(完整word)2016年江苏省南京市中考数学试卷

2016年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是( ） A．0。7×105 B．7×104 C．7×105 D．70×103

2．(2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ ） A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．｜﹣3+5｜ D．｜﹣3﹣5| 3．(2分）下列计算中，结果是a6的是（ ) A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．(a2）3

4．（2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ） A．3,4,4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7

5．（2分)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ) A．1 B．

C．2 D．2

6．(2分)若一组数据2，3，4，5,x的方差与另一组数据5，6,7，8，9的方差相等，则x的值为（ ）

A．1 B．6 C．1或6 D．5或6

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．(2分）化简：8．（2分）若式子

= ;

= ．

在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ．

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9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ． 10．（2分）比较大小：11．（2分）分式方程

2

﹣3 ．

的解是 ．

12．(2分)设x1、x2是方程x﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= ，m= ． 13．（2分）如图,扇形OAB的圆心角为122°，C是

上一点，则∠ACB= °．

14．(2分）如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论: ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC． 其中所有正确结论的序号是 ．

15．（2分)如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 ．

16．（2分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．

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三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组18．(7分）计算

﹣

．

，并写出它的整数解．

19．（7分）某校九年级有24个班,共1000名学生，他们参加了一次数学测试,学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．

（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数; (2）下列关于本次数学测试说法正确的是 A．九年级学生成绩的众数与平均数相等 B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等

C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数 D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数

20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后,可以进行进一步研究，请根据示例图形,完成下表．

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图形的变化 平移

轴对称

示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关

的结论

(1）

AA′=BB′ AA′∥BB′ （3）

（2)

旋转 AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线相

交所成的角与旋转角相等或互补．

（4）

21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． 证法1：∵ ，

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=0° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣(∠1+∠2+∠3）． ∵ ，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天

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去该景区旅游，求下列事件的概率: （1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；

（2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．

23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0。002L/km．

（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km． （2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式． (3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

24．（7分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE． （1)求证:∠D=∠F；

（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．

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25．（9分)图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tan（1)求点P的坐标；

（2）水面上升1m，水面宽多少（

取1。41，结果精确到0。1m）?

，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．

26．（8分）如图，O是△ABC内一点,⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG． （1）求证：AB=AC．

（2）已知AB=10,BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

27．（11分）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

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（1）把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变，得到函数y=的图象；也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变，得到函数y=的图象．

（2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变．

（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；

（Ⅱ）为了得到函数y=﹣（x﹣1）2﹣2的图象,可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点 ． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ (3）函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣

的图象？（写出一种即可)

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参与试题解析

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分,共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分)为了方便市民出行，提倡低碳交通,近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划,全市公共自行车总量明年将达70000辆,用科学记数法表示70000是( ） A．0。7×105 B．7×104 C．7×105 D．70×103

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：70000=7×104， 故选:B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a｜＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．(2分)数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ ） A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．｜﹣3﹣5| 【分析】由距离的定义和绝对值的关系容易得出结果． 【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5、﹣3， ∴它们之间的距离=|﹣3﹣5|=8， 故选:D．

【点评】本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离；理解数轴上两点间的距离与绝对值的

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关系是解决问题的关键．

3．（2分）下列计算中,结果是a6的是（ ） A．a+a B．a•a C．a÷a D．（a）

2

4

2

3

12

2

2

3

【分析】A:根据合并同类项的方法判断即可． B：根据同底数幂的乘法法则计算即可． C：根据同底数幂的除法法则计算即可．

D：幂的乘方的计算法则：（am）n=amn(m,n是正整数），据此判断即可． 【解答】解:∵a2+a4≠a6, ∴选项A的结果不是a6； ∵a2•a3=a5，

∴选项B的结果不是a6； ∵a12÷a2=a10，

∴选项C的结果不是a6； ∵（a2）3=a6，

∴选项D的结果是a6． 故选：D．

【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母,其指数是1,而不是0；③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么,指数是什么．

（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m,n是正整数）;②（ab）n=anbn(n是正整数)．

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（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变,指数相加．

(4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．

4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ） A．3，4，4 B．3，4,5 C．3，4，6 D．3，4，7

【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形;满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形,依此求解即可．

【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形,不符合题意； B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；

C、因为3+4＞6,且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意; D、因为3+4=7,所以三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选:C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．

5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ) A．1 B．

C．2 D．2

【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，OG; ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,

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∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=2,

∴OG=OA•sin60°=2×

=

，

．

∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为故选：B．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键,属于中考常考题型．

6．（2分）若一组数据2，3，4，5,x的方差与另一组数据5,6，7，8，9的方差相等，则x的值为（ ）

A．1 B．6 C．1或6 D．5或6

【分析】根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题． 【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4,5， ∴x=1或6， 故选：C．

【点评】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…,xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．

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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分,不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）化简:

= 2 ；= 2 ．

【分析】根据二次根式的性质和立方根的定义化简即可． 【解答】解：=2． 故答案为：2

；2． =

=2

；

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简,立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

8．（2分)若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵式子∴x﹣1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= (b+c）（2a﹣3) ． 【分析】直接提取公因式b+c即可． 【解答】解：原式=（b+c)（2a﹣3）， 故答案为：（b+c)（2a﹣3)．

【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．

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在实数范围内有意义，

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10．（2分)比较大小：【分析】先判断出

﹣3 ＜ ．

﹣3与﹣2的符号,进而可得出结论．

【解答】解：∵4＜5＜9， ∴2＜∴∴

＜3，

﹣2＞0， ．

﹣3＜0，﹣3＜

故答案为：＜．

【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数与负数比较大小的法则是解答此题的关键．

11．（2分）分式方程

的解是 3 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x=3（x﹣2）， 去括号得:x=3x﹣6， 解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

12．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= 4 ，m= 3 ． 【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣=4,x1x2==m,将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根,

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∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m． ∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1， ∴m=3．

故答案为：4；3．

【点评】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出x1+x2=4,x1x2=m．本题属于基础题,难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是

上一点，则∠ACB= 119 °．

【分析】在⊙O上取点D，连接AD,BD,根据圆周角定理求出∠D的度数,由圆内接四边形的性质即可得出结论．

【解答】解：如图所示,在⊙O上取点D,连接AD，BD， ∵∠AOB=122°，

∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°． ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ACB=180°﹣61°=119°． 故答案为:119．

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【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．

14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC;④DA=DC． 其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．

【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC,进而得出其它结论． 【解答】解:∵△ABO≌△ADO， ∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD, ∴AC⊥BD，故①正确；

∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∴∠COB=∠COD=90°, 在△ABC和△ADC中，

,

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∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确 ∴BC=DC，故②正确; 故答案为①②③．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法：SSS,SAS，ASA，AAS,以及HL，是解题的关键．

15．（2分）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3,AC∥BD，EF是△ODB的中位线,且EF=2，则AC的长为

．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB,再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】解:∵EF是△ODB的中位线， ∴DB=2EF=2×2=4， ∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴即

=

，

=，

解得AC=． 故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．

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16．（2分)如图，菱形ABCD的面积为120cm，正方形AECF的面积为50cm,则菱形的边长为 13 cm．

2

2

【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可． 【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2， 所以AC=

cm,

因为菱形ABCD的面积为120cm2， 所以BD=所以菱形的边长=故答案为：13．

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．

三、解答题（本大题共11小题,共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（7分）解不等式组

，并写出它的整数解．

cm，

cm．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可． 【解答】解:解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1， 解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，

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则不等式组的整数解为﹣1、0、1．

【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

18．(7分）计算

﹣

．

【分析】首先进行通分运算，进而合并分子，进而化简求出答案． 【解答】解：===

．

﹣

﹣

【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．

19．（7分）某校九年级有24个班,共1000名学生，他们参加了一次数学测试,学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．

（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数； （2）下列关于本次数学测试说法正确的是 A．九年级学生成绩的众数与平均数相等 B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等

C．随机抽取一个班,该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数

D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数

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【分析】(1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；

(2）根据条形统计图和扇形统计图不能求出众数和中位数，从而得出答案．

【解答】解:（1)根据题意得:(80×1000×60%+82。5×1000×40％)÷1000=81(分）， 答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；

（2)A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误; B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误;

C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；

D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数,故本选项正确； 故选D．

【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列,如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请

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根据示例图形，完成下表． 图形的变化 平移

轴对称

示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关的结

论

（1） AB=A′B′,AB∥A′B′

AA′=BB′ AA′∥BB′

（2） AB=A′B′；对应线段AB和A′B′ （3） l垂直平分所在的直线如果相交，交点在对称轴l上． AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．

AA′

旋转 (4） OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′

【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； (2）根据轴对称的性质即可得到结论； （3）同（2）；

(4）由旋转的性质即可得到结论．

【解答】解:（1）平移的性质:平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB=A′B′,AB∥A′B′;

(2）轴对称的性质：AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上． （3)轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为:l垂直平分AA′． （4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．

故答案为：(1）AB=A′B′，AB∥A′B′；(2)AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交,交点在对称轴l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′． 【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质，余角和补角的性质,熟练掌握各

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性质是解题的关键．

21．(8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． 证法1:∵ 平角等于180° ,

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=0° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵ ∠1+∠2+∠3=180° ，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

【分析】证法1:根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=0°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；

证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2,则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．

【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=0°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣（∠1+∠2+∠3）．

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∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=0°﹣180°=360°．

证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）, ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．

故答案为:平角等于180°,∠1+∠2+∠3=180°．

【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．也考查了三角形内角和定理和外角性质．

22．（8分)某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率:

（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴;

（2)随机选择连续的两天,恰好天气预报都是晴．

【分析】（1）由天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案;

(2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴,晴雨,雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．

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【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天， ∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为：；

（2)∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴, ∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为：=．

【点评】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位:km/h)之间的函数关系（30≤x≤120）,已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0。002L/km．

（1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 0。13 L/km、 0。14 L/km． (2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式． （3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

【分析】(1）和（2）：先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所以将x=50代入计算即可，速度是100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得,也可以利用解析式求解；

（3）观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可． 【解答】解：（1）设AB的解析式为：y=kx+b, 把（30，0.15)和（60，0.12）代入y=kx+b中得:

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解得

∴AB:y=﹣0.001x+0.18，

当x=50时,y=﹣0。001×50+0.18=0。13，

由线段BC上一点坐标（90,0。12）得：0。12+（100﹣90）×0.002=0。14， ∴当x=100时,y=0.14, 故答案为：0.13，0.14；

（2）由(1)得:线段AB的解析式为：y=﹣0。001x+0。18；

（3）设BC的解析式为:y=kx+b，

把(90，0.12)和（100，0.14)代入y=kx+b中得:

解得

∴BC：y=0.002x﹣0.06， 根据题意得

解得

，

,

答:速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低,最低是0.1L/km．

【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出两线段的解析式是解好本题的关键,因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来,是数学解题方法之一，应该熟练掌握．

24．（7分)如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE． (1）求证：∠D=∠F；

(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．

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【分析】(1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F;

（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心,OC为半径作△BCF的外接圆⊙O,⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP． 【解答】（1）证明:BF交AD于G，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠FBC=∠FGE, 而∠FBC=∠DCE, ∴∠FGE=∠DCE, ∵∠GEF=∠DEC， ∴∠D=∠F;

(2）解：如图，点P为所作．

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【点评】本题考查了作图﹣相似变换:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2)小题的关键是利用圆周角定理作∠BPC=∠F．

25．(9分）图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=,tan（1）求点P的坐标；

(2）水面上升1m，水面宽多少（

取1。41,结果精确到0.1m）？

，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．

【分析】(1)过点P作PH⊥OA于H,如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x,根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；

（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．

【解答】解：(1）过点P作PH⊥OA于H，如图． 设PH=3x， 在Rt△OHP中， ∵tanα=∴OH=6x． 在Rt△AHP中， ∵tanβ=∴AH=2x，

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=，

=，

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∴OA=OH+AH=8x=4, ∴x=， ∴OH=3,PH=，

∴点P的坐标为(3，);

（2)若水面上升1m后到达BC位置,如图，

过点O（0,0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4）, ∵P（3，）在抛物线y=ax（x﹣4）上, ∴3a（3﹣4）=， 解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣4）． 当y=1时,﹣x（x﹣4）=1， 解得x1=2+∴BC=（2+

,x2=2﹣

，

)=2

=2×1。41=2。82≈2。8．

）﹣（2﹣

答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．

【点评】本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．

26．(8分)如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点,且与AB、AC分别相切于点D、

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E，DE∥BC，连接DF、EG． （1)求证：AB=AC．

（2)已知AB=10，BC=12,求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC;

(2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得

=

，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得

=

，列出方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线， ∴AD=AE, ∴∠ADE=∠AED, ∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；

（2)解:如图，连接AO，交DE于点M,延长AO交BC于点N,连接OE、DG，设⊙O半径为r，

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∵四边形DFGE是矩形， ∴∠DFG=90°， ∴DG是⊙O直径，

∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E, ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵OD=OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB=AC, ∴AN⊥BC，BN=BC=6， 在Rt△ABN中，AN=∵OD⊥AB，AN⊥BC， ∴∠ADO=∠ANB=90°， ∵∠OAD=∠BAN， ∴△AOD∽△ABN, ∴

=

,即=

，

=

=8，

∴AD=r，

∴BD=AB﹣AD=10﹣r， ∵OD⊥AB，

∴∠GDB=∠ANB=90°, ∵∠B=∠B，

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∴△GBD∽△ABN, ∴∴r=

=

,即，

．

=

，

∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为

【点评】本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

27．(11分)如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变,得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．

类似地,我们可以认识其他函数．

(1)把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的 6 倍，横坐标不变，得到函数y=的图象；也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变,得到函数y=的图象．

（2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数 y=4(x﹣1）2﹣2 的图象； (Ⅱ）为了得到函数y=﹣（x﹣1)2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点 D ． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3)函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣

的图象?（写出一种即可）

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【分析】(1）根据阅读材料中的规律即可求解；

（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加,上加下减”的规律即可求解； (3）首先把函数解析式变为y=﹣

=

=

﹣1，然后根据(2)的规律即可求解．

【解答】解:（1）把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变, 设y′=6y，x′=x，将y=

，x=x′带入xy=1可得y′=

，得到函数y=的图象；

也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变， 设y′=y，x′=6x,将y=y′,x=

代入xy=1可得y′=,得到函数y=的图象；

（2）（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变\"的变化后，得到y=4x2的图象；y=4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后,得到y=4（x﹣1）2的图象；y=4（x﹣1)2的图象经过“向下平移2个单位长度\"的变化后，得到y=4（x﹣1)2﹣2的图象．

（Ⅱ）为了得到函数y=﹣(x﹣1)2﹣2的图象,可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y=﹣x2﹣2的图象，再把y=﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度,得到y=﹣（x﹣）﹣2的图象;最后把y=﹣(x﹣）﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍,得到y=﹣（x﹣）2﹣2的图象，即y=﹣（x﹣1)2﹣2的图象．

2

2

(3）∵y=﹣==﹣1,

；再向左平移2个单位,

∴函数y=的图象先将纵坐标变为原来的倍,横坐标不变，得到y=

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向下平移1个单位即可得到函数y=﹣的图象．

2

故答案为：（1)6，6；（2）(Ⅰ）y=4（x﹣1）﹣2；(Ⅱ)D．

【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

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