一元二次不等式及二次函数及答案

高中一元二次不等式及（含参数）二次函数

命题人： 2011-8-5

1.（1）不等式x23x100的解集是___________ （2）不等式5x23x11的解集是_________. （3）不等式

2x1的解集是____________________ x12. 已知不等式x2(a1)xa0，

（1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a的值是_______________； （2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是___________； （3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是_________.

2

3. 解不等式－116. 若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，

2成立，求 a的取值范围。 7. 若函数f(x)=kx6kxk8的定义域为R，求实数k的取值范围。

2x28x208. 不等式0的解集为R,求实数m的取值范围。 2mx2(m1)x9m49.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 10. 已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

11. 已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

12. 已知二次函数f(x)ax4axa1在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。 13. 如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

22222222

参及详解

1.（1）____x5 或 x2_______（2）____(1,1)(2,4)_____.（3）_(1,1)____

2．已知不等式x2(a1)xa0，（1）__3____；（2）__(1,)_______；（3）__[3,)___。

22x2或x0,x(x2)0,x2x11,x2x0,3. 解原不等式可化为即 22(x3)(x1)0,3x1.x2x12,x2x30,

6x510，即0，得1x5，

x1x15.解：(1) 当m0时 3x90 ∴x3

3(2) 当m0时 m(x)(x3)0

m3若m0， 则 x3

m3 若m0，则 ①当0m1时，x或x3

m4. 由

②当m1 时，x3 ③当m1时，x3或x3综上所述：（略） maa11

6. 设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－，若－≥，即a≤－1时，则f(x)在0，上是减函数，

2222

15

应有f≥0⇒－≤a≤－1

22a1

若－≤0，即a≥0时，则f(x)在0，上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0

22

a1aa2a2a25若0≤－≤，即－1≤a≤0，则应有f－＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1≤a≤0.综上，有－≤a. 22242427. ∵函数f(x)的定义域为R,∴ kx6kxk8≥0的解集为R。 ∴ g(x)= kx6kxk8函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。

当k=0时，g(x)=8,显然满足；当k≠0时，函数g(x)的图像是抛物线，要使抛物线全在x轴上方或与x轴相切且开口向

上，必须且只需：

22k0,解得0x28x200恒成立,mx22(m1)x9m40须恒成立

当m0时，2x40并不恒成立；

m0m01m当m0时，则得 1122m,或m4(m1)4m(9m4)0429. 解：函数yx4x2(x2)2是定义在区间[0，3]上的二次函数，

22

其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐 标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

10. 解：由已知2x23x，可得0x33，即函数f(x)是定义在区间0，上的二次函数。

2211313将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标，，

242242且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)的最小值为f(0)1，最大值为

23319。 f2411. 解：由已知有1x1，a2，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得：

2f(x)xaa2aaa2；二次函数f(x)的对称轴方程是x；顶点坐标为，33，图象开口向上

22424a1，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。 2由a2可得x函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

12. 解：将二次函数配方得f(x)a(x2)2a24a1，其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，a24a1)，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。 若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x2时，函数取得最大值5

2即f(2)a4a15；解得a210

故a210(a210舍去)

若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5

2即f(1)5aa15；解得a1或a6

故a1(a6舍去)

综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a210或a1



解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

13. 解：函数f(x)(x1)21，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值

f(x)minf(t)(t1)21。

如图7所示，若顶点横坐标在区间t，t1上时，有t1t1， 即0t1。当x1时，函数取得最小值f(x)minf(1)1。

如图8所示，若顶点横坐标在区间t，t1右侧时，有t11，即t0。

当xt1时，函数取得最小值f(x)minf(t1)t21

综上讨论，(t1)21,t1f(x)min1,0t1 t21t0