期望方差公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

i=1，i=1，定义1 若离散型随机变量可能取值为a（2，3 ，…），其分布列为p（ii2，3， …），则当aipi<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=aipi，

i1i1如果aipi=，则数学期望不存在。1

i1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=P（2，…，ii=1，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

（1）设C是常数，则E(C)=C 。 （2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。 （3）E(X1X2)  E(X1)E(X2)。

三、 方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

2

平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

2

定义3方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.

D叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X的数学期望E(X)存在，若E[(XE(X))2]存在，则称

E[(XE(X))2]

为随机变量X的方差，记作D(X)，即D(X)E[(XE(X))2]。

方差的算术平方根D(X)称为随机变量X的标准差，记作(X)，即

(X)D(X)

由于(X)与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差D(X)=0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X的函数g(X)[XE(X)]2的数学期望，故

2[xkE(X)]pk, 当X离散时D(X)k1

[xkE(X)]2f(x)dx, 当X连续时当X离散时, X的概率函数为P(xk)P(XxK)PK, k1, 2, ； 当X连续时，X的密度函数为f(x)。 求证方差的一个简单公式：

公式1：D(X)E(X2)[E(X)]2 证明一：

D(X)E[(XE(X))2]E[X22XE(X)[E(x)]2] E(X2)[E(X)]2

3

证明二：D(xiE)2pi

i1n[xi22xiE(E)2]pii1nnxipi2Exipi(E)pi

22i1i1i1nnE22(E)2(E)2E2(E)2DE2(E)2

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

（1）设C是常数,则D(C)=0。 （2）若C是常数,则D(CX)C2D(X)。 （3）若X与Y ，则

公式2： D(XY)D(X)D(Y)。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得

D(XY)E[(XY)2][E(XY)]2E[X2Y22XY][E(x)E(Y)]2E(X2)E(Y2)2E(X)E(Y)[E(X)]2[E(Y)]2E(X)E(Y)E(X2)[E(X)]2D(X)D(Y)2

E(Y2)[E(Y)]2可推广为：若X1,X2，…，Xn相互，则

D[Xi]D(Xi)

i1i1nnD[CiXi]Ci2D(Xi)

i1i1nn（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C =E(X)。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

4

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）pi≥0，i＝1，2，…； （2）p1＋p2＋…＝1。

2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a＋b)＝aE＋b，D (a＋b)＝a2 D。

（1） 公式3：E（aξ+b）=aEξ+b，

证明：令ab a,b为常数 也为随机变量 P(axib)P(xi) i1,2,3... 所以 的分布列为

 p ax1b ax2b … … axnb … … p1 p2 pn E(ax1b)p1(ax2b)p2...(axnb)pn

=a(x1p1x2p2...xnpn...)b(p1p2...pn...)

E=aEb

E(ab)aEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量

期望的线性函数

（2） 公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.

证法一： 因为 D(xiE)2pi

i1n[xi22xiE(E)2]pii1nnxipi2Exipi(E)pi

22i1i1i1nnE22(E)2(E)2E2(E)2

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DE2(E)2

nn所以有：D(ab)[axib(aEb)]pia2i1n2n2n2(xE)ii12n2pia2D 证毕

证法二：Dξ=(xiE)pixipi2Exipi(E)i1i1i1pi1iE2(E)2.

E(aξ＋b)＝aEξ＋b， D(aξ+b)=a2Dξ．

D(ab)[axib(aEb)]pia2i1n2(xE)ii1n2pia2D

（二）二项分布公式列举及证明

1．二项分布定义：若随机变量的分布列为：P (＝k)＝Cnk pk qn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B (n，p)，其中n、 p为参数，并记Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：

（1）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＞0，k＝0，1，2，…，n； （2）P (＝k)＝Cnk pk qn-k＝(p＋q) n＝1。

k0k0nn二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。 3．服从二项分布的随机变量的期望与方差公式： 若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.

（3） 公式5：求证：Eξ=np

方法一：

在重复实验中，某结果发生的概率均为p（不发生的概率为q，有pq1），那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为

 0 1 2 3 ... n1 n 6

P C0nn1nq C122n233n3npq Cnpq Cnpq ... Cn1n1npq Cnnnp 服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：

预备公式 kckk1nncn1

(pq)n1(c00n10n22p0qn2k1k1(n1)(nk)n1n10n1pqc1n1pqcn1...cn1pq...cn1pq) 因为p(k)ckknkkknknp(1p)cnpq,

所以 E0c00n1n122n2kknkn0nnpq1c1npq2cnpq...kcnpq...ncnpq =np(c00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10n1pqcn1pqcn1pq...cn1pq...cn1pq)=np(pq)n1np 所以 E= np 得证

方法二： 证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

若设X1如第i次试验成功ii次试验失败 i=1,2，…，n 0如第则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq 所以E(Xi)0q1pp，则

nnE(X)E[Xi]i1E(Xi)np

i1可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式6k2Ckk1k2nnCn1n(n1)Cn2

k2Ckk1nknCn1 n[(k1)1]Ck1n1nCk1n(k1)Ck1n1n1 nCk1k2n1n(n1)Cn2k2Ckk1k2nnCn1n(n1)Cn2

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求证：服从二项分布的随机变量的方差公式7：Dξ=npq（q=1－p）. 方法一：

2iini证明： EiCnpq

2i0nnnCpqnpq1nn1nCi2ni1n1pqinii2inin(n1)Cn2pqi20n1n12n1npCi1i1n1pqi1ninpCqn(n1)pCi2ni2n2pi2qninpqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p222由公式1知DE(E)

npqn2p2(np)2npq

方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 若设Xin1如第i次试验成功 i=1,2，…，n 0如第i次试验失败则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp，故

i1 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)， i1,2,,n 由于1,2,...,n相互，于是D()D(i)= np(1- p)。

i1n（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明

1． 定义5：几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。

定义6：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。P(Xk)(1p)k1p

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若P(k)qk1p，则（1）E11p，（2）D2。 pp1， p求证：（1）几何分布的期望 公式8：E若某射击手击中目标的概率为P，求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望

E1 p证明：依题意分布列为

 P 1 P 2 3 …… K …… P(1P) P(1P)2 P(1P)K1 由P(k)qk1p，知

E1P2P(1P)3P(1P)2...KP(1P)K1...

Ep2pq3q2p...kqk1p...(12q3q2...kqk1...)p

下面用错位相减法求上式括号内的值。 记Sk12q3q2...kqk1

qSkq2q2...(k1)qk1kqk

两式相减，得(1q)Sk1qq2...qk1kqk

1qkkqk Sk(1q)21qqk0及limkqk0（可用L'Hospital法则证明）由0p1，知0q1，则lim kkSk故12p3q2...kqk1...limk11， (1q)2p2所以E

1 p9

1p求证：（2）p(k)g(k,p) 几何分布的方差 公式9：D2pnn1(x)'nx证明：利用导数公式，推导如下：

q2 p12x3x2...kxk1...

x'(x2)'(x3)'...(xk)'...(xxx...x...)x(1x)(x))'1x(1x)2

1(1x)2(23k'

上式中令xq，则得 12q3q...kq2k111...2 2(1q)p（2）为简化运算，利用性质DE2(E)2来推导。

E2p22qp32q2p...k2qk1p...

p(122q32q2...k2qk1...)

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k2qk1(kqk)'，并用倍差法求和，有12q3q...kq2222k1...

(q2q23q3...kqk...)'

q(1q)22(1q)q[]'2(1q)(1q)41q1q2p(1q)4(1q)3p322

2p2p则Ep(3)，

pp2 10

因此DE2(E)2222p121p()2 2pppk1证明二: E()kpqK1p[k(k1)qk1k1kqk1]

k1 =qp(qk)nE

k1 =qp212p1 (1p)3pp2pDE2(E)22p121p()2 2ppp

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