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第一章 应力与应变

1. 一点应力状态的两种表示方法、应力张量不变量； 2. 应力张量的分解，球应力分量和偏差应力分量的含义； 3. 应变速率、真应变（对数应变）、工程应变；

4. 理想刚－塑性材料、理想弹－塑性材料、弹－塑性硬化材料，刚－塑性硬化材料； 5. 习题选解。

1） 为什么要把一点的应力状态分解为偏应力张量和球应力张量？

在一般情况下，应力张量可以表示为两个张量之和的形式

zxm00 xmyx ij¨0　　xyymzym yzzmxz00m第一个张量称为偏差应力张量，第二个张量称为球应力张量。球应力张量只能改变物

体内给定微元的体积而不改变它的形状；偏差应力张量则只能改变微元的形状而不改变其体积，在研究物体的塑性变形时有重要意义，偏差应力张量二次不变量可以作为金属屈服的判据。

2） 某材料进行单向拉伸实验，当进入塑性状态时的断面积F＝100mm,载荷为P＝8000N： （a）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球应力分量； （b）画出应力状态分解图，写出应力张量； （c）画出变形状态图。

2

(a)

321

m1/3(123)26.7MPa

' 3'226.7MPa 1'53.3MPa

其余应力分量均为零　　　　

σ=26.7MPaσ'σ=80MPa (b)

σ=26.7MPaσ'

＝+σ=0σ σ=26.7MPa

（２分）σ' m1m3m0 8000/100MPa80MPa 00026.70026.700 000＝026.70＋026.70 053.3026.7 008000 ε

ε(C)

ε

020060＝6015003) 已知一点的应力状态 Mpa，试求应力空间 ij00100 

n和切应力 中x-2y+2z=1的斜截面上的正应力 n为多少？



l＝

11＋（－2）＋222221＋（－2）＋212＋（－2）＋221－2Sx＝xl＋xym＋zxn＝200＋60（）＋0＝26.7MPa331－2Sy＝xyl＋ym＋xzn60＋（－150）（）＋0＝120MPa332Sz＝xzl＋zym＋zn＝0＋0＋（－100）＝－86.7MPa　　　　　　3n＝xl2ym2＋zn2＋（2xylm＋yzmn＋zxnl)，m＝－2222，n＝21222221－2 ＝200（）＋(－150）（－）＋(－100）（）＋（260＋0＋0）33333

＝22.2－66.7－44.4－26.7＝－115.6MPa 22nSx2＋Sy＋Sz2－n＝78.7MPa σσsaA1B23B'

4) 为什么说塑性变形时应力和应变之间的关系

DOP'与加载历史有关?

拉伸试验表明，如应力小于弹性极限，则加载和卸载时都服从胡克定律。材料进入塑性状态以后，加载和卸载将遵循不同的规律如图所示，对应力σa，根据其加载历史的不同，可对应于○1、○2、○3处的应变。

 ，y＝0.05，z＝0，xy＝0.08，yz＝zx0，5) 物体中一点应变状态为 x＝0.01 试求主应变。

xyxzx4分yxxzy0　　得的三次方程3J12J2J30　　　 zxzyx

222J1xyz0.06 J2(xyyzzx)xyzyxz59104 J304分30.062591040 2分解得： 111.3102 20 35.3102　　　100150200'150 1'10015050 215015003'320015050　　　　（6分）m

第二章 变形力学方程

1. 直角坐标系力平衡微分方程；

2. 屈服准则的含义，表达式、几何意义、π平面； 3. 列维－密赛斯流动法则；

4. 等效应变、等效应力的概念及其表达式、变形抗力的概念； 5. 平面变形与轴对称问题。 6. 习题选解

1) 如图所示，一矩形件在刚性槽内压缩，工件尺寸为100×150×（垂直纸面方向为ll，在l方向可自由伸长），如果忽略锤头、槽底、侧壁与工件间的摩擦，材料发生屈服时压力P＝15000N,求此时的侧壁压力N

3211－工件；2－刚性槽；3－锤头

2) 设l方向的应力为  l，压力P的方向为  b，侧压力N的方向为  （3分）又由于忽略h，由题意可知该问题属于平面变形问题，

摩擦力，在l方向可自由变形，即l方向为自由表面，故

NP （3分） hbl0l100l150

（4分） h1/2(lb)P3NN5000N

3). 如图所示的薄壁圆管受压力P和扭矩M的作用而屈服，试写出此情况下的密赛斯屈服准则和屈雷斯卡屈服准则的表达式。

M

P

P 1()22 20 3()22 ()　222A 2MA ＝（0.0520.0452)　　　　　20.04820.004 根据屈雷斯卡屈服准则：13s，　得　242s2　　  xy yz＝xzyz0　　　　　　　　　　　 x 1 有　232s2　　　

4) 试解释何为轴对称变形状态？画出与其对应的应力状态、应变状态图示。

222根据mises屈服准则：(xy)2(yz)2(zx)26(xyzyxz)s 2当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则物体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态，相应的变形为轴对称变形。其对应的应力状态、应变状态图示如下：

ε1τzrσrεε23τσθθrz

r5) 试解释何为平面变形状态？与其对应的应力状态如何？

如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形状态。平面变形状态下的应力状态有如下特点： 主应力，在塑性状态下

(1)没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面， z为中间



z21/2(xy)m(2)平面塑性变形时的应力状态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量，即

 1pk 2p 3pk

第三章 工程法解析变形问题

1. 圆柱体镦粗（光滑与完全粗糙）；

2. 矩形件压缩（无外端的矩形件压缩和矩形厚件压缩）。 3. 斯通公式（平辊轧制单位压力的计算）

4. 习题选解

1) 什么是外端？外端平面变形压缩矩形件，l/h（l、h分别为变形区长和高）对应力状态影

p/K）有何影响？ 响系数（

外端是指没有受工具直接作用，在平砧以外的工件。不带外端压缩时的 p 随l/h的增

p加而增加；而带外端压缩时，在l/h<1时 随l/h的增加而减小，而在l/h>1时，二者几乎

一致。显然，带外端压缩时，不仅在接触区产生变形，外端也要被牵连而变形。这样，在接触区与外端的分界面上，就要产生附加的剪变形，并引起附加的剪应力，因此和无外端压缩时相比，就要增加力和功。可见，l/h越小，也就是工件越厚时，剪切面就越大，总的剪切力也就越大，这时必须加大外力才能使工件变形。当工件厚度一定时，接触长度l越小，平均单位压力越大。所以，在外端的影响下，随l/h减小 增加。

要结合图形（参照《金属塑性成形力学》P101）

2) 平面变形无外端压缩矩形件（假设有一个方向不变形），并假定接触面全滑动（即τf ＝pfσy）,试推导确定接触表面压应力分布曲线方程。 由于有一个方向（z向）不变形，故此问题为平面变形问题，因此微分平衡方程不仅可以减少，而且可将偏微分方程改为常微分方程。平面变形条件下的矩形件压缩如图所示。

适用于该过程变形力的力平衡微分方程为

σzyτf

xyxzx0xyzh0x

zx由于z轴方向不变形，所以τzx=0故  0 假设剪应力τ

z呈线性分布，

yx

在y轴方向

2fyx2fxdxyx  并且设σx与y轴无关，则 即  y xdxhyh dx2f0 这样，力平衡微分方程最后简化为 dxh 假设工具与坯料的接触面为主平面，平面变形密赛斯屈服准则(σx-σy)2+4τ2xy)=4k2简化为： dσx =dσy dy2fdy2fy0 将屈服准则带入上式得 dxhdxh 2fxhCe积分上式得 y 积分常数由边界条件确定。

在边界点，σxa=0,τxya=0，由剪应力互等，τyxa=0，则由平面变形密赛斯屈服准则(σx-σy)2+4τ2xy)=4k2=K2得边界处σya=-K 2fl(x)h 2 常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程为： y－Ke

3) 镦粗圆柱体，并假定接触面全粘着,试用工程法推导接触面压应力分布曲线方程。

(１）画出力学分析图 （２）写出力平衡方程

τzστσdσrxrτdrτrzrr 0　　rzr

假设r均匀分布，与Z无关，由于是圆柱体，所以r与也无关，故rdr2＝，　假设剪应力zr在Z方向呈限行分布，则：zr＝rdrzh根据体积不变条件V＝r2z ，有drd，　根据mises的应力－应变关系有：r＝根据mises屈服准则，可得近似表达式为：r＝ｚτPd2这样，力平衡微分方程最后简化为：ｚ＋＝0　　　　　　drh2kr解微分方程得：ｚ＝－C 　(全粘着时＝k）　　　　　　　h2kR2kRτ由边界条件：＋C＝ｓ　　可得Cs hh2k（R－r)因此　　ｚ＝s hτσ0τ

4) 圆柱体周围作用有均布压应力，如图所示。用主应力法求出镦出力P,设τ＝mk。 （１）画出力学分析图 （２）写出力平衡方程

rzrr0　　rzr假设r均匀分布，与Z无关，由于是圆柱体，所以r与也无关，rdr2＝，　假设剪应力zr在Z方向呈限行分布，则：zr＝rdrzh根据体积不变条件V＝r2z ，有drd，　根据mises的应力－应变关系有：r＝根据mises屈服准则，可得近似表达式为：r＝ｚ故d2这样，力平衡微分方程最后简化为：ｚ＋＝0　　drh2mkr解微分方程得：ｚ＝－C 　　　　　　　　　　　　　h2mkR2mkR由边界条件：＋C－0＝ｓ　　可得Cs0 hh2mk（R－r)因此　　ｚ＝s0 hR2mk（R－r)mkDP＝(s0)2rdrR2(s0)0h3hτzστσdσrσ0xrτdrτ第四章 滑移线理论及应用

1. 滑移线、α滑移线、ψ角的概念； 2. 汉基应力方程；

3. 四种应力边界条件，其上的应力状况、滑移线以及应力圆如何？ 习题选解

1) 静水压力的概念是什么，如果应力状态已知，如何确定该点的静水压力p？

正八面体上的正应力等于平均正应力

 8 /3 ( 1 2 3)1/3(x y z)m＝－p 1

从塑性成形的观点来看，这个应力只能引起物体体积的改变（造成膨胀或缩小），而不

,, 3均为压缩应力时，这个平均应力即称为静水压力。若一点能引起形状的变化。当 1 2 x,m/3(  的应力状态已知，即 , y z已知，通过上式  1  p 就可确定该点xyz)＝－的静水压力。

2) 画图说明完全粗糙的接触面上的应力边界条件。（主应力、切应力、α、β滑移线及应力圆）

σn=στ＝kmσσασ1m3σmkσ1ymkσ1kkσβmσkσ3ασ3xσ-kβAｘ3) 一中心扇形场，圆弧是α线，径向是β

线，若AB上m＝－k，试求AC线上的m。 β

由于AB、AC都为直线，所以其上的静水压力不变。　C

根据汉盖应力方程：

mB－2kBmC－2kC　　　(沿α滑移线）　　　　B

＝－2k()k2k(1)k　　mBBC mC63

4) 假定某一工件的压缩过程是平面塑变形，其滑移线如图所示，α滑移线是直线族，β滑移线是一族同心圆，pc＝120Mpa,k＝65Mpa，试求C点和D点的应力状态。

kασm=-k

ADBββββEα２OCα１ｘφC=φB=－π/4，φD＝－π/12，pC=120Mpa，k=65Mpa

根据汉基应力方程pC+2kφC= pB+2kφB，pB－2kφB＝pD－2kφ

D

解得：pD＝188Mpa

σxc=-pC－ksin2φC=－55MPa，σyc=-pC+ksin2φC＝－185MPa， τyxc=kcos2φC=0

σxD=-pD－ksin2φD=－155.5MPa，σyc=-pD+ksin2φD=220.5， τxyD=kcos2φD=56.3MPa

5) 画出有心扇形滑移线场，说明其上的应力变化特点：

有心扇形滑移线场如右图所示，沿直线滑移线其上的静水压力及φ角不变，沿曲线滑移线其上的静水压力及φ角改变。O 点为应力奇点。

6) 试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高

坯料时的极限载荷P。设冲头宽度为2b，长为l，且l >>2b。（14分）

β１β2β3Oαααα

PPADBβαOOC ○1由于图形的对称性，以左边为研究对象，画出滑移线场如图所示（4分）

2 p= p，φ○

O

C

O

=φC ＝3π/4 （简要说明理由）

pA=k，φA=π/4-π/6，φC=π/4-π/6+2π/3，

pA-2kφA= pC-2kφC pc=k+2k(φC-φA)=5.19k（简要说明理由）

OyOmksin2O5.19k6.19k （8分） 3 POy2bl12.38blk （2分） ○

第五章 极限分析原理

1. 上界法、下界法、静力许可条件、运动许可条件的概念； 2. 虚功原理、 塑性势、最大逸散功原理。 3. 上界法解析实例（三角形法）