一.基本理论
(一)基本概念
(1) 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母,等表示. (2) 离散型随机变量:
如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数是一个离散型随机变量.
(3) 连续型随机变量
如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xn,,取每一个值xi(i1,2,3,4)的概率
P(xi)pi,则称下表
P x1 x2 p2 … … xn … … p1 pi 为随机变量的概率分布,简称为的分布列.
分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i的形式.
2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质:
(A)pi0,i1,2,3, (B)p1p21 3. 求分布列三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；
(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．
4..离散型随机变量的期望与方差
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为 … x1 x2 P xn pi … … p1 p2 … 则称Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望或平均数.或均值.
离散型随机变量的分布列第 1 页 共 17 页
D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为的均方差.简称方
差.D叫标准差.
性质: (1)DE(2)(E)2 (2)E(ab)aEb (3)D(ab)a2D
（三）几种常见的随机变量的分布 1.两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中0 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在n次独立重复试验中 kknkpq,q1p,k0,1,2,n, 这个事件恰好发生k次的概率是P(k)CnX P 1 p 0 q 得到随机变量的概率分布如下 0 1 P 00npq Cn … … k kknkCnpq … … n nn0Cnpq 11n1Cnpq kknkpq=b(k;n,p) 称随机变量服从二项分布,记作~B(n,p),并记Cn3. 超几何分布 一般地,在含有M件次品中的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发 knkCMCNM,k0,1,2,3,生的概率为P(xk)nCN,m, 其中mminM,n,nN,MN,n,M,NN 称分布列 X P 0 0n0CMCNM nCN 1 1n1CMCNM nCN … … m mnmCMCNM nCN 离散型随机变量的分布列第 2 页 共 17 页 二.题型分析 题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列 题1. (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数 分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列； (2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望． [审题视点] 本题解题的关键是求出Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验． 解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为 17,18,19,20,21， 21414141P(Y＝17)＝16＝8 P(Y＝18)＝16＝4 P(Y＝19)＝16＝4 P(Y＝20)＝16＝4 21 P(Y＝21)＝16＝8 则随机变量Y的分布列是： Y P 17 18 18 14 19 14 20 14 21 18 1718192021(2)由(1)知E(Y)＝8＋4＋4＋4＋8＝19， 设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y， 则E(X)＝10E(Y)＝190. 题2. 【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的 离散型随机变量的分布列第 3 页 共 17 页 人数记为，求得数学期望． 【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。 【解析】 题型2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 题3. （2012年韶关二模）有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为. （１）求0的概率； （２）求的分布列和数学期望. （１）60 个 1×1×1 的小正方体中，没有涂上颜色的有 6 个， P(0)61 … （3分） 601011122P(1)P(2)P(3)10；30；5；15 … （7分） （２）由（1）可知 P(0)分布列 离散型随机变量的分布列第 4 页 共 17 页 p 0 1 2 3 1 1011 302 52 15 … （10分） E=0× 1224711+1×+2×+3×= …（12分） 105153030题4. 【2012高考真题浙江理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。 (Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6． 31C5C52C4520 P(X3)3； P(X4)3； 42C942C9123C5C415C42P(X5)P(X6)； ． 334242C9C9故，所求X的分布列为 X 3 5 424 201042215 15542146 214221P (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为： E(X)＝iP(Xi)3i465105191456． 4221142121 题型3. 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列 题5. 【2012高考真题重庆理17】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率； （Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 【答案】 11，乙每次投篮投中的概率为，且32 离散型随机变量的分布列第 5 页 共 17 页 题6. 【2012高考真题全国卷理19】 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ） 表示开始第4次发球时乙的得分，求 的期望. 【答案】 离散型随机变量的分布列第 6 页 共 17 页 题型4. 两点分布 题7. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 192次 投资失败 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 000×12%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是 离散型随机变量的分布列第 7 页 共 17 页 X P 6 000 24 25－25 000 1 25241因此E(X)＝6 000×＋(－25 000)×＝4 760 2525答案 4 760 题型4.二项分布 题8. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。 （1）求蜜蜂落入第二实验区的概率； （2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。 解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A, “蜜蜂落入第二实验区”为事件B.…1分 依题意， 111SV小椎体34圆锥底面2h圆锥1PA ……………3分 1V圆椎体8S圆锥底面h圆锥377∴ P(B)1PA ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为。 ……………4分 88（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则 ………………5分 7170701 P(C)C101030 8882∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率 970. …………………8分 230（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影 响的，所以变量X满足二项分布，即X～40, ………………………10分 ∴随机变量X的数学期望EX=40× 181=5 ………………………12分 8题9. （2012年茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A,B,C,D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A,B 离散型随机变量的分布列第 8 页 共 17 页 两棵树的成活的概率均为 1，另外两棵树C,D为进口树种，其成活概率都为a(0a1)，2设表示最终成活的树的数量. （1）若出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等，求a的值； （2）求的分布列（用a表示）； （3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围. 解：（1）由题意，得2(1)a2，∴a12122. ………2分 2（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. ……3分 1100p(0)C2(1)2C2(1a)2(1a)2 …… …………4分 2410111101p(1)C2(1)C2(1a)2C2(1)2C2a(1a)(1a) …………5分 22221111212011022p(2)C2()C2(1a)2C2(1)C2a(1a)C2(1)2C2a(12a2a2) 22224…………6分 122a212111p(3)C2()C2a(1a)C2(1)C2a ………………………………2222…………7分 1222a2 …………………………………………8分 p(4)C()C2a2422得的分布列为： …………………………9分 p 0 1 2 3 4 1(1a)2 41(1a) 21(12a2a2) 4a 2a2 4a2a112（3）由0a1，显然(1a)(1a), ……………10分 4422∴p(2)p(1)111(12a2a2)(1a)(2a24a1)0 …11分 4241a1p(2)p(3)(12a2a2)(2a21)0 ……12分 424 离散型随机变量的分布列第 9 页 共 17 页 由上述不等式解得a的取值范围是 题型5.超几何分布 222a.……………………13分 22题10. 某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了 活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学. （1）求X的概率分布； （2）求去执行任务的同学中有男有女的概率. 解 （1）X的可能取值为0，1，2，3. 根据公式P（X=m）=即X的概率分布为 X P 0 1 56nmCmMCNMCnM算出其相应的概率， 1 15 562 15 283 5 28 （2）去执行任务的同学中有男有女的概率为 P（X=1）+P（X=2）= 151545+=. 562856题型6. 离散型随机变量的均值和方差 题11. (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示． (1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望． 12222 (注：方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]，其中x为x1，x2，…，xn的平均 n数) 解 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 8＋8＋9＋1035 所以平均数为：x＝＝； 44 离散型随机变量的分布列第 10 页 共 17 页 1352352352352112 方差为：s＝×[(8－)＋(8－)＋(9－)＋(10－)]＝. 4444416 (2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)211111 ＝＝.同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.所以随机变量1684448 Y的分布列为： Y P 17 1 818 1 419 1 420 1 421 1 818 EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17× 1111 ＋18×＋19×＋20×＋21×＝19. 4448 题12. (2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 P 5 0.4 6 7 8 0.1 a b 且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值； (2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝ 产品的等级系数的数学期望 ； 产品的零售价 (2)“性价比”大的产品更具可购买性． [审题视点] (1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值． 离散型随机变量的分布列第 11 页 共 17 页 (2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断． 解 (1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2. 又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5. 6a＋7b＝3.2，由 a＋b＝0.5， a＝0.3， 解得 b＝0.2. 4 (2)由已知得，样本的频率分布表如下： X2 f 3 0.3 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 0.2 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下： X2 P 所以 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下： 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为＝1. 6因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性． 4.8 ＝1.2. 4 离散型随机变量的分布列第 12 页 共 17 页 《离散型随机变量的分布列》作业 1.一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码. （1）求X的概率分布； （2）求X＞4的概率. 解 （1）X的可能取值为3，4，5，6，从而有： P（X=3）= C33C36= 1， 20P（X=4）= 2C11C3C362C11C4= 3， 20P（X=5）= C362C11C5= 3， 10P（X=6）= C36=. 12故X的概率分布为 X P （2）P（X＞4）=P（X=5）+P（X=6）= 2.(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假2 定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司 31 是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随 12机变量X的数学期望E(X)＝________. [审题视点] 分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望． 1 解析 由已知条件P(X＝0)＝ 121112 即(1－P)×＝，解得P＝， 3122随机变量X的取值分别为0,1,2,3. 354=. 101053 1 204 3 205 3 106 1 2P(X＝0)＝， 112 离散型随机变量的分布列第 13 页 共 17 页 P(X＝1)＝×1－2＋2××2＝， 22 2 3 1 113 13 P(X＝2)＝2×××1－＋1－×2＝， 232 2 3 1216 1 21 512 P(X＝3)＝×2＝. 2 因此随机变量X的分布列为 213 X P 112 13 512 0 1 121 1 32 5 123 1 6E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5答案 3 3. （广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 1563 21，乙每次击中目标的概率， 23 （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； （II）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 4. 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数 离散型随机变量的分布列第 14 页 共 17 页 学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布. 解 依题意随机变量X服从超几何分布， 所以P（X=k）= 4kCk6C44C10（k=0，1，2，3，4）. 3C16C44C10 4分 ∴P（X=0）=P(X=2)= P(X=4)= 4C06C44C10= 371210,P(X=1)= = 4, 3522C6C44C104C10=,P(X=3)= 1, 141C36C44C10= 8, 2140C6C4= 9分 ∴X的概率分布为 X P 1 5.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中 7轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率． [审题视点] 对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确． Cx1解 (1)设袋中白球共有x个，根据已知条件2＝， C77即x－x－6＝0， 解得x＝3，或x＝－2(舍去)． (2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5. A33A4A32 因此，P(X＝1)＝1＝，P(X＝2)＝2＝， A77A77A4A36A4A33 P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝4＝， A735A735 21 31 1 11 2 2 0 1 2101 4 352 3 73 8 214 1 14 14分 X P 1 3 72 2 73 6 354 3 355 1 35P(X＝5)＝ AA1 ＝. A35 414357 则随机变量X的分布列为： A3A4A3A4A336122 (3)甲取到白球的概率为P＝1＋3＋5＝＋＋＝. A7A7A77353535 离散型随机变量的分布列第 15 页 共 17 页 1 21 41 6. (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令 X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望． 解 (1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4， C4C4 P(X＝i)＝4(i＝0,1,2,3,4)， C8则 i4－iX P 0 1 701 8 352 18 353 8 354 1 70(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P(Y＝3 500)1＝P(X＝4)＝， 70 P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝， E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280， 所以此员工月工资的期望为2 280元． 7. （2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. （1）求的概率分布、期望和方差； （2）若=a +b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 解 （1）的概率分布为 835 5370 17016705370 0 1 21 1 202 1 103 3 204 1 5P 12∴E()=0×+1× 2 1131+2×+3×+4×=1.5. 20201052 D()=(0-1.5)×+(1-1.5)× 2 2 123111222 +(2-1.5)×+(3-1.5)×+(4-1.5)×=2.75. 2020510(2)由D()=aV(),得a×2.75=11,即a=±2. 又E()=aE()+b, 离散型随机变量的分布列第 16 页 共 17 页 所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. ∴a2,a2或即为所求. b2,b4 8.【2012高考真题湖南理17某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 顾客数（人） x 30 25 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 13至16件 17件及以上 y 10 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率） 【答案】（1）由已知,得25y1055,xy35,所以x15,y20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251,p(X1.5),p(X2), 10020100101004201101 p(X2.5),p(X3). 100510010X的分布为 p(X1) X 1 P X的数学期望为 E(X)11.5 2 2.5 3 33111 20104510331111.522.531.9. 20104510（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21). 由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21) 3333339. 202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 离散型随机变量的分布列第 17 页 共 17 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容