高三数学-2016届高三9月月考数学试题

2016届高三9月月考数学试题

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.

1.已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合AB中元素的个数为 ▲ . 【答案】5 【解析】

试题分析：AB{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}，共5个元素. 考点：集合运算

2.若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝ ▲ . 【答案】2 【解析】

试题分析：由题意得：z考点：复数模的性质

3.命题“x0,x24x20”的否定是 ▲ . 【答案】x0,x24x20 【解析】

试题分析：因为命题“x,p”的否定是“x,p”，所以命题“x0,x24x20”的否定是“x0,x24x20”. 考点：存在性命题的否定

4.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ . 【答案】

2i2i|2i|2|z|||2. 1i1i|1i|25 34658766，所以方差为

6【解析】

试题分析：先计算平均值：x222012221205s.

63考点：方差

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2 只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .

1

【答案】

5 6考点：古典概型概率

6.如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为 ▲ .

【答案】5 【解析】

试题分析：第一次循环：S022,k112；第二次循环：

S2226,k213；第三次循环：S62314,k314；第一次循环：S142430,k415； 3020，结束循环，输出k值为5

考点：循环结构流程图

7.如图，它是函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0， 【解析】

试题分析：当t0,1时，f(f(t))f(3t)，则31,3，所以

t3,3t1f(f(t))93tt

3,3(1,3]22 2

所以093t77313t3log3t1 2233考点：分段函数

14.已知函数fxx2axba,bR与x轴相切,若直线yc与yc5分别交

fx的图象于A,B,C,D四点,且四边形ABCD的面积为25,则正实数c的值为 ▲ . 【答案】4

考点：二次函数性质

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）

已知a(sin,cos),b(3,1).

(1)若a//b,求tan的值；

(2)若f()ab, ABC的三个内角A,B,C对应的三条边分别为a、b、c, 且af(0),bf(),cf(),求ABAC.

637【答案】(1) 3 (2)

2【解析】

试题分析：(1)由向量平行坐标关系得关于的三角函数关系式：sin3cos0，进而求出tan的值； (2)先根据向量加法及模的定义得关于的三角函数关系：

f()523sin2cos，并利用配角公式将其化为基本三角函数，从而得到三角形三边的值，再利用余弦定理求出向量AB,AC夹角，最后利用向量数量积定义求出ABAC值

试题解析：解:(1)a//b,sin3cos0 „„„„„„„3

分

sin3costan3 „„„„„„„6分

3

(2)ab(sin3,cos1) ab(sin3)2(cos1)2 „„„„„„„8分 523sin2cos54sin()6

af(0)54sin67

„„„„„„„9分

bf()54sin05 „„„„„„„10分

6cf()54sin3 „„„„„„„11分

32b2c2a275由余弦定理可知:cosA „„„„„„„12分2bc307ABACABACcosAbccosA (其它方法酌情给分) „„„„„14分

2考点：向量数量积,余弦定理 16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点． （1）求证：PC // 平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．



【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即利用线线平行给予证明.本题利用三角形中位线性质进行证明线线平行，（2）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即利用线面垂直给予证明.由题意可知PA是面BDE的垂线，而证明线面垂直，又需从线

4

线垂直出发，结合线面垂直判定定理给予证明.

试题解析：证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝

OC． „„„2分

因为 E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC． „„„4分 因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC // 平面

BDE． „„„6分

（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．„8分因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE＝E，

所以PA⊥平面BDE． „„„„„„„12分 因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB． „„„„„„„14分 考点：线面平行判定定理, 面面垂直判定定理 17.（本小题满分14分）

设aR，fxcosxasinxcosxcos2x满足2ff0， 3(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；

222acbc （Ⅱ）设ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c且2， 222acabc 求f(x)在0,B上的值域． 【答案】(Ⅰ) 【解析】

试题分析：(Ⅰ) 先根据条件fk,k(kZ)（Ⅱ）1,2

36f0确定a的值，再利用诱导公式、二倍角公式、33sin2xcos2x2sin(2x).6配角公式将三角函数化为基本三角函数形式：f(x)最后根据正弦函数性质求其单调增区间（Ⅱ）先根据正弦定理及余弦定理将边的条件

a2c2b2c化简为角的关系2222acabc2sinAcosBsinCcosBsinBcosC,2sinAcosBsin(BC),即cosB（0，]B,再根据正弦函数性质求其在3上的值域．

3

5

1,所以2

试题解析：解：(Ⅰ)f(x)asinxcosxcos2xsin2xasin2xcos2x. 2由f(3)f(0)得3a1„„„„„„„3分1,解得a23.222

因此f(x)令3sin2xcos2x2sin(2x).

622k2x622k,kZ得6kx3k,kZ

故函数f(x)的单调递增区间k,k(kZ) „„„„„„„7分

36a2c2b22accosBccosBc（Ⅱ）由余弦定理知：，即2222abcosCbcosC2acabc2acosBccosBbcosC，

又由正弦定理知：2sinAcosBsinCcosBsinBcosCsinBCsinA， 即cosB当x0,1,所以B „„„„„„„10分 23时，2x,，fx1,2，故f(x)在0,B上的值域为66231,2„„14分

考点：诱导公式、二倍角公式、配角公式，正弦定理及余弦定理 18.（本小题满分16分）

已知二次函数f(x)ax2bx(a,b为常数且a0)满足条件f(x3)f(5x)，且方程f(x)x 有等根. （1）求f(x)得解析式；

（2）是否存在实数m,n(mn)，使f(x)得定义域和值域分别为m,n和3m,3n？

如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）f(x)【解析】

试题分析：（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法，本题由f(x3)f(5x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x1,即12xx（2）m4,n0. 2b1，再由方程f(x)x有等根得b10,（2）2a6

研究二次函数值域，需明确对称轴与定义区间相对位置关系，本题为避开讨论，先研究二次函数值域f(x)12111xx(x1)2，从而确定定义区间必在对称轴的左侧，2222进而有f(m)3m,即m,n是方程f(x)3x的两根,

f(n)3n,x可)知，函数f(x)图像的对称轴为试题解析：解：（1）由f(x3)f(5x1,即b1○1 2a又方程f(x)x有等根,即ax2(b1)x0有等根.

11可得a. b10,故󰀀b=1,代入○

21f(x)x2x. „„„„„„„ „„„6分

212111112(2)f(x)xx(x1),3n.mn1.

222226函数存在实数m,n(mn),使f(x)得定义域和值域分别为m,n和3m,3n,

则有f(m)3m,1即m,n是方程f(x)3x的两根,且mn. „„„ „„„10分

6f(n)3n,由f(x)3x得x14,x20,m4,n0.

存在这样的实数m,n,m4,n0. „„„„„„„„„„16分

考点：二次函数解析式，二次函数值域 19.（本小题满分16分）

某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数yf(x)来拟合该景点对外开放的第

x(x1)年与当年的游客人数y（单位：万人）之间的关系.

（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数yf(x)所具有的性质； ．．．．．．． （2）若f(x)=

mn，试确定m,n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； xx （3）若f(x)=abc(b0,b1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取

值范围．

7

【答案】（1）预测①：f(x)在1,上单调递增；预测②：f(x)130对x1,恒成立；（2）m401符合预测①，不符合预测②.（3）0,

3n140a0a0f(x)0,alnb0从而或. 分两种情况讨论函数最大值：当b1时，

b10b1函数无最大值；当0b1时，函数最大值小于C，因此只需c≤130即可 试题解析：解：（1）预测①：f(x)在1,上单调递增；

预测②：f(x)130对x1,恒成立； „„„„„„„3分

100mnm40m（2）将（1，100）、（2，120）代入到yn中，得，解得. mx120nn1402因为f(x)测①；

又当x4时，

4040140,所以f(x)20，故f(x)在1,上单调递增，符合预xx40140≥130,所以此时f(x)不符合预测xf(x)②. „„„„„„„8分

20a100abcb(b1)（3）由，解得.因为f(x)abxlnb,要想符合预测2120abcc10020b1①，则f(x)0,即alnb0，从而a0a0或. „„„„„„„10分 b10b1（i）当b1时，a200，此时符合预测①，但由f(x)130，解得

b(b1) 8

b3x≥logbb2，

22即当x≥logb32bb时，f(x)≥130， 22所以此时f(x)不符合预测②； „„„„„„„12分

（ii）当0b1,a200，此时符合预测①，又由x≥1,知bx0,b，所以

b(b1)abxab,0；从而f(x)abc,c.欲f(x)也符合预测②，则c≤130，即

100120≤130,又0b1，解得0b≤.综上所述，b的取值范围是

3b110,„„„„„„„16分 3 考点：函数单调性，不等式恒成立 20.（本小题满分16分）

已知函数f(x)axx2xlna(a0且a1)． (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若存在x1,x21,1，使得f(x1)f(x2)e1 (e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．

1【答案】(1) y＝1. (2) 单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．(3) 0，∪e

时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．再利用导数比较f(－1)和f(1)大小：当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(－1)；当0试题解析： (1)∵函数f(x)＝a＋x－xln a(a>0，且a≠1)，

∴f′(x)＝aln a＋2x－ln a， ∴f′(0)＝0.

又f(0)＝1，∴函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. „„„„„„„„„„4分

(2)由(1)知，f′(x)＝aln a＋2x－ln a ＝2x＋(a－1)ln a.

9

xxxx2

∵当a>0，且a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数． 又f′(0)＝0，

∴不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，

故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．„„„„„„„„„10分

(3)∵存在x1，x2∈，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立， 当x∈时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min， ∴只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．

又当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示

x f′(x) f(x) (－∞，0) －  0 0 极小值 (0，＋∞) ＋  ∴f(x)在上是减函数，在上是增函数， ∴当x∈时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值． „„„„„„„„„„12分

11∵f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－＋1＋ln a＝a－－2ln a，

a

a11212

令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，而g′(a)＝1＋2－＝1－≥0，

aaaa

1

∴g(a)＝a－－2ln a在(0，＋∞)上是增函数， „„„„„„„„„„13

a分

又g(1)＝0，∴当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(－1)； 当0∴当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，

又函数y＝a－ln a在(1，＋∞)上是增函数， „„„„„„„„„„14分

∴解得a≥e；

1

当0a11

又函数y＝＋ln a在(0,1)上是减函数，∴解得01综上可知，实数a的取值范围为0，∪[e，＋∞)． „„„„„„„„„„16分

e

考点：导数几何意义,利用导数其函数单调性、最值

10

11