第五讲：矩阵特征值问题及二次型

第五章 特征值问题及二次型

要求：

1） 理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。 2） 理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。

3） 理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。 4） 理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩

阵。

5） 了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。 6） 会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。

7） 了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。

5.1 矩阵的特征值问题

知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些基本性质。

定义1 （特征值特征向量）设A是 n 阶方阵，若存在数和非零向量x，使得

Axx (1)

则称为A的特征值，称x为A的属于(或对应于)的特征向量。有时也称（，x）是A的特征对。

注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量。 (1)可写成 (IA)x= (2)

设A=(aij)，对于固定的，(2)是关于x的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是

a11

a12...an2......a1na2n =0 (3) ...IA=

a21...an1a22......ann78

(3) 是关于的一元n 次方程，称为方阵A的特征方程，而它左端的n 次多项式

f()=fA()=IA

称为A的特征多项式。表明A的特征值是特征方程(3)的根或fA()的零点。n 次多项式恰有n 个零点，故n 阶方阵A恰有n 个特征值。但需注意两点：

1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是fA()= 0的重根。如单位矩阵。 2）即便A为实方阵，其特征值也可能是复数。例如A=01，则 102IA=

11=1.

A的特征值为1=i. 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。定理1 设1,2,,n是A=aij1º)

nn的n 个特征值，则

aii1nnnii= trA

i12º)

i1iA .

证明 由条件

IA=(1)(2)(n) （4）

n =()ii1nn1(1)nni1ni

另一方面，由行列式定义，IA 中含有的只有一项：

d1(a11)(a22)(ann)且在IA中，■

推论1 方阵A可逆当且仅当它的特征值全不为0。 ■ 定理2 设是A=aijn1naiii1nn1

也只出现在d1中，故1º)成立；在（4）式中令0， 2º）成立。

nn的特征值，是对应的特征向量，则

79

1）不再是其它特征值的特征向量；

2）（，）是Ak的特征对；进一步，（()，）是(A)的特征对，其中

k()a0a1ass,(A)a0Ia1AasAs。

3）若A可逆，则（1/，）是A1的特征对。

证明 1）假设A，。故()，因为，，矛盾。

222）由A，类似可得A，这表明(k,)是Ak的特征对。进一步有

kk(A)(a0Ia1AasAs) =（a0a1ass)=().

3）若A可逆，则0。由A，可得 A(1/). ■ 定理3 设1,2,,m分别是A 的属于互不相同的特征值1,2,,m的特征向量，则

11,2,,m线性无关。

证明 归纳法。当m1，结论成立（因1）。设mk时结论成立，当mk1，设 a11a22akkak1k1 ， （1） 则 A(a11a22akkak1k1)，即

a111a222akkkak1k1k1 （2） 将（1）式乘以k1，再减去（2）式得

a1(k11)1a2(k12)2ak(k1k)k

因为1,2,,k线性无关，故ai(k1i)0,而k1i，所以ai0，(i1,2,,k). 代入（1）式，得ak1k1.因为k1，所以ak10，故1,2,,k1线性无关。 ■

211例１ 求A121的特征值和特征向量。

11280

111111=(4)(1)2=0，231. 14，2解 令 IA=(4)121对于14，解(4IA)x，得 11. 属于14的特征向量全体为k1。

111对于231，解(IA)x，得无关的21，30. 属于23101的特征向量全体为k22k33.（k2,k3不全为0）

110例２ 求A430的特征值和特征向量。

102解 令

IA=(2)(1)2= 0，12，231.

0对于12，解(2IA)x，得 0.。属于12的特征向量全体为k。

11对于231，解(IA)x，得2。属于231的特征向量为k。

1（强调：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征值，也有可能没有。）

2例３ 若AAnn满足AI，证明：A的特征值只能为1。

证明 设(,)为A的特征对, 则 A, 于是(1)，故1。 例４ 已知AA33，且IA，2IA和3IA均不可逆。 1）证明：I2A可逆。 2）求A和trA.

证明 1）由条件知IA0，2IA0，3IA0，故1，2，3均为A的特征值，

222所以1113不是A的特征值。因而I2A2(IA)(2)IA0.

22281

２）由定理1知 A=

i13i1236. trA=aii=i=1+2+3=6.

i1i1n3

5.2 相似矩阵

知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。

定义2 （相似矩阵）对于n阶方阵A,B，若存在可逆阵P，使P1APB，则称A相 似于B，记作A～B.（P称为相似变换矩阵）

三条性质： ⅰ）A～A.（自反性）

ⅱ）若A～B，则B～A.（对称性）

ⅲ）若A～B，B～C，则A～C.（传递性） 例5若A～B，则r(A)r(B).

1证明 若A～B，则PAPB. 因为P可逆，故PP1P2Ps。于是有

Ps1P21P11AP1P2PsB.表明A与B等价。故r(A)r(B). ■

例6 (可作为习题)证明：若A～B，则 （ⅰ）A～B；

（ⅱ）(A)～(B)，（()是的多项式） 证明 由A～B，成立PAPB. 故 （ⅰ）B=PAP , 即A～B.

mm1a1a0，有 （ⅱ）设()=amam1kk1k1kkk(B)=amBmam1Bm1a1Ba0I

1mm1a1Aa0I)P=P1(A)P, 即(A)～(B). =P(amAam1A82

定理4 若A～B，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值也相同。 证明 由A～B, 使P1APB. 故

IBP1IPP1APP1(IA)PP1IAPIA. ■

推论4.a 若n阶方阵A～=diag{i}，则1,2,,n为A的所有n个特征值。 证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■

推论4.b 若A～B，则trAtrB,AB.(由定理1即得). ■

1若A相似于对角阵=211，则，即. 于是 PAPAPPnAk=PkP1. 类似可得(A)P()P1（参见例5的证明过程）. 并易得

k1kk2(1)(2) ,()knk (n)这样就可以比较简便地计算出A和(A)了。（具体例子作为习题）

定理5 n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

1证明 必要性. 存在P，使 PAP= diag{i}；其中1,2,,n为A的n个特征

值。上式可写成 APP。记P= 1,2,,n, 则成立

Aiii，

即 i是i的特征向量。因为P可逆，故1,2,,n线性无关。

充分性. 若A有n个线性无关的特征向量1,2,,n满足 Aiii，记

P= 1,2,,n， =diag{i},

由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得A相似于对角阵。 ■

83

推论5 若n阶方阵A的n个特征值互异，则A相似于对角阵。 ■ 但须注意本推论的逆不成立。例如上节例1中的A有3个线性无关的特征向量，故A相似于对角阵。但A的3个特征值不互异。

* 定理6

n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是：对于A的每个ki重特征值i都有ki个线性无关的特

征向量。即r(iI

A)nki .

■

6.3 向量的内积与正交矩阵

知识点：向量的内积与正交；向量组的正交化过程；正交矩阵及其性质。

在空间解析几何中两个向量a, b 的内积定义为 a•b =║a║║b║cos，其中║a║，║b║分别是a, b 的长度，是a与 b 的夹角。若在R中建立直角坐标系后，向量a={a1,a2,a3}，b={b1,b2,b3}的内积的计算公式为 a•b =

我们现在把内积定义推广到一般n维实向量。

TTn定义3（向量内积）设(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)R，则与的内积定

3abi13ii.

义为：

, = aibi = T.

i1n向量的内积满足如下性质： ⅰ）

（对称性） ,=,；

ⅱ）k11k22,k1ⅲ）ⅳ）

1,k22,； (k1,k2R) （线性性）

（正定性） ,0;且,0；

,,0；

n定义4（向量长度）对于R，的长度（或模）（记作）定义为：

=,=

ai1n2i .

84

向量的长度满足如下性质： 1º

（正定性） 0；且=0；

2º k=k3º

;(kR) （齐次性）

,； （Cauchy 不等式）

即

abi1niiab2ii1i1nn2i

4º

； （三角不等式）

（1º，2º的证明用定义；4º利用3º来证明。3º证明如下）

证明 当,线性相关时，则存在kC，使得k或k. 若k则

,,kk,k,

,,k2,2k,

对于k类似可证。故当,线性相关时，,；

设,线性无关，则tR，t，由性质ⅲ），,＞0，即

t,t,2,t,t2＞0，即二次实系数方程

2,2,t,t2=0没有实根,故 4,＜

于是 ,4,,＜0，

 ■

,1. 于是引入如下定义： 当,时，

定义5（向量的夹角）对于,R，当,时，定义,的夹角为：

narccos若

,，(0) 2.

,0，则称与正交，记为，这时性质：

1）,R;

n85

2) 对于,R, 若，则

n22.（勾股定理）

2长度为1的向量称为单位向量。非零向量的单位化：

1，几何意义：同方向

上的单位向量。

正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。 定理7 若1,2,,m是正交向量组，则1,2,,m线性无关。 证明 设k11k22kmm. 用i与两边作内积得：

i,k11k22kmmi,0 (i1,2,,m).

由于1,2,,m正交，即得：ki■

正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。

n定理8 在R中，若1,2,,m线性无关(m2)，则1,2,,m与某个正交向量组

i,i0，而i,i0，于是ki0. 故无关。

1,2,,m等价。且1,,t与1,,t等价(2tm)

证明 令 11； 22k11 （k1为待定系数）， 要使21，则有求成立

1,21,2k111,2k11,10.

由于11（线性无关），故1,10，从而取k11,21,1。又从上式可得

11，22k11.

表明1,2与1,2等价。

一般已求得正交向量组1,,t1与

1,,t1等价(2tm). 令

86

ttk11kt1t1，

由ti (i1,,t1)的要求， 用i与上式两边作内积得：0i,tkii,i.于是

可求得kii,ti,i (i1,,t1)，即

tt易见

1,t,1t1tt1.

1,1t1,t11,,t1与1,,t1等价及上式，可得1,,t与

1,,t是正交向量组，且由

1,,t等价。 ■

定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组1,2,,m正交化的步骤：

11；

1,2221；

1,1 mm1,m,1m1mm1

1,1m1,m1如果再将正交向量组1,2,,m单位化，即令

ii (i1,2,,m) i则1,,m是与1,2,,m等价的标准正交向量组。

由上述过程把一个线性无关的向量组1,2,,m化为与1,2,,m等价的标准正交向量组1,,m的过程称为施密特（Schmidt）正交化方法. 例7 设11,1,1,21,1,T0,31,0,1, 将1,2,3化为R3TT的一个标准正交基。 解 易见

1,i0,(i2,3)，故1i,(i2,3)，以下将2,3正交化。令22，

87

,33232=1/2，则32，而且31（考虑为什么31？）.

2,211/2再令 1111/31/21/6321/2 ，31/6， 1/3，22302/61/3则1,2,3即为R3的一个标准正交基。 例8 设11,1,TTT1,1,21,1,1,1,32,1,1,3,求1与

2的夹角以及与1,2,3都正交的向量。

解

arccos1,21arccos

1223设与1,2,3都正交，由正交条件可得方程组：

1,02,0 ； ,03解之得 k4,0,1,3, 其中k为任意实数。

T定义6（正交矩阵）设A是方矩阵。若AAI，则称A为正交阵。

等价定义：A是正交阵当且仅当A的列向量组标准正交。事实上，设

TA12n，则

10n0010001当ij T， ij 0当i j 11TT212Tn定理11 若A,B都是n阶正交阵，则 1ºAA； 2ºA也是正交阵； 3ºA1；

TT188

4ºAB也是正交阵。 证明 1º显然；又由ATAAATT2TAA1I得AT也是正交阵；取行列式得

ATAATAI1A1A1；

由ABTABBTATABBTBI得AB也是正交阵。 ■

由2º可得AAnn是正交阵AT的列向量组是标准正交的。 A的行向量组（转置）标准正交。

由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：

cossinsin ，cos13131311022161 ，62612120016120611211211231261212 1212例9 设AAnn是正交阵，且A＜0，证明：IA0.（即1是A的特征值） 证明 因为A是正交阵，由3º，A1，又A＜0，故A1.于是

IAATAAATIAAIAAIIAT，

IA0.

5.4 实对称阵的相似对角形

知识点：实对称矩阵特征值特征向量的性质；对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算。

TnT设(a1,a2,,an)C，则其共轭向量为 (a1,a2,,an)。

若实矩阵A满足AA，则称A为实对称阵。 定理12 实对称阵的特征值必为实数。

证明 设（，）是A的特征对，则 A(). 两边取共轭，再取转置，注

T

A，A，

，0. （数量等式）

因 ，故 aaaaaa＞0。于是0，即是实数。■

意到AA且ATA，得行向量的等式：

TTTTTTTT1122nn因为特征向量是IAx的非零解向量，对于实对称阵A的任一特征值，

IA是实矩阵，所以实对称阵A的特征向量都可以取为实向量。

定理13 实对称阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交。

证明 设1,2(12)是实对称阵A的不同特征值，i是属于i的特征向量. 则

11T11TA1T1TAT1TA ，

 1121A2212 ，即 12120

TTTT由于1201,21T2012. ■

定理14 对于任意实对称阵A，必存在正交矩阵Q，使得

1Q1AQQTAQ若记Q12, n2n，则Aiiii1,2,,n. ■

推论14 实对称阵A的ki重特征值i有ki个线性无关的特征向量，从而有ki个标准正交的特征向量。 ■

2111例10 设A121，求正交矩阵Q，使得QAQ为对角阵。

112解 A即例1中的实对称阵，它的特征值为14,231. 属于14的特征向量为

11,1,1T，属于

231的特征向量为

21,1,0T,31,0,1T. 又在例7中，我们得A的标准正交特征向量组：

90

113131311261,22,316, 026411为对角阵。 令Q1,2,3，Q即所求的正交矩阵。且QAQ1例11 已知实对称阵AA33的特征值为-6，3，3，且2,值16的特征向量，求A.

解 属于特征值233的特征向量x1,交，即有

TTx2,x3都应与2,2,1正

2,1是A的属于特征

T,2x12x2x30.

T2x12x2x3. 令x21,x30得一特征向量11,1,0.属于3的另一个与和1都正交的特征向量2可由下式得到：

2x12x2x30. x1x20

11联立解得为2,,1. 将正交的,1,2单位化：

44T62212311222. 1,2,313122262303记 Q1,2,3，则它为正交阵且

613， 于是 AQQ1QQT QAQ323=23131212262602236231322362312261420412.

22222313a1a2例12 求实矩阵Aa1,a2,,an,(a10)特征值和特征向量。

an91

解 记

a1,a2,,anT，则 AT。显然A对称，故成立

a1a22a2a12aa1 PAPdiag(1,,n)。由于A =21aan1a11r1,riair1(i1)0a1A000ana2a1ana2an，故 2ana2an0, 0可见r(A)1，由于A也等价于diag(1,,n)，所以只有一个特征值不为零，其余都是

T零。 不妨设10。由于A()，所以1，其对应的特

TT征向量为。

对于j0的特征向量，其是(jIA)x的解，等价于Ax的解，由前述，其等价方程组是：a1x1a2x2anxn0， x1aa2x2nxn，易得线性无关a1a1的特征向量：

a3ana200a1 10,2a1,,n10.

0a01

5.5二次型

知识点：二次型及其矩阵形式；二次型的标准形；化二次型为标准形的正交变换法和配方法。

在平面解析几何中，为看清二次曲线 axbxycy1 的类型，可以采用坐标变换

22xx'cosy'sin yx'siny'cos化二次曲线为标准形 a'x'b'y'1, 由此二次曲线的几何性质便一目了然。

2292

定义7 二次齐次多项式

fx1,x2,,xna11x122a12x1x22a1nx1xn

2 a22x22a2nx2xn



2 annxn

称为n元二次型，简称二次型。如果系数aij和变量xi都为实数，则称f为实二次型。 以下我们只讨论实二次型。

记aijaji(i,j1,2,,n);式：

(x1,x2,,xn)T, 则二次型f可以表示为矩阵形

a11a21f(x1,x2,,xn)(x1,x2,,xn)an1a12a22an2a1nx1a2nx2TA, annxn其中A为对称阵。（讲课时，可对三元具体演示过程）

二次型f与对称阵A确立了1-1对应关系。称二次型f唯一确定的对称阵A为二次型f的矩阵。称对称阵A的秩为二次型f的秩。

22222. 秩为3； 例如， f22x12x25x3的矩阵A25413222而对称阵A3120，确定的二次型为f4x12x2x32x1x26x1x3.

301称上述f2那样只含平方项的二次型为标准形。易见fA为标准形当且仅当f的矩阵A为对角阵。

两组变量x1,x2,,xn和y1,y2,,yn之间的关系式

T93

x1p11y1p12y2p1nynxpypypy22112222nn xnpn1y1pn2y2pnnyn称为从x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性变换。其矩阵形式

P

p11p21TT其中(x1,x2,,xn)，(y1,y2,,yn)，Ppn1p12p1np2n. pnnp22pn2方阵P称为线性变换的矩阵。若P可逆，则称线性变换为可逆线性变换。 问题：如何用可逆线性变换P，将二次型fA 化为标准形。

将P代入fA后，得

TTf()TA(P)TA(P)T(PTAP)g().

易证PAP仍为对称阵。二次型g()为标准形当且仅当PAP为对角阵。 定义8（矩阵合同）设A,BR记为 A≈B.

由定义易证矩阵间的合同关系也满足自反性，对称性和传递性。

于是若二次型fA经可逆的线性变换P化为二次型g()B，则

TTnxnTT，若存在可逆阵P使得PAPB，则称A合同于B，

TA≈B. 若A≈B，即PTAPB，由于P可逆，故A与B等价，于是r(A)r(B).

一、正交变换法.

若QQnn为正交阵，则线性变换Q(,R)称为正交变换。 正交变换有比一般可逆线性变换更好的性质：

定理15 R中的正交变换Q不改变向量的内积（因而也不改变向量的长度和夹角）。

nn94

证明 Q1,Q2Q1Q21TQTQT21TI21T21,2 ■

正交变换Q把Rn中的标准正交基1,2,,n变为Rn中的标准正交基

Q1,Q2,,Qn. 若Q为正交阵，则Q1. 若Q1，则正交变换Q称为

第一类的（或旋转），若Q1，则正交变换Q称为第二类的。

定理16 对于n元实二次型f()A，存在正交变换Q，可将该二次型化为标

222准形： f1y12y2nyn

T其中1,2,,n是对称阵A的特征值。Q的列向量组1,2,,n是标准正交特征向量组，且Aiiii1,2,,n. ■

222例6.12 （1）用正交变换Q化二次型f4x14x24x34x1x24x1x34x2x3

为标准形，并给出正交变换矩阵Q.

222 （2）判别4x14x24x34x1x24x1x34x2x31是什么曲面？

422解 （1）f的矩阵A242，由

224IAr1r2r3888111242(8)020(8)(2)20224002111000， 对于122, 解2IAx.2IA00011可得 x1x2x30，它的一个基础解系为： 11,20. 正交化得：

0111211,2111, 2212.

,1110对于38，可以通过解 8IAx 来求38的一个特征向量3。再将1,2,395

112611单位化得：12;26;3026131313。令 Q123，即为所求正212。于是正交变换Q可化二次型f为标准形： 交变换矩阵. 满足QAQ8222 f2y12y28y3.

(2) 因为正交变换不改变空间中的向量的长度和夹角，故二次曲面

222222 4x14x24x34x1x24x1x34x2x31 与 2y12y28y31.

表示同一个曲面：是一个椭球面。

例6.14 证明：当

1时，实二次型f()TA的最大值等于A的最大特征值。

T证明 设f()A为n元实二次型，存在正交变换Q，可将f()化为标准形：

22f1y122y2nynTQTAQ

其中1,2,,n是A的特征值。设i是A的最大特征值。因为

22y12y2ynTTQQTT21，

222222于是 f1y12y2nyniy1iy2iyni.

现取为第i个基本单位向量i，则当Qi时就有

1fTATQTAQiTT2ii， n即当Qi时，f()A确实可以取到最大值i. 二、配方法.

用正交变换化二次型为标准形可以保持许多几何性质，固然很好。但做起来比较烦。有 时我们只要了解二次型一些主要性质，那我们就可以用其它相对简单的方法化二次型为标准

96

形。以下我们介绍一种最常用的配方法。

分两种情况讨论：

1º 若二次型f(x1,x2,,xn)中至少有一个变量平方项的系数不为零，且还有该变量交叉项，不妨设a110，则先对所有含x1的项进行配方。如此下去，直到把所有含有变量平方项且有该变量交叉项的都进行配方。

2º 若二次型中某变量只有交叉项而无平方项的，不妨设a120，则作如下变换：

x1y1y2x2y1y2 xy,(k1,2)kk我们结合例子讲解。

例6.15 用配方法将下列二次型化为标准形，并求所用变换的矩阵P.

221）fx13x22x1x22x1x36x2x3；

2）f4x1x22x1x32x2x3.

222解 1）f(x1(x2x3))(x2x3)3x26x2x3

222 (x1x2x3)4x24x2x3x3 22 (x1x2x3)(2x2x3)

y1令 y2y3x1x22x2x111y1x332211x3； 即有 x2022y2.

x3x3001y3113222211则fy1y2为标准形。所用变换的矩阵P022.

001x12）令x2x3y1y1y2y2x1110y1， 即 x2110y2；则

y3x3001y3f4(y1y2)(y1y2)2(y1y2)y32(y1y2)y3

97

22224y124y1y34y24(y112y3)4y2y3

z1再令 z2z3y1y212y3y3y1101z12； 即有 y2010z2

y3001z3222则f4z14z2z3为标准形。且由

x1110101z1111z1221x2110010z2112z2.

x001001z001z33311121得变换矩阵 P112.

001

5.6 惯性定理与正定二次型

知识点：惯性定理，二次型的规范形，正定二次型与正定矩阵的判别。 一、惯性定理

实二次型的标准形一般不唯一。但若一个实二次型f()A经任意一个可逆线性变换P化为标准形B后，就有A≈B. 而对角阵B的秩等于它的主对角线上非

T零元的个数，故B中平方项的个数就等于r(B)r(A). 于是一个实二次型fATTT经不同可逆线性变换化为不同标准形后，标准形中所含的平方项个数都等于r(A). 更进一步有：

定理6.17 (惯性定理)对于一个n元实二次型fA 经任意一个可逆线性变换化为标

222T准形f()Ak1y1k2y2knyn后，标准形中正平方项的个数p和负平方

T项的个数q都是唯一确定的，且pqr(A). ■ 本定理的证明略去。

实二次型fA的标准形中的正平方项的个数p称为实二次型fA（或

TT98

A）的正惯性指数，负平方项的个数q称为实二次型fTA（或A）的负惯性指数。

222T对于标准形f()Ak1y1k2y2knyn，可以写成以下形式的标准形：

f()TA

22222= c1z1cpz2pcp1zp1cpqzpq(0zpq10zn)

其中ci0(i1,,pq). 进一步令

ziT1ciwi(i1,2,,pq);zjwj(jpq1,,n)

则 fA 可以化为：

2222f()TA=w12w2pwp1wpq(0wpq10wn).

形如上式标准形称为实二次型的规范形。

定理6.18 对于任一个n元实二次型fA都可经适当的可逆线性变换化为规范形：

2222f()TA=w12w2ww(0w0wpp1pqpq1n)

T且规范形是唯一的。 ■ 推论6.18 对于任一个实对称阵AAnn，总存在可逆阵P使得

PTAPdiag(1,,11,,1,0,,0)■

二、正定二次型

定义6.12 （正定性）若都有n元实二次型fA>0(或<0)，则称fA为正定（或负定）二次型，并称f的矩阵A为正定（或负定）矩阵。

TT

以上定义中把>0(<0)改为0(0）即得半正定（半负定）二次型的定义及半正定（半负定）矩阵的定义。

222例如 f1(x1,x2,x3)x12x24x3 是正定二次型。

99

22f2(x1,x2,x3)2x122x23x3 是负定二次型。 2f3(x1,x2,x3)4x12x2是半正定二次型。

222而f4(x1,x2,x3)x12x2x3既不是正定（或负定）二次型，也不是半正定（或

半负定）二次型。

由定义易得如下性质：

1º 实对称阵A正定当且仅当A负定。

2º 若实二次型fA正定，则fA经任意可逆线性变换P后所得的二次

型f()A(P)A(P)(PAP)g()也正定。 证明 1º 显然

2º R且，则对任意可逆阵P，有P. 经可逆线性变换P后，

nTTTTTTg()T(PTAP)(P)TA(P)TA>0.

即g()也正定。 ■ 定理6.19 设AAnn为实对称阵，fA，则以下几个命题等价： 1ºA正定，或fA是正定二次型； 2ºA的特征值全大于零； 3ºA的正惯性性指数为n； 4ºA合同于单位阵I；

5º 存在可逆阵B，使得ABB.

证明 1º2º 设fA经正交线性变换Q化为标准形：

22nynfTA=T(QTAQ)1y122y2,

TTTT其中i是A的特征值。 令ii0,,0,1,0,,0，则iQi. 由fATT100

是正定二次型得

TTT02º3º 若A的特征值全大于零，则fA经正交线性变换Q化为标准形：

22f1y122y2nyn

T因为i大于零，故A的正惯性性指数为n.

3º4º 若A的正惯性指数为n，则fA可经适当可逆线性变换P化为规范

222T形 fAy1y2yn.

T即存在可逆阵P使得 PTAPI. 故A合同于单位阵I.

T4º5º 若A合同于单位阵I，则存在可逆阵P使得PAPI，由此 A(P)P. 1记BP，则(P)T1T11(P1)TBT. 即ABTB.

nT5º1º 若存在可逆阵B使得ABB，则R,，有B, 故

fTATBTB(B)T(B)B>0.

即fA是正定二次型（或A正定）. ■ 定理5.20 实对称阵 AaijT2nn正定的充要条件是它的顺序主子式全大于零，即

1a11＞0， 2定理的证明略去。 推论5.20 实对称阵Aaija11a21a12a22＞0， … ， nA＞0. ■

a11a21nn负定的充要条件是它的顺序主子式满足：

＞0，… ，1k＞0，… ，1A＞0. ■

kn1a11＜0，2a12a22A0AA,BB例5.16 设也都正定。 nnnn都正定，证明AB,0B2n2nn证明 AB对称显然。对R且，由AAnn,BBnn都正定可得

TABTATB>0.

101

记C0A0 由块对角阵的行列式的性质知C的2n个特征值是由A的, 则C对称。Bn个特征值和B的n个特征值合并组成。故C的也特征值全大于零，所以C也正定。

222例5.17 判别f2x13x24x312x1x28x1x32x2x3是否正定。

226解 A631，因为2300，故f不正定。

63414222例5.18 当取何值时，fx1x22x32x1x22x1x32x2x3为正定二次型？

解 A111111， 当10，且 2，0,11或（舍去）121且311210, 时, 即2时，f为正定的。

或（舍去）11211例5.19 若AAnn为正定阵，证明：AI1.

证明 因为A+ I的特征值为 11,21,,n1, 而A对称正定, 故 i11, 于是

AI(i1)1.

i1n

本章小结：

 矩阵的特征值问题和二次型 

  

矩阵的特征值特征向量 相似矩阵及矩阵的对角化 化二次型为标准型

 

向量的内积与正交  实对称矩阵的对角化 正定二次型与正定矩阵

正交化过程 正交矩阵