中考数学 圆的综合 培优易错试卷练习(含答案)及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在ABC中，ACB90，BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作

DEAD交AB于点E，以AE为直径作O．

1求证：BC是O的切线；

2若AC3，BC4，求tanEDB的值．

【答案】（1）见解析；（2）tanEDB【解析】 【分析】

1． 21连接OD，如图，先证明OD//AC，再利用ACBC得到ODBC，然后根据切线

的判定定理得到结论；

2先利用勾股定理计算出AB5，设

再证明BDO∽股定理计算BDO的半径为r，则OAODr，OB5r，

15，接着利用勾8BCA，利用相似比得到r：35r：5，解得r531，则CD，利用正切定理得tan1，然后证明2221EDB，从而得到tanEDB的值．

【详解】

1证明：连接OD，如图，

AD平分BAC，

12，

OAOD， 23， 13，

OD//AC， ACBC， ODBC，

BC是O的切线；

2解：在Rt设

ACB中，AB32425，

O的半径为r，则OAODr，OB5r，

OD//AC，

BDO∽BCA，

OD：ACBO：BA，

即r：35r：5，解得r15， 8OD1525，OB， 8822在RtODB中，BDOBOD5， 2CDBCBD3， 23CD21， 在RtACD中，

tan1AC32AE为直径，

ADE90，

EDBADC90， 1ADC90，

1EDB，

1tanEDB．

2【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．

【答案】画图见解析. 【解析】

【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下：

【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.

3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE . （1）求证：直线PD是⊙A的切线； （2）若PC=25，sin∠P=

2，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）． 3

【答案】（1）见解析；（2）20-4π. 【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可. （2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可. 详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°， ∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°， 又PD=BC，∴AD=PD， ∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD， ∵CD=AB，且AB是⊙A的半径， ∴AH=AB,即AH是⊙A的半径， ∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=

CD2，PC=25 ， PD3令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2， 解得：x=2，∴CD=4，PD=6， ∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2， ∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为 扇形ABE的面积为

1×4×2=4， 21π×42=4π， 2∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.

4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝3，求FC的长． 3

【答案】（1）见解析 【解析】

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；

（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．

详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB. 又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB， ∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°， ∴FC⊥OC， ∴FC是⊙O切线．

AE443(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=tanACE， 33设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4. 在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2， 即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8. ∴OE＝r－4＝4＝AE. ∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°. 在Rt△FOC中，

∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°， ∴OF＝2OC＝16，

∴FC＝OF2OC283.

点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，ABCD．

（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：△ABE≌△DCE；

（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．

【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】

83． 3分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以BECE，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；

（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长． 本题解析： （1）解：BE=CE，

理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°， ∴∠BCE=∠EAC， ∴BECE，

∴BE=CE；

（2）证明：∵ABCD，∴AB=CD， ∵BECE，AEED，∴AE=ED，

由（1）得：BE=CE， 在△ABE和△DCE中，

AEDE∵ABCD ， BECE∴△ABE≌△DCE（SSS）；

（3）解：如图，∵过O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，

111BC=×8=4，BG=BE， 222∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，

∴BH=

∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC，∴BH=BG， ∵OB=OB，∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），

1∠EBC=30°， 2设OH=x，则OB=2x，

∴∠OBH=∠GBO=

由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=∴OB=2x=43， 38383，∴⊙O的半径为． 33

点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.

6．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．

1S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积） BCE2请以“问题情境”为基础，继续下面的探究

求证：S（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．

（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．

【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】y拓展】19:27. 【解析】 【分析】

（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝

18；【探究应用2】见解析；【迁移x1BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论； 21AD＝3，求出平行四边形ABCD的面211BD×AM＝平行四22（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝

积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝

边形的面积＝9，即可得出结果；

（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝四边形ABCD的面积，得出∠AGC．

（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝

1平行211AF×BM＝CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分2211AB＝2x，BQ＝BE，AP＝223BP＝23x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝3x，PF＝4x，QF＝

3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝22AP2PF2＝27x，CE＝EQQC＝19x，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示： 则S△BCE＝∴S1BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF， 21S2ABCDBCE．

（2）

解：连接OH，如图2所示： ∵⊙O与BC边相切于点H， ∴OH⊥BC，OH＝

1AD＝3， 2∴平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝6×3＝18， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AMD＝90°， ∴AM⊥BD， ∴△ABD的面积＝即

11BD×AM＝平行四边形的面积＝9， 221xy＝9， 218； x∴y与x之间的函数关系式y＝（3）

证明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图3所示： 同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝∴

1平行四边形ABCD的面积， 211AF×BM＝CE×BN， 22∵AF＝CE， ∴BM＝BN， ∴BG平分∠AGC．

（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如图4所示： ∵平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°， ∴∠ABP＝60°，

∴∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，

11AB＝2x，BQ＝BE，AP＝3BP＝23x， 22∵E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1， ∴BE＝2x，BF＝2x， ∴BQ＝x，

∴BP＝

∴EQ＝3x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x， 由勾股定理得：AF＝22AP2PF2＝27x，CE＝EQQC＝19x，

连接DF、DE，则△CDE的面积＝△ADF的面积＝∴AF×DG＝CE×DH，

1平行四边形ABCD的面积， 2∴DG：DH＝CE：AF＝19x:27x19:27．

【点睛】

本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．

7．如图，直角坐标系中，直线ykxb分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.

（1）求直线AB的函数表达式. （2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=

5，求点D的坐标. 3

【答案】（1）y【解析】 【分析】

388216x6；（2）D（，）. 42525（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）连结BC，作DE⊥OC于点E，根据圆周角定理可得∠OBC=∠ODC，由tan∠ODC=

5可求出OC的长，进而可得AC的3长，利用∠DAC的三角函数值可求出DE的长，即可得D点纵坐标，代入直线AB解析式求出D点横坐标即可得答案. 【详解】

（1）∵A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，

08kb∴，

6b3k解得4，

b63x+6. 4(2)连结BC，作DE⊥OC于点E， ∵∠BOC=90°，

∴BC为⊙P的直径， ∴∠ADC=90°，

5∵∠OBC=∠ODC，tan∠ODC=，

3OC5， ∴

OB3∵OB=6，OA=8，

∴OC=10，AC=18，AB=10，

∴直线AB的函数表达式为y=

∵cos∠DAC=

OB3OA4=，sin∠DAC==， AB5AB72, 55723216DEADsinDAC，

5525∵D点在直线AB上， ADACcosDAC18∴

2163x6， 288， 25解得：x∴D（

88216，） 2525

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握直径所对的圆周角等于90°及正切、正弦、余弦等三角函数的定义是解题关键.

8．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF． (1)求证：AC平分∠FAB；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

5 2试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；

（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应

相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径. 试题解析：(1)证明：连接OC. ∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90° ∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，

∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA ∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC. ∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB (2)连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°. 又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴AC∴ABAC2ABAC. ACAEAE2CE212225

5． 2512AE5，∴⊙O的半径为

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E． （1）求OE的长；

（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留）

【答案】（1）OE的长为（2）阴影部分的面积为【解析】 （1）OE=

3； 23 233 （2）S= 22

10．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；

（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=

S11，求的值．

S22

【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）【解析】 【分析】

3 4（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得

CDPBPD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结

论；

（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=论． 【详解】 （1）连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠BCD=90°， ∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ACB=∠G=48°； （2）∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC， 由（1）得：∠G=∠ACB， ∴∠BCG=∠DAC，

3x，代入面积公式可得结4∴CDPB，

∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC， ∴CDPD， ∴CDPBPD， ∴∠BAD=2∠DAC， ∵∠COF=2∠DAC， ∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x， ∵tan∠CAF=∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG， ∵∠OFC=∠AGO=90°， ∴△COF≌△OAG， ∴OG=CF=x，AG=OF， 设OF=a，则OA=OC=2x﹣a， Rt△COF中，CO2=CF2+OF2， ∴（2x﹣a）2=x2+a2， a=

1CF= ， 2AF3x， 43x， 43x， 2∴OF=AG=

∵OA=OB，OG⊥AB， ∴AB=2AG=

13AB·OGx·xS1232． ∴

S21CF·2x4AFx·2

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判

定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：CDPBPD；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．