高一向量知识点加例题(含答案)

向量复习题

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

ABa,BCba2、向量加法：设，则+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．

aa3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差。

③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

1

aa4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：



（Ⅰ）

aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；

当0时，a0，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a e,ea126、平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且

,eaee1122，其中不共线的向量1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 只有一对实数12使：

二.平面向量的坐标表示 i,j分别为与x轴，y轴正方向相同的单位向量

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

（1）若

ax1,y1,bx2,y2，则

abx1x2,y1y2

（2）若Ax1,y1,Bx2,y2，则

ABx2x1,y2y1

ax,y,bx2,y2（3）若a=(x,y)，则a=(x, y) （4）若11，则a//bx1y2x2y10

（4）若

ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2 ，若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积

2

1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0 ab2向量的投影：︱b︱cos=|a|∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：aaa2|a|2

5乘法公式成立：

ababa2b2a2b2；

ab2a22abb2a22abb2

6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：

abababR

③分配律成立：

abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：

abcabc；（2）消去律不成立abac（3）ab=0不能得到a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算：

3

不能得到bc

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2

008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （0180）叫做向量a与b的

夹角 cosa,ba•ba•bx1x2y1y2cos==

x1y1x2y22222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b

10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质

11、向量的三角不等关系ababab 注意取等条件（共线）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1MN2，则P点坐标是 （ ）

1.已知两点M3,2，N5,5，

MP331,1,8,12 C．2 D．8,1 A． B．2．下列向量中，与向量a(1,1)平行的向量是 （ ）

4

A．b(0,2) B．c(2,0) C．d(2,2) D．f(2,2)

3．a(2,1)，b3,4，则向量a在向量b方向上的投影长度为 （ ）

A．25 B．2 C．5 D．10

4．在三角形ABC中，C=450， a=5 ,b=4, 则BCCA （ ）

A．102 B．202 C．102 D．-202

5．已知a(,3),b(2,5),a,b的夹角为钝角，则的范围是 （ ）

15152 B．2

65

65

A．

C．

D．

6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子

的速度为40m/s，则鹰飞行的速度为 （ ）

A．20m/s

803B．3m/s C．20m/s

D．80m/s

7．O为平面中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（OPOA）·（ABAC）

=0，则点P的轨迹一定过△ABC的 （ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

5

8.已知OAa,OBb，C为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上据C较近的一个三等分点，用a,b表OD的表达式为 （ ）

4a5b9a7b2ab3abA.9 B.16 C.3 D.4

9．已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且PAPBPCAB，则点P与ABC

的位置关系是 （ ）

A．P在ABC内部 B．P在ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上或其延长线上

10. 若i= (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )

A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j

11.对于菱形ABCD，给出下列各式：

①ABBC ；②|AB||BC|；③|ABCD||ADBC|；④

|AC|2|BD|24|AB|2 其中正确的个数为 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80o,sin80o）,B(cos20o,sin20o),则｜AB｜的值是（6

）

示

1A．2

B．22 C．32 D．1

二、填空题

13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC的形状是 .

14.已知实数x,y，向量a,b不共线，若（x+y-1）a+（x-y）b=0，则x= ,y=

15．若三点P(1,2),A(2,4),B(x,9)共线，则x =

16．在ABC中，有命题：①ABACBC；②ABBCCA0；③若(ABAC)(ABAC)0，则ABC为等腰三角形；④若ACAB0，则ABC为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题

17.（满分12分）设两个非零向量e1和e2不共线.

(1)如果AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.

(2) 若|e1|=2，|e2|=3，e1与e2的夹角为60，是否存在实数m，使得me1e2与e1e2垂直？并说明理由.

18．（12分）已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)；

求（1）

ab;ab的值；

7

（2）a与b的夹角的正弦值．

0ABC中,ABa,BCb,ACcAB4,BC3,ABC6019．（本小题满分12分）在设， ，

求：（1）

2ab; （2）

a2bab ; （3）cosa,ab;

20. （本小题满分12分）已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a1,2.

（1） 若

c25，且c//a，求c的坐标；

（2） 若b1,mm0且a+2b与a-2b垂直，求a与b的夹角.

21．（本小题满分12分） 已知向量OP(2,1),OA(1,7),OB(5,1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），求XAXB的最小值．

322．（本小题满分14分）已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2,2).

2sin2sin21tan（I）若|AC|=|BC|，求角α的值；（II）若AC·BC=-1，求的值.

BDBCA BDA DC CD

4．C

BCCABCCAcosBC,CA54cos1350102

8

5．A

a,b为钝角ab0,且a,b不反向.

6．B

设鹰飞行的速度为v，其在地面上的影子的速度为v1，由已知vcos30v1400，可得v8033.

二.填空

13.锐角三角形

14. 0.5，0.5

1715. 6

16.③

三.解答

17. 证明：（1） ADAB+BC+CD=（e1+e2）+（2e18e2）+（3e13e2）

=6（e1+e2）=6AB （2分）

 AD//AB 且AD与AB有共同起点 （3分）

9

 A、B、D三点共线 （4分）

（2）假设存在实数m，使得me1e2与e1e2垂直，则

（me1e2）（e1e2）=0

2me1(1m)e1e2e20 （6分）

2 |e1|=2，|e2|=3，e1与e2的夹角为60

22

e1e142，

e2e292，

e1e2e1e2cos23cos603

 4m3(1m)90  m6

故存在实数m6，使得me1e2与e1e2垂直．

18．解：显然a=3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），b=4（1，0）+（0，1）=（4，1）；

易得：

①ab=3×4+（—2）×1=10；ab=（3，—2）+（4，1）=（7，—1），

ab227(1)==52。

ab②cos=

ab1022111221=1317=221，sin=221。

1010

19．（1）

2ab=2ab------------------------------------------------------------------1分



24ab4ab9443cos120097----------------3分

22（2）a2bab=a22bab161843cos12004；-----6分

20aabaab1643cos12010， （3）

2abab213，------------------------------------------------------8分

cosa,abaabaab1041351326---------------------------------9分

20. (1)(2, 4)或(－2，－4) (2)2

225(x2)8 X(2x,x)XAXB(12x,7x)(52x,1x)5x20x1221．填－8.设.则

22．（本小题满分14分）

解：（I）∵AC=(cosα-3,sinα)，BC=(cosα,sinα-3), --2分

22∴|AC|=(cos3)sin106cos,

11

22cos(sin3)106sin. --------------4分 BC||=

由|AC|=|BC|得sinα=cosα.

35又∵α∈(2,2)，∴α=4. ----------------------6分

（II）由AC·BC=-1,

2得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=3 ---8分

4由上式两边平方得1+2sinαcosα=9,

5∴2sinαcosα=9. ----------------------------10分

2sin2sin22sin(sincos)sin1tan1cos又=2sinαcosα.

2sin2sin259. -------------------------12 ∴1tan12