上海市松江区2013年高考一模数学试题(理)

松江区2012学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1

一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合A0,a,B1,a2，若AB0,1,4,16，则a ． 2．若行列式

2x14210，则x ．

3．若函数f(x)2x3的图像与g(x)的图像关于直线yx对称，则g(5)＝ ．

4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．

n5．已知数列{an}的前n项和Sn2n，则a3 ．

1），且ab，则tan ． 6．己知a(1,2sin)，b（cos，227．抛物线的焦点为椭圆

x52xy8．已知lgxlgy1，则45y1 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 .

的最小值为 ．

9．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b2c2a2bc，且bc8， 则△ABC的面积等于 ．

10．若二项式(xa)7展开式中x5项的系数是7，则lim(aaan242n)= ．

11．给出四个函数：①f(x)x1x，②g(x)3x3x，③u(x)x3，④v(x)sinx，其中满足条件：

对任意实数x及任意正数m，都有f(x)f(x)0及f(xm)f(x)的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）

12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a,b0,1,2,3,9，若ab1，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．

13．已知yf(x)是定义在R上的增函数，且yf(x)的图像关于点(6,0)对称．若实数x,y满足不等式

f(x6x)f(y8y36)0，则xy的取值范围是 ．

222214．定义变换T将平面内的点P(x,y)(x0,y0)变换到平面内的点Q(x,若曲线C0:x4y2y)．

1(x0,y0)经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2，依次类推，

*曲线Cn1经变换T后得到曲线Cn，当nN时，记曲线Cn与x、y轴正半轴的交点为An(an,0)和

Bn(0,bn)．某同学研究后认为曲线Cn具有如下性质：

①对任意的nN，曲线Cn都关于原点对称； ②对任意的nN，曲线Cn恒过点(0,2)；

③对任意的nN，曲线Cn均在矩形OAnDnBn（含边界）的内部，其中Dn的坐标为Dn(an,bn)； ④记矩形OAnDnBn的面积为Sn，则limSn1

n***其中所有正确结论的序号是 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

1 1

15．过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是( )

A．x2y10； B．x2y10； C．2xy20； D．x2y10 16．对于原命题：“已知a、b、cR，若ab ，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，

在这4个命题中，真命题的个数为( )

A．0个 B．1个； C．2个； D．4个

17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有( )

A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 18．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有

1xf(x2)f(x2),且当x[2,0]时，f(x)()1．若在区间

2(2,6]内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是

( )

A．(1,2)；

B．(2,)；

C．(1,34)； D．(34,2)．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤． 19．（本题满分12分） 大值和最小值． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知zC，且满足z(zz)i52i． （1）求z；

（2）若mR，wzim，求证：w1．

2已知a(2cosx,1)，b(cosx,3sin2x)，其中xR.设函数f(x)ab，求f(x)的最小正周期、最

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4x20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）． （1）当0x20时，求函数v(x)的表达式；

（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f(x)xv(x)可以达到最大，并求出 最大值． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知递增的等差数列{an}的首项a11，且a1、a2、a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设数列{cn}对任意nN，都有（3）若bnan1an**c12c222cn2nan1成立，求c1c2c2012的值．

(nN)，求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

2 2

对于双曲线C:xa22yb221(a0,b0)，定义C1:xa22yb221为其伴随曲线，记双曲线C的左、

右顶点为A、B.

（1）当ab时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c2c1，求双曲线C的渐近线方程；

（2）若双曲线C的方程为轨迹方程；

（3）过双曲线C:x2y21的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N1、N2两点，求证：对任x24y221，弦PQx轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的

意的k[2114,24]，在伴随曲线CS，使得FNFS21上总存在点1FN2.

松江区2012学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷参

1． 4 2． 2 3． 1 4． 20

3

3 2013.1

5． 5 6．

212127

7．y4x 8． 2 9． 23 10． 11．③ 12．

2513． [16,36] 14． ③④ 15．D 16． C 17．C 18．D 19．解：由题意知f(x)ab2cos2x2cos2x123sin2x „„„„„„„„„ 3分

3sin2x

cos2x3sin2x1

2sin2x1 „„„„„„„„„„„„„ 6分

6∴最小正周期 T当2x当2x622 „„„„„„„„8分

6k,kZ时，

2322k，即x2k，即xf(x)max213„„„„„„10分

623k,kZ时，

22fxmin211„„„„12分

220．解：（1）设zabi(a,bR)，则z由a2b22ai52i

ab，(zz)i2ai „„„„2分

a2b25得 „„„„„„„„„„„4分

2a2a1a1解得 或 „„„„„„„„„„„„ 5分

b2b2∴z12i或z12i„„„„„„„„„„„„ 7分 （2）当z12i时，

wzim(12i)im2im(m2)11„„„„„„„„ 10分

22当z12i时，

wzim(12i)im2im(m2)11„„„„„„„„„13分

∴w1 „„„„„„„„„„„14分 21．解：（1）由题意：当0x4时，vx2； „„„„„„„„„„2分 当4x20时，设vxaxb，显然vxaxb在[4,20]是减函数，

1a20ab08由已知得，解得 „„„„„„„„„„4分

4ab25b22,故函数vx=15x,280x4,xN*4x20,xN* „„„„„„„„„„6分

4 4

*2x,0x4,xN（2）依题意并由（1）可得fx1 „„„8分 52*4x20,xN.xx,28当0x4时，fx为增函数，故fmaxxf(4)428； „„„„10分 当4x20时，fx18x252x18(x20x)218(x10)210082，

fmaxxf(10)12.5． „„„„„„„„„„12分

所以，当0x20时，fx的最大值为12.5．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．

„„„„„„„„„„14分 22．解：（1）∵an是递增的等差数列，设公差为d (d0)„„„„„„„„1分

a1、a2、a4成等比数列，∴a2=a1a4 „„„„„„„„2分

2由 (1d2)1∴ann(nN*)

及(1d3)d0得 d1 „„„„„„„„„„„3分 „„„„„„„„„„„4分

c12c222（2）∵an1n1，当n1时，

c12cn2nn1 对nN都成立

*2得c14 „„„„„„„„„„„5分 c12c222当n2时，由①－②得

cn2nncn2nn1①，及

c12c222cn12n1n②

1，得cn2 „„„„7分

4(n1)∴cnn „„„„„8分

2(n2)232012∴c1c2c2012422242(1222011)1222013

„„„„10分

**（3）对于给定的nN，若存在k,tn,k,tN，使得bnbkbt „„„11分

k1t1， „„„„„„„12分

nnkt1111111即1(1)(1)，即

nktnktktn(k1)即ktntnkn，t 取kn1，则tn(n2) „„„„„„„14分

kn∵bnn1，只需

n1∴对数列{bn}中的任意一项bnn1nn2n使得bnbn1bn22n „„„„„„„„„16分

，都存在bn1n2n1和bn22nn2n122

23．解：（1）∵c2ab，c122222ab „„„„„„„„„1分

222222由c2c1，得ab2ab，即ab4(ab)

可得

ba2235 „„„„„„„„„3分

155x „„„„„„„„„4分

∴C的渐近线方程为y 5 5

（2）设P(x0,y0)，Q(x0,y0)，又A(2,0)、B(2,0)， ∴直线PA的方程为y直线QB的方程为yy0x02y0x02(x2)„„„„①

(x2)„„„„② „„„„„„„„6分

4x0x由①②得 „„„„„„„„„„„„8分

2yy0x∵ P(x0,y0)在双曲线

422x24xy22y1上

4y22∴xx42

221 ∴

421 „„„„„„„„„„„„10分

（3）证明：点F的坐标为F(2,0)，直线l的方程为yk(x2)，

设N1、N2的坐标分别为N1(x1,y1)、N2(x2,y2) „„„„„„„„„„„11分 则由yk(x222) 得x2k2(x2)1，

2xy1即(1k2)x222k2x(2k21)0， 当k1时，

∵8k44(1k2)(2k21)8k48k44k244k240

∴x1x2，x1x2 „„„„„„„„„13分 221k1kFN1FN2(x12,y1)(x22,y2)(x12)(x22)y1y2 (x1222k22k122)(x222)k(x122)k(x2222)(1k)[x1x21k1k2222(x1x2)2]

(1k)(2k11k142222k1k2)]，

由k[2∴1k1k2214,2] 知 k[0,22[1,322] „„„„„„„„„„„„„16分

2222∵双曲线C:xy1的伴随曲线是圆C1:xy1，圆C1上任意一点S到F的距离

SF[21,12 ]，2∴SF[322,322] „„„„„„„„„„„„„17分

3∵ [1,22]14[322,3 22]∴对任意的k[2,2142使得FN1FN2FS„„„„„„„„„„„„18分

]，在伴随曲线C1上总存在点S，

6 6