蓝田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ A．

B．y=x2C．y=﹣x|x|

D．y=x﹣2

）

2． 已知命题p：∀x∈R，32x+1＞0，有命题q：0＜x＜2是log2x＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（

）

A．￢pB．p∧qC．p∧￢qD．￢p∨q　

3． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（

）

A．5　　

B．4C．4D．2

4． 若集合M={y|y=2x，x≤1}，N={x|A．（1﹣1，]B．（0，1]　

C．[﹣1，1]

≤0}，则 N∩M（ D．（﹣1，2]

）

5． 设Sn是等差数列{an}的前项和，若A．1

B．2

C．3

D．4）

a55S，则9（ ）a39S56． 下列命题中错误的是（

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

7． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（

）

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A．10 13　

B．12.5 12C．12.5 13D．10 15

x2y28． 椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2，点P是C上异于A1,A2的任意一点，且直线PA1斜率的

43取值范围是1,2，那么直线PA2斜率的取值范围是（ ）

A．133133, B．, C．,1 D．,1244248【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．

9． 已知e为自然对数的底数，若对任意的x[,1]，总存在唯一的y[1,1]，使得lnxx1aye成立，则实数a的取值范围是（ A.[,e]

）

D.(,e)1e2y1eB.(,e]

2eC.(,)

2e2e1e【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．

10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ A．20种B．24种C．26种D．30种　

11．如图可能是下列哪个函数的图象（

）

）

A．y=2x﹣x2﹣1B．y=

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C．y=（x2﹣2x）exD．y=

12．已知数列an是各项为正数的等比数列，点M(2,log2a2)、N(5,log2a5)都在直线yx1上，则数列

an的前n项和为（

A．22

n）

B．2n12 C．21

nD．2n11，则圆

二、填空题

13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为的方程为　　　　　　．14．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为　　　　　　．15．已知函数f(x)asinxcosxsinx（

）

21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26A．1　　　　B．±1　　　　C．2　　　　D．2【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．

17．（

﹣2）7的展开式中，x2的系数是　　　　　　．18．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈　　　　　　．三、解答题

19．（本小题满分12分）

设0，，满足6sin2cos3．3（1）求cos的值；

6第 3 页，共 16 页

（2）求cos2的值．

1220．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．

21．（本小题满分12分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(31)acosB2bcosAc，（Ⅰ）求

tanA

的值； tanB

（Ⅱ）若a6，B4，求ABC的面积．

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22．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）　

23．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

24．已知（

+）n展开式中的所有二项式系数和为512，

（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．

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蓝田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】D【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．　

2． 【答案】C

【解析】解：∵命题p：∀x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，

由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，∴命题q为假，故选：C．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．　

3． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0），∴|PE|min=故选：D．

=2

．

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．　

4． 【答案】B

【解析】解：由M中y=2x，x≤1，得到0＜y≤2，即M=（0，2]，由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤1，即N=（﹣1，1]，则M∩N=（0，1]，故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　

5． 【答案】A【解析】1111]

9(a1a9)S9a2试题分析：951．故选A．111]S55(a1a5)5a32考点：等差数列的前项和．6． 【答案】 B

【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．

∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．

对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为

，

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∴截面三角形SAB的高为

=

故截面的最大面积为

．

，∴截面面积S==≤

．故B错误．

对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．　

7． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

8． 【答案】B

9． 【答案】B

【

解

析

】

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10．【答案】A

【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；

甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：A．

【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．　

11．【答案】 C

【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=∴B中的函数不满足条件；

C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=ex＞0恒成立，

∴y=（x2﹣2x）ex的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=∴y=

的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，

的图象是以x轴为中心的波浪线，

＜0，∴D中函数不满足条件．

故选：C．

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【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．　

12．【答案】C

【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式．log2a21，log2a54，∴

a22,a516,∴a11,q2，数列an的前n项和为2n1，选C．二、填空题

13．【答案】　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．

【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①

且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为

，

=

，

且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d=根据垂径定理得：r2﹣d2=即r2﹣（

）2=③；

，

由方程①②③组成方程组，解得∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．　

14．【答案】　

　．

；

【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为

=，

，

∴由斜截式可得直线l的方程为故答案为

．

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【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．　

15．【答案】A【

解

析

】

16．【答案】③④【解析】

试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接AN,AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC为等边三角形，所以AN,AC所成的角为60，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．

考点：空间中直线与直线的位置关系．17．【答案】﹣280 解：∵（由

﹣2）7的展开式的通项为，得r=3．

．

=

．

∴x2的系数是故答案为：﹣280．

18．【答案】　[﹣1，3]　．

【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

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故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．　

三、解答题

19．【答案】（1）【解析】

10302；（2）．486试题分析：（1）由6sin2cos3 sin，又0，，366264101512cos22cos1；（2）由（1）可得cossin26436434cos2302cos2cos2cossin2sin．1234343486试题解析：（1）∵6sin2cos3，∴sin，………………………………3分

6410∵0，，∴，，∴cos．………………………………6分

366264101（2）由（1）可得cos22cos212．………………………………8分1436415，∴sin2∵0，，∴2，．……………………………………10分

333342∴cos2cos2cos2cossin2sin12343434302．………………………………………………………………………………12分8考点：三角恒等变换．20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则

，

解得由于

，，，故n=55．…

，…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：

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p=，

），…

由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，∴P（X=k）=∴EX=

=

，DX=

=

，k=0，1，2，3，．…

【点评】本题考查相互事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．　

21．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解： （Ⅰ）由(31)acosB2bcosAc及正弦定理得

(31)sinAcosB2sinBcosAsinCsinAcosB+cosAsinB， （3分）

tanA3（6分）∴3sinAcosB3sinBcosA，∴

tanB（Ⅱ）tanA3tanB3，A3，basinB42， （8分）sinAsin36sin62， （10分）411621(33)（12分）∴ABC的面积为absinC622242sinCsin(AB)22．【答案】

【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，

当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=

对任意x∈（1，+∞）恒成立，，则h′（x）=

．

设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，

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∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=

∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=∴k＜hmin（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．

∴k的值为1，2，3．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．　

23．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得：a1=1，d=2an=2n﹣1…（2）由①得∴∴

…（12分）

…（7分）

…（11分）…（2分）

．

=x0．

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．　

24．【答案】

【解析】解：（1）对（解得n=9；

设Tr+1为常数项，则：

+）n，所有二项式系数和为2n=512，

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Tr+1=C9r由

﹣r=0，得r=3，

=C9r2r，

∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．

【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．　

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