S.I.S.向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性

＼　／　第１３卷第１期　１９９９年６月　Ｊｕｎｅ．１９９９　应用数学与计算数学学报　Ｊ）ｃｊ）　ｆ一７　谌德　杨亚立　ｚ／／．　卜　Ｓ．Ｉ．Ｓ．向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性　摘要本文主要研究ｓ．ｉ　向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性．给出　了ｓｊ　向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的Ｖｉｔａｌ１．Ｈａｈｕ：Ｓａｋｓ定理．作为应用，　我们建立了凡。．值有界可测函数关于Ｂａｉ　Ｌｖ，ｃｈ空问值ｓ．ｉ．ｓ．向量随机测度的随机积分　的收敛定理．井得到了具ｔｙｐｃ　Ｐ的ＢａｉＬ　ａｃｈ空问中￥．ｉ　．向量随机测度的大数定律及　中心极限定理·　５　相吾　几乎收敛一　关键词：ｓ．ｉ　．堕垫　皇·控制剥皮，弱几乎收敛·　１．预备知识傲　『上，伺量逝规　Ｊ蓐　本世纪４０年代，Ｂｏｄｍｅｒ［　】最先提出了随机测度的思想．１９７６年，Ｕｒｂａａｉｋ［　】　把随机测度用于严格平稳过程．随后，　Ｍａｒｃｕｓ、Ｗｏｙｃｚｙｎｓｋｉ［　、０ｈｚａｋ　与　Ｒ　ｈ　ｓｋｉ【５ｌ等人又发展了关于随机测度的随机积分．到了９０年代，Ｄ．Ｈ．Ｔｈｍｌｇ［６］等　人把Ｂｏｃｈ￣－ｔ．ｒ的实值随机测度推广到Ｂａ￣ａｃｈ空间值．开辟了向量随机测度及其随　机积分的研究领域．Ｔｈａｌ￣ｇ等人的研究，着眼于ｓ．ｉ－ｓ一向量随机测度在概率意义　下的收敛性．本文对向量随机测度的收敛性作了进一步的研究．即研究了向量随　机测度在弱拓扑及相容拓扑等不同的拓扑结构下的收敛性，给出了弱拓扑及相容　拓扑下的Ｖｉ　Ｌ；　ｆｉ．Ｈ＇，ｄｍ．ｓ　ｓ定理．运用这些结果，我们建立了丑　．值有界可测函数　关于Ｂ￣ｕｍｃｈ空间值ｓ．ｉ　向量随机测度的随机积分的收敛定理，并得到了具ｔｙｐｅ　Ｐ的Ｂａｌｌａｃｈ空间中ｓ．ｉ　ｓ．向量随机测度的大数定律及中　Ｌ－极限定理．　设（Ｘ，　）是Ｂ＊ｍａｃｈ空间，（　∑）是可测空间，《ｉ２＿，，Ｐ）是概率空间，　（ｎ，，，Ｐ）　表所有ｘ值ｒ－ｖ．，简记为　定义１　１函数Ｆ：∑一　称为Ｅ　的Ｘ．值对称散射随机测度（简记为　ｓ　ｉ．随机测度）．蒂　（１）对￡中任意不交序列ｆＥ．　】一－：ｆＦ（Ｅ．　））是对称的且的；　（２）对∑中任意　交序列｛Ｅ　）．　：，（Ｕ　Ｅ　）＝∑Ｆ（Ｅ　）ａ－ｓ－在Ｘ上的范数拓　扑下成立．　￡上有限非负实值测度ｆ｛称为ｓ．ｉ一随机测度的控制测度，若　《Ｅ）＝０时　Ｆ（Ｅ）：０　ａ＾（Ｅ∈￡），记为Ｆ＜＜，　定义１．２（１）　ｉ　ｓ随机测度Ｆ称为　·弱连续，若对任给的ｔ＞０及ｆ∈Ｘ　：　ｌｈｎ。｛ｌｌｆ（Ｆ（Ｅ））ｔｌ＞　】　０一　本文１９９８年６月２０　Ｈ收到　维普资讯 http://www.cqvip.com

２　应用教学与计算数学学报　ｌ３卷　（２）ｓ．ｉ．ｓ．随机测度序列｛　】｝　－称为弱概率收敛到Ｆ，若对任意的Ｅ∈￡及任　意的ｆ∈　，，（　（　）一Ｆ（　））三０．简记为　Ｆ．　（３）ｓ．ｉ－ｓ－随机测度序列｛见）｝，ｌ称为一致ｐ弱连续，若任给ｔ＞０：对所有的　ｆ∈　，ｌ　ｓｎｐＰ｛，（Ｆｋ（　））ｌｌ＞ｔ）＝０．　吾　★　（４）ｓ．ｉ－ｓ－随机测度序列｛　）｝　ｌ称为ａ　收敛。若对任意的Ｅ∈Ｅ，｛见（　））｝　ａ－ｓ－　收敛．　（５）ｓ．ｉ－ｓ－随机测度序列｛见）｝　称为弱几乎收敛，若任给Ｅ∈￡，存在ｎＦ∈，，　使得Ｐ（ｎｚ）：０且对所有的，∈　：｛，（　（　）））在ｎ—ｎＥ上收敛．　显然．若ｓ．ｉ－ｓ．随机测度序列｛见｝　ａ－ｓ．收敛，则｛　）弱几乎收敛．此外．　我们有下面的　定理ｌ＿１设　可分，｛　｝　ｌ是一列ｘ值ｓ＿ｉ＿ｓ．随机测度．任给Ｅ∈￡，有：　对每个ｆ∈　，｛，（ｎ（　）））｝　ａ　收敛且｛　（　）｝★　ｌ是逐点有界的（ｅｐ任给　∈ｎ，　存在　＞０，使得￣＂Ｐ｛ＩＩＦｋ（　）　）ｌｌ｝Ｓ　），则｛＾）＾　弱几乎收敛．　证明给定Ｅ∈￡．设｛＾）ｉ＞ｌ是　的可列稠密子集，则对每个＾，存在ｎ．∈，，　使得Ｐ（ｎ『】＝０且｛＾（　（　）））｝＞ｌ在ｎ—ｎｉ上收敛．记ｎ　：Ｕｎｎ则　ｎ　∈　且Ｐ（ｎ　）＝ｏ　下证对任意的ｆ∈　，｛，（见（　）））｝　在ｆ２一ｎＥ上收敛．　任取　，∈ｎ—ｉｊＥ，存在　＞０使得　ｓｕｐ｛ｌｌ见（　）（　）ｌｌ｝≤　｝　任给￡＞０，存在ｎｏ使得　Ｉｌ，－ｆ，，ｏｌｌ　去　对此　，｛，ｎ。（　（　））｝★　ｌ在ｎ—ｎ　上收敛－所以｛＾。（毋（　））（”）｝＾　ｌ收敛．记　ｍ＿１，ｎ。（　（　））（”）＝　则存在　，当　＞　时，有　ｌｌｆ，　（　（　）（　）一ｎＩＩ＜；　所以，当　１．　２＞　时．有　ｌｌ，（　。（　）（ｕ　））一，（　（　）（　））ｌＩ　：ｌｌ，（　。（　）（　）一＾。（　。（　）（叫）＋ｆ，。　（　。（　）（　））一ｎ　＋ｕ一厶。（　（　）（　，））＋厶。（　（　）　））一，（　（　）　））ｌ　ｌ≤ｌＩｆ（　。（　）（　））一．ｆｔＩ　（　。（　）（　，）ｌＩ＋ｌＩ厶　（　．（　）（　，））一ｎｌ　ｌ＋ＩＩ－一，ｎ。（　：（　）（　））ｌＩ＋ｌＩｆ，　（　（　）（”））一，（　（　）（　））　＋手＋　＋　。　：　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　谌德等：Ｓ．Ｉ　Ｓ．向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性　所以｛ｆ　【Ｅ））（　）　，是基＿奉序列，从而收敛．即｛　）‘　是弱几乎收敛．　下面的定理可以看作是ｓ．ｉ　随机测度序列在弱拓扑下的Ｖｉｔａｌｉ－Ｈｎ儿１　ｕ—Ｓａｋｓ定　理．为了证明的需要，我们需先引入Ｉｔｏ－Ｎｉｓｉｏ的定理．　定理１．２［＂１（Ｉｔｏ－Ｎｉ．￣ｉｏ）设　【　））　ｌ是一列的Ｘ值ｒ＿ｖ…Ｓ＝∑　ｊｔ　表Ｓ　在　上的分布．则以下三条等价：　（１）Ｓ　ａ－ｓ＿收敛ｊ　【２）ｓ　依概率收敛ｊ　（３１ｆ　依Ｐｒｏｈｏｒｏｖ距离收敛．　若｛氏（　））ｔ　。还是对称的，则上面的（１）、（２）、（３）与下面三条都等价：　｛４１　。ｌｔＩ＞一是一致胎紧的；　（５）存在Ｘ值ｒ－ｖ．Ｓ，使得对任意的，∈Ｘ　，ｌ（ｓ　）三，（　）：　（６）存在Ｘ上概率测度　使得对任意的，∈Ｘ　，ｃ【，：『‘】．）一　，：　），ｃ（ｆ：　）　表ｐ的特征泛函　，　ｌｔ￣（ｄｚ）．　２．主要结果　定理２．１设Ｘ是自反Ｂａｎ；￣ｃｈ空间，｛　）ｔ）ｌ是一到ｘ值ｓ．ｉ＿ｓ．随机测度，对　每个　：ｎ是ｊｔ弱连续的，且ｆ　ｌ　。弱几乎收敛．则　（１）｛ｎ）　是一致　弱连续的；　（２）由Ｆ【Ｅ）＝Ｗ—ｌ　１１ｎ（Ｅ）定义的Ｆ是ｓ．ｉ　随机测度，且Ｆ是　弱连续的　（Ｗ．１ｉｍ表弱极限）．　证明（１）在Ｅ×Ｅ上引进甬数“：ａ（Ａ　Ｂ）＝　（　△口）．当州Ａ．Ｂ１＝０时，视　Ａ、Ｂ等同，则（Ｅ，ｄ）即成为完备度量空间．因　‘【Ａ△口）＝，·【　＼（　ｎ口））＋　·（口＼（　ｎ口））　（Ａ）一　（口）＝　（　＼（　ｎ口））一　（口＼（Ａｎ口１）　ａ＿ｓ＿　由　的　弱连续性知：　意的，∈Ｘ　．有　在（Ｅ　）上是弱连续函数，即对每个Ｂ∈Ｅ：对任　ｌ（Ｆｋ（　））　，【　（　））　。假设｛　】　１不是一致　弱连续的．则存在ｔ．ｏ＞Ｏ，，０∈Ｘ　，ｅ＞０及｛　ｐ）　１　ｃ　Ｅ使　得ｆ‘（Ａｖ）　１且　ｓｌｉｐＰ｛ｌｌｆｏ（Ｆｋ（Ａｐ））ｌＩ＞　０）＞４￡　（１）　记Ｅ　ｍ＝｛ＥｌＥ∈Ｅ　Ｐ｛ｌｌｆｏ（￣．（Ｅ））一　（　，　（Ｅ））ｌｌ＞ｔｏ】　￡），Ｅｐ＝　ｆ３　Ｅ　ｍ（ｐ∈　ｎ１ＩＪｌ三ｐ　Ⅳ１．　因为每个　在（Ｅ　ｄ）上弱连续，所以Ｅ　Ｅ　都是弱闭，从而是闭集，显然　Ｅ＝ＵＥｐ　由Ｂａｉｒｅ纲定理知存在ｑ∈Ｎ，使Ｅ　包含一个球．即存在Ａ∈｛Ｅ，ｄ）及　＞０，使得｛ＥｔＩ，（Ａ△Ｅ）＜　）ｃ　Ｅ　维普资讯 http://www.cqvip.com

４　应用教学与计算教学学报　因（Ａ＼Ｅ）ＡＡ＝ＥｎＡ，（ＥｕＡ）ＡＡ＝Ｅ＼Ａ　所以．当　（Ｅ）＜　时Ａ＼Ｅ，ＥｕＡ∈｛ＥＩｔ，（ＡＡＥ）＜　）ｃＥｇ　从而对满足ｐ（Ｅ）＜　的Ｅ及任何　ｑ，有　Ｐ｛ｌｌ，０（Ｆｋ（Ａ＼Ｅ））一，０（　（Ａ＼Ｅ））ｌｌ＞ｔ０）　￡　（２）　Ｐ｛ＩＩ，０（ｆｋ（ＥｕＡ））一Ｙｏ（　（ＥｕＡ））ｌｌ＞￡ｏ）　￡　（３）　又因ＥｕＡ＝Ｅｕ（Ａ＼Ｅ）　所以　（Ｅ）＝ｆｋ（ＥｕＡ）一　＼Ｅ），　（Ｅ）＝　（ＥｕＡ）一　（Ａ＼Ｅ）　由（２）、（３）式得　Ｐ｛ｌｆｉｏ（Ｆ　（Ｅ））一Ｙｏ（　（Ｅ））ｌｌ＞２ｔ０）　＝Ｐ｛ｌｌｆｏ（ｆｋ（ＥｕＡ）一（日｝（Ａ＼Ｅ））一ｆｏ（　（ＥｕＡ）一　（Ａ＼Ｅ））ｌｌ＞２如）　Ｐ｛ＩＪ，０（　（ＥｕＡ）一（Ｆｋ（Ａ＼Ｅ））ｌｌ＋ｌｌ，０（　（ＥｕＡ）一　（Ａ＼Ｅ））ｌｌ＞２ｔｏ｝　Ｐ｛ｌｌ，０（　（ＥｕＡ）一（　（Ａ＼Ｅ））ｌｌ＞ｔ０）＋Ｐ｛ｌＩ，０（　（ＥｕＡ）一　（且＼Ｅ）ｌＩ＞ｔｏ）　２Ｅ　又由　的　弱连续性知：对每个’ｎ∈｛１，２，３，…，ｑ），存在　当ｐ（Ｅ）＜６　时　Ｐ｛ｌｌ，０（　（Ｅ））ｌＩ＞ｔ０）　￡　所以，当　（Ｅ）＜ｌｌｌｉｕ　ｌ，　２，…，　，　）时，对所有的ｋ，都有　Ｐ｛ｔｌＹｏ（　（Ｅ））　＞４ｔｏ）　３￡　事实上．当　ｑ时．Ｐ｛Ｉｌ，０（　（Ｅ））ｌｌ＞　０）　ｅ｛ｌｌｆｏ（Ｆｋ（Ｅ））ｌＩ＞ｔｏ）　Ｅ　３Ｅ　当　＞口时，　Ｐ｛ｌｌ，０（　（Ｅ））ｌｌ＞４ｔｏ｝　Ｐ｛ｌｌｆｏ（ｆ￣（Ｅ）一　（Ｅ）＋　（Ｅ））ｌＩ＞　ｏ）　Ｐ｛ｌｌＹｏ（日　（Ｅ）一目（Ｅ））ｌｌ＋ＩＩ，０（　（Ｅ））ｌｌ＞４　ｏ）　Ｐ｛ｌＩ］ｏ（　（Ｅ）一　（Ｅ））ｌｌ＞２￡０）＋Ｐ｛ｌｌ，０（　（Ｅ））ｌｌ＞２ｔｏ）　＜２ｅ＋￡＝３￡　这与（１）式矛盾．所以，｛ＦＫｈ＞　是一致　弱连续的．　（２）考虑赋范空间Ｘ　，由Ａｌ￣ｏｇｌｕ－Ｂｏｕｒｂａｋｉ定理（见［ｓｌｐ￣ｌ８一ｌｌ９），Ｘ”（＝ｘ）中闭　单位球Ｗ紧，从而Ｘ中每个有界闭子集部Ⅳ紧，故Ｘ是Ｗ有界完备，从而　Ⅳ一ＩｉｖＦ￣（Ｅ）存在且Ｆ＝Ⅳ一　（Ｅ）是的Ｅ　函数·下证Ｆ的　弱连续性：　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　谌德等：Ｓ．Ｉ．Ｓ．向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性　５　由（１），任意给定ｔ，Ｅ＞０：对任意的，∈Ｘ　，存在　＞０，当，　（　）＜　时　ｓｕｐＰ｛ｌｌｆ（Ｆｋ（　））ｌｌ＞￡）Ｓ　Ｅ　所以．对任意ｋ，有　Ｐ｛ｌｌ，（Ｂ（Ｅ））ｌｌ＞ｔ１　Ｓ　ｅ　令　一ｏｏ，得　Ｐ｛ＩＩ／（Ｆ（Ｅ））ＩＩ＞￡）Ｓ　Ｅ　由￡，ｅ的任意性知Ｆ是　弱连续．显然，Ｆ满足有限可加性．对Ｅ中任意不　∞　交序列｛　）　２－：｛Ｆ（　））　≥ｌ、对称。记Ｅ：Ｕ　，则任意给定￡＞０：对每个　１　，∈　，　（　（Ｅ¨一∑，１　（Ｆ（　））ｌＩ　ｔ）＝　（　（Ｕ　）ｌ＋１　Ｉ　ｔ卜ｏ　所以　，（Ｆ（　））＝∑，（Ｆ（Ｅ　））。．　ｎ：１　即Ｆ是ａ　弱可列可加的．由Ｉｔｏ－Ｎｉｓｉｏ的定理，Ｆ是ａ　可列可加的（在范　效拓扑下），即Ｆ是ｓ．ｉ　随机测度．　推论设日是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间。｛　ｈ＞一是一列日值的ｓ．ｉ　随机测度，对所有　的ｋ，　是『ｌ弱连续，且｛　）　＞一是弱几乎收敛，则　（１）｛　）－＞ｌ是一致『ｌ弱连续，　（２）由Ｆ（Ｅ）：Ｗ—ｂｌＪｊＦｋ（Ｅ）定义的Ｆ是ｓ．ｉ　随机测度且Ｆ是『ｌ弱连续．　定理２．２设ｘ是弱序列完备的Ｂａａｔａｃｈ空间且Ｘ　可分，｛　）　＞ｌ是一列　值ｓ．ｉ－ｓ．随机测度。满足：（ａ）对每个　：　是ｆ‘弱连续；（Ｉ，）任取Ｅ∈Ｅ：对每个　，∈Ｘ　，｛，（Ｆｋ（Ｆ）））＾≥ｌａ＿ｓ＿收敛｝（ｃ）任取Ｅ∈Ｅ：｛　（　））　＞ｌ是逐点有界的．则　（１）｛　）　＞ｌ是一致ｐ弱连续｝　（２）由Ｆ（Ｅ）＝Ｗ—ｌｉ｝ｎ　（　）定义的Ｆ是８．ｉ＾随机测度且Ｆ是ｐ弱连续．　证明由定理ｌ＿１知此时｛　）　一是弱几乎收敛，仿定理２．１的证明过程即得　欲证结论．　推论｛１）设Ｘ是具有单调基的弱序列完备的Ｂａｍ￣ｃｈ空间，且Ｘ非常光滑，　｛　）－＞－同定理２．２，则定理２．２的结论成立．　｛２）设Ｘ是具有无条件基ｆｚ　）．．）　的弱序列完备的Ｂ￣ｎａｃｈ空问且没有闭子空　间线性同胚于　－、｛　１－　－同定理２．２，则定理２．２的结论成立．　下面讨论ｓ．ｉ　随机测度序列在相容拓扑下的收敛性．　考虑自然对偶（　，Ｘ　）．取　为Ｘ　中某些　（　、Ｘ　）有界的子集组成的集旗，则　由　生成Ｘ上的一族拟范数ｆｎ（ｚ）ｌＡ∈　），其中ｎ（　）＝ｓｕｐ　ｌ，（　）ｌ＿由这族拟范数　，∈＾　又生成　上的局部凸向量拓扑　，其０点环境由所有形如｛　１　（ｚ）　ｅ，…，　（ｚ）ｓ　维普资讯 http://www.cqvip.com

６　应用数学与计算投学学报　ｌ３卷　ｆ）似ｌ，…，Ａ　∈　ｆ＞０）的集合组成．若　，　）　＝Ｘ　，则　是　上（关于对偶　（ｘ，Ｘ　））的相容拓扑．弱拓扑是最弱的相窖拓扑（见【８ｌＰｌｓｓ）．　定义２．１（１）设　是　上的相容拓扑，　值ｓ．ｉ．８．随机测度Ｆ称为，　—　连　续，若任给ｔ＞０：对每个Ａ∈＾　ｌｉｍｆ￡卜。＿Ｐ｛　（Ｆ（Ｅ））＞ｔ）＝０．　（２）一列　值ｓ．ｉ　随机测度｛　）　称为一致ｆ』一　连续，若任给ｔ＞０：对　每个Ａ∈　，ｌｉｍ　ＳＵｐ，｛Ｐａ（ｊ　（Ｅ））＞ｔ】＝０　（３）一列　值ｓ．ｉ－ｓ－随机测度｛　）　１称为　几乎收敛，若存在函数Ｆ：Ｅ—　，　使得：任取Ｅ∈Ｅ，存在ｎＦ∈　，使得，（ｎＦ）＝０，且对每个Ａ∈　Ｉｊｎ（　（Ｅ）一Ｆ（Ｅ））　在ｎ—ｎ　上存在且等于０．　定理２．３设　是Ｂｅａｌａｃｈ空间，　是Ｘ上相窑拓扑，且　是　序列完备，　｛　）　ｌ是一列　值ｓ．ｉ　随机测度，对所有的　：　是ｐ—　连续且｛Ｆ－）－　是　几乎收敛，则　（１）｛ｎ）｝＞ｌ是一致ｆ』一ｎ连续；　（２）由Ｆ（ＥＪ：　一　Ｉ　（Ｅ）定义的，是Ｘ值ｓ．ｉ　随机测度且Ｆ是　—　连　续（　—ｌｉｍ表　拓扑一Ｆ的极限）．　证明（１）假设｛　）　＞ｌ不是一致ｆｌ一　连续．则存在ｔ０＞０，Ａ０∈＾　＞０及　｛坼），≥ｌ　Ｃ　Ｅ使得，　（埤）　且　Ｓｌｉｐ，｛ｎ。（　（＾　））＞４　０｝＞４ｅ　（４）　■　仿定理２．１的证明过程知存在ｑ∈Ⅳ及　＞０，使得对满足　（Ｅ）＜　的　及任　何　三ｑ有　＿Ｐ｛，　（　（Ｍ＼Ｅ）一　（＾　＼Ｅ））＞ｔｏ）≤ｃ　（５）　＿Ｐ｛ｎ　｛Ｆｔ（Ｍ＼Ｅ）一　｛肘　＼Ｅ））＞ｔｏ）　ｃ　（６）　利用拟范数的次可加性及式ｆ５）、（６），仿定理２．１得　，｛Ｊ　。（Ｆｋ（Ｅ）一日（Ｅ））＞２　０）　２ｅ　又由　的ｆｌ—　连续性知：对每个ｍ∈｛１　２　３，…．ｑ）　存在　．，．当　（Ｅ）＜　时，　｛，　（Ｅ，。（Ｅ））＞ｆｏ｝　￡　所以，当ｆｔ（Ｅ）＜ｍｉｎ｛￣，　１．　２，…，　．　）时．对所有的　都有　｛　（Ｅ。　（Ｅ））＞　０）≤３ｃ　这与（４）式矛盾．所以．｛　ｈ　１是一致　—　连续　｛２）因Ｂ　空间　是　分离的局部凸空间，所以　是弱分离的（见［８】尸１ｌ３），　从而　是　分离的．故　中定向点列ｚ　在　下收敛到ｘ的充要条件是：对每　个Ａ∈　（　一　）一ｕ　｛７）　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期　谌德等：ｓ．Ｉ．ｓ．向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性　７　由｛　）　ｌ是ｎ几乎收敛及Ｘ的　完备性知　—ｌｉ　ｎ　存在且Ｆ＝　一ｌｉ［ｎＦ￣　是￡一　的函数．　由（１），仿定理２．１可证，的　—　连续性．　显然Ｆ满足有限可加性．对任何不交序列｛　）　Ｃ￡：｛，（　））　、对　称．任给ｔ＞０：对每个Ａ∈　，因为，是　—ＴＡ连续的　Ｐ｛　（（Ｕ　）一∑，（晶））　ｔ）＝，｛　Ｕ　）　卜０　ｕ　１　＋１　由（７）式知　，（Ｕ　）＝　一　∑Ｆ（Ｅｎ）ａ　因相容拓扑ｎ＞弱拓扑　｛　Ｘ　），所以　∞　，（Ｕ　）＝Ｗ一１　　∑Ｆ（１　Ｅ“）ａ－ｓ．　由Ｉｔｏ－Ｎｉｓｉｏ的定理．有　，（Ｕ　）　∑，（最．）　ｓ．　即，是　ｉ　ｓ．随机测度．　３．应　用　下面讨论关于ｓ．ｉ　随机测度的随机积分．　定义３．１　设，是实值ｓ．ｉ．ｓ－随机测度，Ｆ＜＜，　：Ｔ—Ｘ是简单函数　ｇ＝Ｅ　．·“。（｛Ａ）ｔ≥１不交），则定义　／９ｄＦ＝∑　Ｆ（Ａｉ）　函数９：Ｔ—Ｘ称为Ｆ＿可积的，若存在简单函数列｛９　）　使得　一ｇ，一ａ．ｅ　且｛，９　ｄ，）　１依概率收敛．此时记　／ｇｄＦ＝Ｐ－［　ｕ／　类似地可定义实值函数关于Ｘ值ｓ．ｉ　随机测度的税分．　引理３．１［５】设　是Ｆ　可秘两数（其中ｇ是Ｘ值，，是Ｒ　值．或ｇ是Ｒ　值，　，是Ｘ值），则对任何有界实值可测函数ｈ，ｈｇ是Ｆ．可积，且　Ｐ　一ＬｇｄＦ］１　）　｛ｌｌ　Ｊ　｝）　维普资讯 http://www.cqvip.com

８　应用数学与计算教学学报　１３卷　这里　ｆ　＝㈣ｓｌ　ｐ　＞０．　引理３－２［ｓｌ设Ｇ是ｘ．值ｓ．ｉ　随机测度，Ｇ＜＜　，９：Ｔ—　是Ｇ．可积函数，　则由Ｆ（Ｅ）＝，ｋｇｄＧ所定义的Ｆ是　．ｉ＾随机测度且Ｆ＜＜　定理３．１设ｘ是弱序列完备的Ｂｏ．ｕａｃｈ空间，｛　）　。是一列　值ｓ．ｉ＿８＿随机　铡度，对所有　：　＜＜　ｔ的，且｛　）　弱几乎收敛，ｇ是（　￡）一冠　的有界可　铡函数，则　（１）ｗ一　存在且由Ｆ（Ｅ）＝Ｗ—ｂ　“ｎ（Ｆ）定义的Ｆ是８．ｉ－ｓ－随机测度ｊ　（２）　帆　Ｊ　Ｊ／ｇｄＦ　　证明（１）仿定理２．１的证明过程即得ｉ　（２因１可积，由引理３．２）１知ｇ的可积性．下面先证：若Ｆ是ｓ．ｉ－ｓ－随机测度，　ｇ是有界可测函数，则对任意的，∈　：　，｛　ｄＦ）　ｉ｛，（Ｆ”　＾　Ｊ　Ｊ　事实上．当　是简单雨数时，设ｇ＝Ｅｔ　．，则ｆ（ｆｇｄＦ）：，（　ｎ，－Ｆ（毋））　∑　‘，（Ｆ（　ｔ））＝＿，　·　（，（Ｆ））．　当ｇ是有界可测甬数时，ｇ可表为一列简单函数｛９　｝　≥－一致收敛的极限　由已证知对所有的　，【／　ｔｊＦ）一／　ｄ（，｛Ｆ））＝ｕ　所以，对任给的　＞０：　，　／　／　｛　））　）　＝Ｐ｛ｉｆ，（／Ｊ，　　，（Ｆ））【　Ｆ，（Ｆ）））一一／　，（／　Ｆ『ｊｃ，（Ｆ）））＋，【Ｊ＞ｔ（／）　）　　　＋／　『ｊｓ　２ｓ撇　＋Ｐ｛Ｐ｛Ｊ　Ｊｌ，】／¨．　１ｌ”ａ，－“～，　ｌ｛Ｆ　＿）一．Ｊ／ｌＦ｛　Ｔ）一州ｌ，＿（＞；｝＋０＋　　）Ｊ）　Ｊ１＞　）　ＩＪ，｛／　卜／　Ｆ））Ｊ】　２Ｐ　【Ｉ１　＿Ｊ｛　（Ｔ））Ｊ　＿；）　下证（２）由引理３．２，＿ｆ９ｔｊＦ和．ｒ　·　ｎ都是Ｘ值ｓ．ｉ　随机测度．任给ｔ＞０：对任　维普资讯 http://www.cqvip.com

１期’　谌德等：ｓ　Ｉ　ｓ．向量随机测度在弱拓扑及相容拓扑下的收敛性　９　意的ｆ∈Ｘ　／　蚓　／　）　Ｐ　ｇＩｌ　）ｌ１＞ｆ）　／¨　肥　）　２Ｐ｛ｌ　ｌｌ　ｌ·ｌＩ（ｆ（Ｆｋ—Ｆ））（Ｔ）ｌｌ＞ｔ）　●　利用引理３．１及［６】定理２．１（２），仿上可证得如下的　定理３．２设　是Ｂｚ，ｌｉａｃｈ空间，｛　ｌ”三１是一列　值ｓ．ｉ　随机测度，对所　有的　：Ｆｋ＜＜，“且对任意的Ｅ∈Ｅ，（Ｆｋ（　））　三１依概率收敛，ｇ是（Ｔ，Ｅ）一Ｒ　的　有界可测函数，则　（１）由Ｆ（Ｅ）＝Ｐ—ｌｉ！ｌｉ　（　）定义的Ｆ是ｓ．ｉ＾随机测度；　（２）Ｐ一　ｌ，　＝．／９ｄＦ　对　可分的Ｂ￣ｕｉａｃｈ空间，我们有　定理３．３设　是弱序列完备的Ｂｍｌａｃｈ空问且　可分，ｇ是（　Ｅ）一冠　的有　界可测函数．｛　）　２　１是一列　值ｓ．ｉ　．随机测度，满足【ａ）对每个　：Ｆｋ＜＜，·；（ｂ）　任取Ｅ∈￡：对任意的ｆ∈　．｛，（凡（　））ｈ＞１　ａ－ｓ．收敛；（ｃ）任取Ｅ∈Ｅ：ｆ　（　）ｈ　ｌ　是逐点有界的．则有　（ｉ）ｗ—ｌ¨Ｆｋ存在且由ｆ（Ｅ）＝Ｗ—ｌｉ　（Ｅ）定义的Ｆ是ｓ．ｉ　随机测度；　（２）．ｒ　几　．ｒ　ｙｄＦ．　证明由定理２．２及引理３．１，仿定理３．１即得．　下面讨论ｓ．ｉ　随机测度的大数定律及中心极限定理．　Ｄ　Ｈ．Ｔｈ；ｎ　ｇ在ｆＧ１中给出了如下结论：　设Ｆ是　值　ｉ　ｓ．随机测度．对任意的Ｅ∈∑：ＥｌＩＦ（Ｅ）ｌＩ＜＋ｏ。．｛Ｆｋ）　＞ｌ　是ｆ的复制（即对任意的Ｅ∈Ｅ：｛Ｆｔ－（Ｅ）｝　且与Ｆ（Ｅ）同分布），定义　Ⅳ（　）＝ＥｌＦ（Ｅ）］，则Ｎ是（？，Ｅ）一ｈ的非随机测度．易见此时有Ｐ一１　·　∑Ｆｋ：Ｎ．　利用Ｈｏｆｆｍ；ｎｉｉ￣一１．ｔ】嘴　ｎ．￣ｃｔｌ［　】中的结论，我们得到了下面的　定理３．４（１）设　是具ｔｙｐｅ　ｐ的Ｂａｎａｃｈ空间（　＞１），｛　）　ｌ是一列的　值ｓ．ｉ．８．随机测度，对任意的Ｅ∈Ｅ：Ｅ［ｎ（　）】＝０（ｋ之１），且ｓｕｐＥＩＩＦ￣（Ｅ）ｌｌ。＜＋ｏ。．　则由［１０】定理３．１　２易证Ｐ　ｈｍ　１∑　＝【】．　’‘　１　（２）设　是具ｔｙｐｅ　Ｐ的Ｂａａａｄｋ空问（１　ｓ　Ｐ　２），｛ｎ）　ｌ是一列的　值　ｓ．ｉ　随机测度，对任意的Ｅ∈Ｅ：Ｅ［Ｆｋ（Ｅ）】＝ｔＩ（　２　１），且∑￣ＥＩｌＦｋ（Ｅ）ＩＷ＜＋。。．由　＝Ｉ　［１０】定理３　Ｌ．３不难证明：此时也有Ｐ　１　∑　＝０．　设　值　ｉ　ｓ．随机测度Ｆ满足：对任意的Ｅ∈Ｅ．ＥｌｌＦ（Ｅ）　＜＋ｘ．ＥＩＩＦ（Ｅ）ｌｌ　＜　＋ｏ。．由Ｔｈ￣ｕｉｇ的大数定律知：由ＪⅣ（Ｅ）＝　（　）］（Ｅ∈　）所定义的Ⅳ是一非随机　维普资讯 http://www.cqvip.com

ｌ０　应用教学与计算数学学报　１３卷　测度，仿【６］的方法，我们可证得　．　定理３．５设ｘ具ｔｙｐｅ　２，Ｆ是ｘ值ｓ．ｉ＿８．随机测度，对任意的　∈￡，目ＩＦ（Ｅ）ＩＩ＜　佃，司Ｉ，（　）ＩＩ　‘＋。Ｘ值ｓ．ｉ．ｓ．Ｇａｕｓｓｉ￣＊随机测度．ｍ嘲　。，｛　）　是Ｆ的复制·则去吾（啪　　嘲嘲ｍ嗍　　一Ⅳ）依分布收敛到某　参考文献　Ｂａｖ－ｈａｅ＊，Ｓ．：Ｓｔｏｃｈ￣ｓｔｌｃ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ａｎｎ．Ｍａｔｈ．４８，１０１４．１０６１ｆｌ９４７）．　Ｕｒｂａｎｌｋ，Ｋ．：Ｓｏｍｅ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　ｓｔｒｉｃｔｌｙ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｐｒ￣ｅｓｓｅｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ　ｏｆ　Ｆｉｆｔｈ　Ｂｅｔ￣ｉｌｅｙ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ；ａｕｄ　Ｐｒｏｈａｈｉｌｌｔｙ　ＩＩ．ＰＰ．２３５－２５８．Ｂｅｒｋｅｌｅｙ；　ＵＩｎｖｅｒ￣ｔ￣ｏｆ　Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ　Ｐｒｅ蚰ｌ９６７．　Ｍａｚｃｗ，Ｍ．Ｂ．Ｗｏｙｃｚｙｎｓｋｉ，Ｗ．Ａ．：Ｓｔａ　ｅ　ｍｅ删Ｉｌ阳８　ａｌ－ｄ　ＣｅｌｌｔｒＭ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ．ｍ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ｓｔａｂｌｅ　ｔｙｐｅ．Ｉｒｒ柚８．ＡＩｌ１．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．２５ｌ，７ｌ－１０２ｆｌ９７９）．　ＯＩｍｚａｌｄ．Ｙ．：Ｗｉｌ　ｒ　ｉｕｔｅｇｒ￣ｌ　ｂｙ　ｓｔ￣Ｍｅ　ｒａｎ‘Ｉｏｉｎ　ＩⅡｅ　Ｉｌｒｅｓ．Ｍｅｒｅ．Ｆａｃ．Ｓｄ．Ｋｙｎｓｈｕ．Ｕｎｌｖ．Ｓｅｔ．Ａ３３，１·　＂／０（１９７９）．　Ｒｏ，ｄｎ，ｄｄ，３：Ｒａｎｄｏｚ．．ｉｎｔｅｇｒａ］￣．ｏｆＢａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅ　ｖａｌｕｅｄ　ｆ．ｎｔｌｏｎｓ，Ｓｔｎｉ｜．Ｍａｔｈ．７８，ｌ　５．３８（１９８４）．　Ｄ．Ｈ．Ｔｈ￣ｔｇ：Ｏｎ　ｔｈｅ　ｃ０ｌＩ　ｒ　ｌＩｃｅｏｆｖｅｃｔｏｒ　ｒａＪ．｜ｏ　ｚｚｔ］Ｉ｜Ｃ￣ＬＳＩ｜ＩＣ８．Ｐｒｏｂａｂ．Ｔｈ．Ｒｅ１．Ｆｉｅｈｌｓ．８８，ｌ－６（１９９１）．　Ｋ．Ｉｔｏ　ａＩＩｄ　Ｍ．Ｎｉｓｉｏ：Ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ日ｕｍ８　ｏｆ　ｈｔｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｂａ￣ｌａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ　ｖ＇．ｄ，ｚｅｄ　ｒａ］ｌｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｃ￣．０ｓａｋａ　ＭａｔｈＪ．５ｆｌ９６８１，３５－４８．　夏过行　扬亚立：线性拓扑空问引论，上海科学技术出版社（ｚｇｓ６）．　龠圭泰：Ｂａｎａｃｈ空问几何理论，华东师范大学出版社（：９ｓ６）．　Ｊ．Ｈ嘏ｍＩｕＩ　ＪｕＩ　ｎ　ｎＩｒｔｎｌ吼ｈｎｉｔｙｉｕＢ　师　ｅ．Ｂｅ￣ｌｌｔｔＨｅｋｌｅｌｈｅｚｇＮｅｗＹｏｒｋ，Ｓｐｃｉｕｇｅｒ（１９７７）．　ＴＩ．－ＣＯｌＩＶ（　ｌ。ｇｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｓ．Ｉ．Ｓ　Ｒａ（｜ｏｍ　Ｍｅａ．ｓｕｒｅｓ　ａｌｌ（１　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ＤＥ　ＣＨＥＮ　ｚ，　ＮＧ　ｅｐａｒｔｍｃ．ｔ　Ｉ　Ｍ￣ｔｈｅｍａｔｉｅｓ．Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｎｏ，ｍⅡｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ￣，Ｓｈ￣ｎｇｈａ１．ｚｏｏ￣ｓ４）　Ａｈｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｃｖｏｔｃ￣ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｔｕ，ｌｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｏｕｖ￣Ｉｔｃｅ　ｏｆ　Ｓ．Ｉ．Ｓ　ｖｅｃｔｏｒ　ｌ；ｍｄｏ¨ｌ　ｍｅａ．￣ｕｚｅｓ．Ｔｈｅ　Ｖｉｔ＊￣ｉ．Ｈａｂｎ－Ｓａｋｓ　ｔｈｅｕｚｅｎｌ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎ，ｐａｔｉｈｌｅ＆ｗｅａｋ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｔｈｅＩ，ｒｃｌＩ衅ｏｆ　ｓｔｎ‘ｌＩ：　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ｓｕｃｈ　ｆ　ｄＩｚｎ（　：　‘一　ｄｌｌｅｄ　ｌ　ｌｌｒ．Ｉｈｉｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，见：　Ｘ－ｕｌｕｔ４］Ｓ．Ｉ．Ｓ．ｘ￣ｕｌｏｚｕ　ｕＩｃ：　ｌｌｒｃ　１　ａｒｅ　ｒｅｓｃｕｒｅｄ．Ｔｈｅ　ｌａｗ　ｏｆ　ｌａｒｇｅ　ｌ，ｕＩｕｈｅｚｓ　ａｌｌｔｌ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｈｎｉｔ　Ｕｌ∞矗ｌ＿　ｅｆ　Ｓ．Ｉ．Ｓ．ｖｅｃｔｏｒ　ｚｌｕｌｄ（１ｌｌ｜ｌｌｌｅａ５Ｉｌｒｅ８　ｉｎ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ｔｙｐｅ　ｐ　ａｒｅ　ｂｒｏｕｇｈｔ　ｏｕｔ．　ｅｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｓ．Ｉ．Ｓ．ｒ；ｔｌｌｄＯｌｌ！ｌｕｅａ８ｎｒｅ　，ｃｏｎｔｒｏｌ　ｌｌｌｅ￣ｔｉ，ｚ１．８，ａｌｍｏｓｔ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｗｅａｋｌｙ，Ｔ￣ａｈｎｏｓｔ　ｍ，ｅｆ目ｅｎ‘－