（　ｎ　６　∑　≥ｏ，　对于任意的ｚ∈　Ｒ　成立．因此由其判别式　ｉ＝１４（∑ｎ　ｂ　）。一４∑ｎ２　∑　≤０　易得（１）式成立．　证法２　要证（１）式成立，只需证∑∑（ｎ　ｂ　一ａｊ＋ｌｂ　）。≥０．成立．实际上这个结果是显然　的，并且等号成立当且仅当ａｌｂｊ—　ｂ　一Ｏ（ｉ≠Ｊ且ｉ，，Ｊ一１，２，…　）即，ａ　与ｂ　成比例．　证法３　由于　（南所以，　从而得（１）式成立．　）２＋（南）。］一２≥窨２　・　．　（∑Ｉ　ａｉｂ　Ｉ）。≤∑ｎ　∑　，　２　Ｚ。（Ｒ）空间中的Ｃａｕｃｈｙ不等式形式　设级数∑ｎ：和∑　收敛则级数∑ｎ　ｂ　（绝对）收敛，而且　（∑ｎ　ｂ　）。≤∑ｎ：∑　．　＊收稿日期：２００５—０６—２５．　（２）　基金项目：教育部“新世纪农林院校大学数学教学规范的研究与实践”资助项目　维普资讯 http://www.cqvip.com

１１Ｏ　高等数学研究　２００７年７月　证明　由０≤１口　１≤（ｎ：＋　）／２知∑“　ｂ　（绝对）收敛．记　ｓ　一∑“…ｂ　Ａ　一　∑ｎ；，Ｂ　一∑６　．　则由（１）知Ｓ　≤Ａ　Ｂ　．再由数列极限性质可得（２）式成立・　推论　设级数∑“　２和Ｅｂ．２收敛，则级数∑（ａ　＋６　）　收敛・并且　『∑（ａ　）　］专≤（　ｎ２　）专＋（　６　证明　显然墓（ａ　ｏ＋　收敛．若要证明［　（。　＋¨　］｛≤（　ｎ：）专＋（　６　）　成立＇只　需证明宝。　６　≤（妻　：）专（毒　）专成立．实际上，由（２）式易知后者成立・故推论成立・　注１　如果正项级数妻“　和　６　收敛，则上述结果仍成立．这是由于，当　ｎ一和　收敛　时，　（口　＋　）收敛，ｌｉａｒ（口　＋６　）一０．因此当　充分大时有０≤口　＋６　≤１，故（口ｎ＋６”）。≤口一十６”。　：；１”—～　所以由比较判别法和收敛级数的性质知∑（ｎ　＋ｂｏ）　收敛．　３　Ｒｉｅｍａｎｎ积分中的Ｃａｕｃｈｙ不等式形式　设＿厂（ｚ）和ｇ（ｚ）在［口，６］上Ｒｉｅｍａｎｎ可积，则　ｆＬＪ。　ｒ　厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ１Ｊ　　≤ｒ“　厂　（ｚ）ｄｚ　ｂｇ　（ｚ）ｄｚ．　（３）　证法１　将区间［口，６］进行”等分，分点ｚ　一日＋　，　一０，１，２，…　．从而　Ｊｆｌ厂（　ｂ４　厂（ｚ）　）ｇ（ｚ）　一　ｄｘ—ｌ一ｉａｒ一∑ｆ（ｉ；１　ｘ　）ｇ（　ｚ　’　『一　＝，，　Ｊ｛厂　（　ａ　（ｚ）　一１ｄｘ一１一ｉｍ∑尸（一ｉ一，　　ｚ　）　¨　，　Ｊｆ１　：口　ｇ　（ｘ）ｄｘ一一ｌ　∑ｇｎ一ｉｍ∑　）∞ｉ；１　　（ｘ１）　．　・¨　　由（１）知式　（　厂（　ｇ（ｚ　））　≤　（　ｇ２（Ｘｉ　・　再由极限保号性知（３）式成立・　证法２　设Ｆ（￡）＝（　（ｚ）一ｇ（ｚ））　≥０，则　ｔ　ｆ（ｆｌ　　ｘ）ｄｘ　２—一　ｌ—２ｔｆ　ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ—＋ｌ十一ｆ　　ｇ　（‘（　）。ｃ）　≥ｕｄｘ≥０．・　对于任意的ｔ∈Ｒ成立，因此由其判别式　４Ｉｆｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘｌ　一４』：厂　ｃ　ｄ　ｊ．：ｇ　ｃｚ　ｄｚ≤。　易知（３）式成立．　证法３　构造函数Ｆ（￡）一（、Ｊ　ｄ　．Ｉ　．　厂（　）ｇ（　）　），　　一ｊ，　ｒＶ　　ｔ　　厂　（ｚ）　ｊｒｔ一　　ｇ。　）　．（口≤￡≤６）＇贝４　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１Ｏ卷第４期　潘群星，张良云：Ｃａｕｃｈｙ不等式的不同形式及其证明　Ｆ　（￡）一２ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｌ厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｘ一　（￡）Ｉ　ｇ　（ｚ）ｄｘ—ｇ　（￡）Ｉ厂　（ｚ）ｄｘ一　一ｌ（厂（￡）ｇ（ｚ）一ｇ（￡）厂（ｚ））　ｄｘ≤０．　所以，Ｆ（￡）在［口，６］上单调下降，因而有Ｆ（６）≤Ｆ（ｎ）一０．即（３）式成立．　注２　若对ｚ　Ｅ［ｎ，６］，厂（ｚ）三０或厂（ｚ）与ｇ（ｚ）成比例，则（３）式中等号成立．但逆命题不真．　例如，除一点外厂（ｚ）一ｇ（ｚ），ｚ　Ｅ［口，６］，则有ｌ　ｆ（ｘ）ｄｘ—ｌ　ｇ（ｘ）ｄｘ，但厂（ｚ）与ｇ（ｚ）并不成比例．　推论　若厂（ｚ）和ｇ（ｚ）在［口，６］上Ｒｉｅｍａｎｎ可积，则　．　［』：ｃｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ］吉≤［』：厂２（ｘ）ｄｘ　［』　ｇ　ｅ（ｘ）ｄｘ　证明　只要证ｆ证明　只要证ｌ厂（　厂（ｚ）ｚ）（ｇ（ｚ）　≤『　≤Ｉｄｘ　　ｆｌ　　ｆｚｆ（　ｘ）ｄｘ　］专『ｆｌ　　ｚｇ　ｄ（ｚ）　］　Ｉｘ　言￣。　Ｐ－．Ｉ．由（３）式知这是显然的．　Ｊ　ｎ　ｌ　Ｊ　ｎ　ｌ　ｌ　Ｊ口　ｌ　４　在概率空间（　。Ｆ。Ｐ）中的Ｃａｕｃｈｙ不等式形式　设Ｅ（Ｘ）表示随机变量Ｘ的数学期望．对于随机变量Ｘ和ｙ有　（Ｅ（ＸＹ））　≤Ｅ（Ｘ　）Ｅ（ｙ２）．　（４）　其中等号成立当且仅当存在ｔ。Ｅ　Ｒ，使得当Ｐ｛Ｙ—ｔｏＸ）一１．　证明　构造函数Ｆ（￡）一Ｅ（（ｔＸ—ｙ）　）一ｔ　Ｅ（Ｘ　）一２ｒＥ（ＸＹ）＋Ｅ（ｙ２）≥０．则任给ｔ　Ｅ　Ｒ，　由其判别式４（Ｅ（ＸＹ））　一４Ｅ（Ｘ　）Ｅ（ｙ　）≤０可知（４）式成立，其中等号成立当且仅当判别式为０，　即存在一个重根ｔ。Ｅ　Ｒ使得Ｆ（ｔ。）一Ｅ（（　Ｘ—ｙ）　）：＝＝０．记Ｚ—ｔ。Ｘ—Ｙ，并且设Ｚ的分布函数　为Ｆｚ（　）．下证Ｐ｛Ｉ　Ｚ　Ｉ＞０）一０．　假设Ｐ｛Ｉ　ｚ　Ｉ＞０）＞０，则存在自然数ｋ，使得Ｐｆｌ【　　ｚ　Ｉ＞÷Ｉ，‘』　一￡＞０．从而有　Ｅ（ｚ２）一』二　（ｚ）≥　』　（　）＞　』　（　）一　Ｐｆ　Ｉ　Ｉ＞　１｝一　＞０．　这与Ｅ（Ｚ　）一０矛盾．所以Ｐ｛Ｉ　Ｚ　Ｉ＞０）一０，也即Ｐ｛Ｙ—ｔｏ　Ｘ｝一１．　５　内积空间中的Ｃａｕｃｈｙ不等式形式　对任意向量ａ和　有　Ｉ（ａ，ｐ）Ｉ≤Ｉ　ａ　Ｉ　Ｉ　Ｉ．　（５）　其中等号成立当且仅当ａ与　线性相关．　证明是直接的．从略．　注３　Ｏ如果在内积空间中定义内积（ａ，　一　其中ａ和　为　维行向量，则（５）式化为（１）式．　②如果在内积空间中定义内积（厂（ｚ），ｇ（　））一ｌ　ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，其中，（ｚ）和ｇ（ｚ）均为　区间［口，６］上的可积函数，则（５）式化为（３）式．　③如果在内积空间中定义内积（Ｘ，ｙ）一Ｅ（ＸＹ），其中Ｘ和ｙ为（ｎ，Ｆ，Ｐ＞中的随机变　量，那么（５）式化为（４）式．　参考文献　［１］吴良森等．数学分析习题精解［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３．　［２］武汉大学数学系．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８０　［３］杨振明．概率论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９．