公路中桩边桩坐标计算方法

高等级公路中桩边桩坐标计算方法

一、平面坐标系间的坐标转换公式

如图 9 ，设有平面坐标系 xoy 和 x'o'y' （左手系—— x 、 x' 轴正向顺时针旋转 90°为 y 、 y' 轴正向）； x 轴与 x' 轴间的夹角为θ（ x 轴正向顺时针旋转至 x' 轴正向，θ范围： 0° — 360°）。设 o' 点在 xoy 坐标系中的坐标为（ xo',yo' ），则任一点 P 在 xoy 坐标系中的坐标（ x,y ）与其在 x'o'y' 坐标系中的坐标（ x',y' ）的关系式为：

二、公路中桩边桩统一坐标的计算

（一）引言

传统的公路中桩测设，常以设计的交点（ JD ）为线路控制，用转点延长法放样直线段，用切线支距法或偏角法放样曲线段；边桩测设则是根据横断面图上左、右边桩距中桩的距离（

、

），在实地沿横断面方向进行丈量。随着高等级公路特别是高速公路建设

的兴起，公路施工精度要求的提高以及全站仪、 GPS 等先进仪器的出现，这种传统方法

由于存在放样精度低、自动化程度低、现场测设不灵活（出现虚交，处理麻烦）等缺点，已越来越不能满足现代公路建设的需要，遵照《测绘法》的有关规定，大中型建设工程项目的坐标系统应与国家坐标系统一致或与国家坐标系统相联系，故公路工程一般用光电导线或 GPS 测量方法建立线路统一坐标系，根据控制点坐标和中边桩坐标，用“极坐标法”测设出各中边桩。如何根据设计的线路交点（ JD ）的坐标和曲线元素，计算出各中边桩在统一坐标系中的坐标，是本文要探讨的问题。

（二）中桩坐标计算

任何复杂的公路平面线形都是由直线、缓和曲线、圆曲线几个基本线形单元组成的。一般情况下在线路拐弯时多采用“完整对称曲线”，所谓“完整”指第一缓和曲线和第二缓和曲线的起点（ ZH 或 HZ ）处的半径为 ∞ ；所谓“对称”指第一缓和曲线长 第二缓和曲线长

和

相等。但在山区高速公路和互通立交匝道线形设计中，经常会出现“非

完整非对称曲线”。根据各个局部坐标系与线路统一坐标系的相互关系，可将各个局部坐标统一起来。下面分别叙述其实现过程。

1、直线上点的坐标计算

如图 10 a) b) 所示，设 xoy 为线路统一坐标系， x'-ZH-y' 为缓和曲线按切线支距法建立的局部坐标系，则 JDi-1—JDi 直线段上任一中桩 P 的坐标为：

（ 1 ）

式（ 1 ）中（ JDi-1 点的设计里程；

, ）为交点 JDi-1 的设计坐标； ， 分别为 P 点、

为 JD i-1 ~JD i 坐标方位角，可由坐标反算而得。

曲线起点（ZH 或 ZY），曲线终点（HZ 或 YZ）均是直线上点，其坐标可按式（1）来计算。

2、完整曲线上点的坐标计算

如图 10 a ) ，某公路曲线由完整的第一缓和曲线 第二缓和曲线

组成。

、半径为 R 的圆曲线、完整的

（1）第一缓和曲线及圆曲线上点的坐标计算

当 K 点位于第一缓和曲线（ ZH—HY ）上，按切线支距法公式有：

（ 2 ）

当 K 点位于圆曲线（ HY—YH ）上，有 ：

（ 3 ）

其中有： （ 4 ）

式（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）中， 程之差，即曲线长； R 、

、

为切线角； 为 K 点至 ZH i 点的设计里

、 p 、 q 为常量，分别表示圆曲线半径，第一缓和

曲线长、缓和曲线角（ ）、内移值（ ）、切线增值（ ）。

再由坐标系变换公式可得：

（ 5 ）

式（ 5 ）中 f 为符号函数，右转取“ + ”，左转取“ - ”（见图 1 b ））。

图 10 a）直线第一缓和曲线圆曲线段点坐标计算（右转） 图 10 b）直线第一缓和曲线圆曲线段点坐标计算（左转）

（2）第二缓和曲线上点的坐标计算

如图 12 所示，当 M 点位于第二缓和曲线（ YH—HZ ）上，有：

（ 6 ）

式（ 6 ）中， 第二缓和曲线长。

，为 M 点至 HZ 点的曲线长； R 为圆曲线半径， 为

再由坐标系变换公式可得：

（ 7 ）

式（ 7 ）中 f 为符号函数，线路右转时取“ - ”，左转取“ + ”。

（3）单圆曲线（ZY—YZ）上点的坐标计算

单圆曲线可看作是带缓和曲线圆曲线的特例，即缓和曲线段长为零。令式（ 3 ）（ 4 ）中内移值 p 、切线增长 q 、第一缓和曲线长

、缓和曲线角

为零，计算出单圆曲线

上各点的局部坐标后，由式（ 5 ）可得 ZY~YZ 上各点的统一坐标。

图 12 第二缓和曲线段点坐标计算（右转） 图 13 非完整缓和曲线段点坐标计

算（右转）

3、非完整曲线上点的坐标计算

如图 13 所示，设非完整缓和曲线起点 Q 的坐标为（ 径

，切线沿前进方向的坐标方位角为

。若

>

, ），桩号 ，曲率半

，则 Z

的

；其终点 Z 的桩号 ，曲率半径

点至 Q 点曲线长 ，则该曲线可看成是曲率半径由 ∞ 到

缓和曲线去掉曲率半径由 ∞ 到 点的曲线长为

后的剩余部分。设 N 点为该曲线上一点， N 点至 Q

，则由

； O 为对应完整缓和曲线的起点， Q 点至 O 点的曲线长为

回旋型缓和曲线上任一点曲率半径与曲线长成正比的性质，有：

得： （ 8 ）

设 ，则由缓和曲线的切线角公式及偏角法计算公式知：

（ 9 ）

（ 10 ）

（ 11 ）

由图 13 知：

（ 12 ）

则直线 QO 的坐标方位角为：

（ 13 ）

O点切线方向 轴的坐标方位角 为：

（ 14 ）

式（ 13 ）（ 14 ）中， f 为符号函数，线路右转时，取“ - ”；线路左转时，取“ + ”。

故 O 点坐标（ ）为：

（ 15 ）

将式（14）、（15）代入坐标平移旋转公式，得任一点 N 的坐标为：

（ 16 ）

式（ 16 ）中，（ ， ）按式（ 2 ）计算，代入时 用（ ）替代； f 为

符号函数，右转取“ + ”左转取“ - ”。

（三）边桩坐标计算

有了中桩坐标（ x,y ）及其至左、右边桩的距离 d L 、 d R 后，计算出中桩至左、右边桩的坐标方位角 AZ-L 、 AZ-R ，则由式（ 17 ）、（ 18 ）得左、右边桩坐标（ ）、（

,

）。

,

（ 17 ）

（ 18 ）

1、直线上点 AZ-L 、 AZ-R 的计算

从图 10 a ） b ）知：

（ 19 ）

2、第一缓和曲线及圆曲线段点 AZ-L 、 AZ-R 的计算

如图 10 a ） b ）所示，有：

（ 20 ）

式（ 20 ）中，当 K 点位于第一缓和曲线上， 按式（ 9 ）计算；当 K 点位于圆

曲线段，按式（ 4 ）计算。 f 为符号函数，右转取“ + ”，左转取“ - ”。

3、第二缓和曲线段点AZ-L 、 AZ-R 的计算

如图 12 所示，有：

（ 21 ）

式（ 21 ）中， 转取“ + ”。

按式 计算； f 为符号函数，右转取“ - ”，左

（四）算例

如图 13 设某高速公路立交匝道 ( 右转 ) 的非完整缓和曲线段起点 Q 的桩号 K8+249.527 ，曲率半径 R Q = 00m ，切线沿前进方向的坐标方位角

，坐

标为（ 91412.1 ， 79684.008 ）；终点 Z 桩号 K8+329.527 ，曲率半径 R Z = 1800m 。中桩 K8+309.527 到左、右边桩的距离 d L = 18.75m ， d R = 26.50m ，试计算 K8+309.527 的中、边桩坐标。

1、完整缓和曲线起点 O 的计算

由公式（ 8 ） —（ 15 ）计算得：

，

，

， ，

，

。

， ，

2、中桩坐标的计算

由式（ 2 ）（ 14 ）（ 16 ）计算得： 方位角

；

，

m ， 。

m ； 轴的坐标

3、边桩统一坐标的计算

由式（ 9 ）（ 20 ）得： ， ，

式（ 20 ）中 Ai-1-i 即

，

；

轴的坐标方位角

，

。再由式（ 17 ）（ 18 ）得

。