2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．

1cosx,x0（1）若函数f(x)在x连续，则 axb,x0 (A) ab【答案】A 【详解】由limx01． 2(B) ab1． 2(C) ab0． (D) ab2．

1cosx11b,得ab.

ax2a2（2）设函数fx可导，且f(x)f'(x)0则

(A) f1f1 ． (B) f1f1． (C) f1f1． 【答案】C

(D) f1f1.

f2(x)]0,从而f2(x)单调递增,f2(1)f2(1). 【详解】f(x)f(x)[2（3）函数f(x,y,z)xyz在点(1,2,0)处沿着向量n(1,2,2)的方向导数为 (A) 12． 【答案】D

(B) 6．

(C) 4．

(D)2 ．

22【详解】方向余弦cos12,coscos,偏导数fx2xy,fyx2,fz2z,代入33cosfxcosfycosfz即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线vv1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线vv2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

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(A) t010． 【答案】C

【详解】在t025时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处. （5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 (A) Eαα不可逆． (C) E2αα不可逆． 【答案】A

【详解】可设TT(B) 15t020． (C) t025． (D) t025．

(B) Eαα不可逆． (D) E2αα不可逆．

TTT,则T的特征值为1,0,,0,从而ET的特征值为

0,1,,1,因此ET不可逆.

20021012（6）设有矩阵A021，B020，C

0010012 (A)A与C相似，B与C相似． (B) A与C相似，B与C不相似．

(C) A与C不相似，B与C相似． (D) A与C不相似，B与C不相似． 【答案】B

【详解】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以

A可对角化, B则不行.

（7）设A,B为随机事件，若0P(A)1，0P(B)1，则P(A|B)P(B|A)的充分必要条件

(A) P(B|A)P(B|A)． (C) P(B|A)P(B|A)． 【答案】A

【详解】由P(A|B)P(A|B)得

(B) P(B|A)P(B|A)． (D) P(B|A)P(B|A)．

P(AB)P(AB)P(A)P(AB),即P(B)P(B)1P(B)P(AB)>P(A)P(B);

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由P(B|A)P(B|A)也可得P(AB)>P(A)P(B). （8）设X1,X2,1n,Xn(n2)为来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi，则下

ni1列结论不正确的是 (A)

22(X)服从分布 ． in2(B) 2(XnX1)服从分布．

2i1 (C)

(Xi1niX)2服从2分布． 2(D) n(X)服从分布．

2【答案】B

nnXi22~N(0,1)(Xi)~(n),(XiX)2~2(n1); 【详解】

1i1i1(XnX1)2122~2(1). X~N(,),n(X)~(1);XnX1~N(0,2),2n

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．（9）已知函数f(x)【答案】0 【详解】f(x)1,f(3)(0) ． 21x(1x1),没有三次项.

1241xx21x（10）微分方程y2y3y0的通解为 ．

x【答案】ye(C1cos2xC2sin2x)

x2【详解】特征方程r2r30得r12i,因此ye(C1cos2xC2sin2x).

（11）若曲线积分 ． 【答案】1

xdxaydy22Lx2y21在区域D(x,y)xy1内与路径无关，则a

【详解】有题意可得

QP,解得a1. xxn1（12）幂级数

(1)n1nxn1在(-1,1)内的和函数S(x) ．

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【答案】

1 2(x1)【详解】

(1)nxn1n1n1[(x)n]n11.

(x1)2101（13）A112，1，2，3是3维线性无关的列向量，则A1,A2,A3的秩

011为 ．

【答案】2

【详解】r(A1,A2,A3)r(A)2

（14）设随即变量X的分布函数F(x)0.5(x)0.5(布函数，则EX ． 【答案】2 【详解】EXx4)，其中(x)为标准正态分2xf(x)dx0x[0,5(x)0.5x4()]dx2. 22三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答

案写在答题纸指定位置上． ．．．（15）（本题满分10分）．

dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，yf(e,cosx),求

dxxd2y,2x0dx.

x0【答案】

yf(ex,cosx)

dyf1'exf2'sinx,dxdyx0f1'(1,1)dx 2 dy''x''x'x''x'''fefsinxefe(fefsinx)sinxfcosx11121212222dxd2y''''x0f(1,1)f(1,1)f(1,1)11122dx（16）（本题满分10分）．

求limkkln(1).

nn2n【答案】

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limkkln(1)2nnk1n122nn1lim2ln(1)2ln(1)...2ln(1)nnnnnnn11122nnlimln(1)ln(1)...ln(1)nnnnnnnn111xln(1x)dxln(1x)dx200211111x2ln(1x)x2dx00221x111x211ln2dx0221x11111ln2[(x1)dxdx]00221x11111ln2[(x2x)ln(1x)]002221111ln2(1ln2)2224（17）（本题满分10分）．

已知函数y(x)由方程xy3x3y20确定，求y(x)的极值. 【答案】xy3x3y20①，

方程①两边对x求导得：3x3yy33y0②，

' 令y0，得3x3,x1.

222''3333

当x1时y1，当x1时y0.

方程②两边再对x求导：6x6y(y)3yy3y0，

' 令y0，6x(3y1)y0，

2'''22''''3''，当x1，y0时y6. 2 所以当x1时函数有极大值，极大值为1，当x1时函数有极小值，极小值为0.

当x1，y1时y'' （18）（本题满分10分）．

设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0，limx0f(x)0.证明： x（I）方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根;

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（II）方程f(x)f''(x)[f'(x)]0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)

x02limf(x)0，由极限的局部保号性，c(0,),使得f(c)0，又xf(1)0,由零

点存在定理知，(c,1)，使得，f()0.

(2)构造F(x)f(x)f'(x)，F(0)f(0)f'(0)0，F()f()f'()0，

x0limf(x)f(1)f(0)0,f'(0)0,由拉格朗日中值定理知(0,1),f'()0，x10f'(0)f'()0,所以由零点定理知1(0,)(0,1)，使得f'(1)0，F(1)f(1)f'(1)0, 所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．

设薄片型物体S是圆锥面z其上任意一点处的x2y2被z22x割下的有限部分，

密度为(x,y,z)9x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为C； （I）求C在xOy平面上的投影曲线的方程； （II）求S的质量M。

22(x1)2y21zxy【答案】(1)C的方程为，投影到xoy平面的方程为：

2z0z2x(2)Mu(x,y,z)dS9x2+y2z2dS92x2+y2x2+y2dS182d22cos08x+ydxdy182cos3d

32222962cos3d96(1)

03

（20）(本题满分11分)．

设3矩阵A(1,2,3)有3个不同的特征值，3122 （I）证明：r(A)2;

（II）若123，求方程组Ax的解.

精品 欢迎下载 可修改

【答案】

312，12230,11,2,320，故10是A的特征值.1又A有三个不同的特征值，故10为单根，且A一定能相似对角化.

A~,

r(A)r()2.（2）由（1），Ax0的通解为k1,2,1，

T1T123，故有1,2,31，即A1,1,1.

1Ax的通解为k1,2,1(1,1,1)T(k为任意常数).

T

（21）（本题满分11分）．

222设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy 下22的标准形为1y12y2，求a的值及一个正交矩阵Q。

142（21）【答案】二次型的矩阵A111，

41a22因为二次型在正交变换下的标准形为1y12y2，故A有特征值0，

A0，故a2.

2由EA1141(3)(6)0得特征值为

114213,26,30.

解齐次线性方程组iEAx0，求特征向量.

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5141011对13，3EA121011,得11；

41500014141011对26，6EA171010,得20；

4140001

2141011对30，0EA111012,得32；

4120001因为1,2,3属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令1111,1,1T,2211,0,1T,311,2,1T， 123261201216222f3y6y,对应标准形为. 12616131所求正交矩阵为Q313 （22）（本题满分11分）．

设随机变量X与Y相互，且X的概率分布为P{X0}P{X2}率密度为f(y)（I）求P{YEY}

（II）求ZXY的概率密度。 22、【答案】（1）EY231，Y的概22y,0y1

0,其他.12yf(y)dyy2ydy， Y03230PYEYfY(y)dy2ydy（2）Z的分布函数为

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FZ(z)PZzPXYz,X0PXYz,X2PX0，YzPX2，Y2z1FY(z)FY(z2)21PYzPYz2 2故Z的概率密度函数为

z00,z,0z10z1z,1fZ(z)FZ(z)f(z)f(z2)0,1z2z2,2z3. 2z2,2z30,其它z30,

（23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量

是已知的.设n次测量结果X1,X2,Xn相互且均服从正态分布N(,2).该工

程师记录的是n次测量的绝对误差ZiXi(i1,2,,n).利用Z1,Z2,Zn估计

.

（I）求Zi的概率密度；

（II）利用一阶矩求的矩估计量； （III）求的最大似然估计量.

【答案】Z1的分布函数为FZ1(z)PZ1zPX1zPX1z， z0时,FZ1(z)0; zz0时,FZ1(z)21.(z)所以Zi的概率密度均为fZ(z)FZ（2）EZ122e2,20,z2z0其他2.

02ze2z222令tzdz220tet22t2e2dt202， 2令EZ1Z，即

2Z，得的矩估计量为： 2精品 欢迎下载 可修改

ˆ21nZ，其中ZZi. 2ni1（3）记Z1,Z2,,Zn的观测值为z1,z2,,zn，当zi0(i1,2,,n)时，

似然函数为L()f(z;)ii1i1nn22e22n(2)2nzi2n2ne122zi2i1n，

n1lnL()nln2ln(2)nln222zi12i，

dlnL()n1n21n2令3zi0，得zi di1ni11n2ˆ的最大似然估计量为Zi.

ni1

亲爱的用户： 1、最困难的事就是认识自己。22.4.274.27.202219:5519:55:14Apr-2219:55

2、自知之明是最难得的知识。二〇二二年四月二十七日2022年4月27日星期三

3、越是的人，越喜欢挑剔别人。19:5.27.202219:5.27.202219:5519:55:144.27.202219:5.27.2022 4、与肝胆人共事，无字句处读书。4.27.20224.27.202219:5519:5519:55:1419:55:14

烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉

人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一5、三军可夺帅也。Wednesday, April 27, 2022April 22Wednesday, April 27, 20224/27/2022

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。7时55分7时55分27-Apr-224.27.2022

样美丽，感谢你的阅读。 年4月27日星期三二〇二二年四月二十七日 7、人生就是学校。22.4.2722.4.2722.4.27。2022

8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。19:5519:55:144.27.2022Wednesday, April 27, 2022