数学论文

认识带我走进数学

德国数学家汉克尔有一段精彩的论述：“在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁,一个人的创造被另一个人所破坏；唯独数学，每一代人都古老的大厦上添加一层楼。”的确如此，数学以它独有的魅力吸引着一代又一代才华横溢的学者。

有学者认为数学是一门自然科学，但也有学者认为数学是一门艺术。数学以它独特的美让无数人为它倾心，耗尽他们毕生的精力。

首先，我们必须承认数学的出现是为了解决实际问题，使问题简单明了化，而不是使问题更加复杂。这就决定了数学的一个特点－简约。我们学习加法，继而我们学习乘法。乘法是由加法发展而来，几个相同的数相加我们便得到了乘法。由加法到乘法的这种过渡，就是为了使计算趋于简单化，不必写一串相同的数字。与之类似的还有指数的出现。再比如说计算机中的二进制，仅仅用数字0和1便可以表达所有的数目。我们学习圆的时候，在探讨过圆上一点的切线的时候发现，只需将该点的横纵座标分别代替该圆的方程中的x和y,便得到了过这一点的切线方程。这也是一种简约美的体现。“世事再纷繁，加减乘除算尽。宇宙虽大点线面体包完。”这两句话很到位的概括了数学的简约明了。人们对简约的追求不止，对数学简约美的探索便永不止步。

其次，数学具有高度的统一性。法国布尔巴基派提出一种结构主义新观点。他们认为，数学是一门统一的关于结构的科学。其中最普遍最基本的结构有三类：代数结构、序结构和拓扑结构。数学中的不同分支都是这个统一结构的一部分。在学习圆锥曲线的时候，我们接触到圆、椭圆、双曲线还有抛物线。首先我们一类一类的学，最后我们找他们之间的联系与共性，得出了许多类似的结论。不但研究方法一致，就连结果都如出一辙。每一个倾心于解析几何的人都会赞叹坐标系的发现是一件多么了不起的事。它把数与形巧妙的统

一起来，既形象直观又能分析入微。我们规定0！=1，起初我们对这个规定迷惑不解，但是从数学的同一性这一角度来分析又觉得这一规定匠心独运。传统数学与前沿理论的差异性正在逐步消失，如费马大定理的证明用到了现代数学的若干分支；应用数学与理论数学也正在统一，纯粹数学的几乎所有分支都获得了应用。也许有一天数学的各个分支会融会贯通，走向真正的统一，我们期待着这一天的到来，并且坚信这一天一定会到来。

从数学从结构上审视数学，它具有一定的严整美。比如我们学习的勾股定理a² +b² =c²，再比如说圆的方程x^2+y^2=r^2，圆心O（0，0），半径r，椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1

；

又

比

如

二

项

式

定

理

(a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n。这些表达式以及公示以他们外观的严整性深深的吸引着我们，我们被这种严整的结构所深深折服。在数学的探索过程中，无论探索的过程多么的复杂，要表达的内涵多么的深刻，那些才华横溢的数学家总能把那些看似抽象、繁琐的内在数学练习以一种严整的结构表达出来。给人一种整齐的感觉。严整的本身就是一种美。

在数学的各个分支中均有美的体现，如果我们没有感觉到，那只是我们没有发现这种美。难怪有人说数学是一门艺术。正如罗素所说：“数学：如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们的天性的微弱的美，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，他可以纯粹到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”

数学是一门讲求逻辑的学科。无论那一个定理都需要经过严格的逻辑推理与证明，丝毫不得马虎更不能有一丝纰漏，否则就只能称之为命题而不能称之为定理。在数学上有许多命题与猜想，人们普遍接受它们的正确性，但是由于缺少严格的数学逻辑推理，它们只能是命题或猜想。我们知道著名的“理发师悖论”：某乡村理发师宣布一条店规：他只给

村里所有自己不刮脸的人刮脸。但问题是，理发师给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，那么它就属于“自己不刮脸”的那一类村民，按店规他应该给自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么它属于“自己刮脸”的那一类村民，按规定他不应该给自己刮脸。这是罗素悖论一个通俗的表示，是一个人所共知的逻辑问题，在数学界广泛的流传。再比如说数列极限的定义， 设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作

，或Xn→a（n→∞） 读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋

于 a”． 若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．这是逻辑性非常强的一个定义,正数ε的的任意给定表达出Xn与a无限接近的意思，同时又确保了极限的唯一性。我们不得不佩服维尔斯•特拉斯独到的逻辑能力与表达能力，数行字把我们想说而说不出来的话表达的精确透彻。

同时，数学具有高度的严格性，是一门非常严谨的学科，数学体系也以严谨而著称。我们学习导数时经常将“过一点的切线”和“以一点为切点的切线”两类问题相互混淆，这是两个不同的概念。做学问要求严谨，做数学的学问更是如此。1995年，世界权威的数学刊物<<数学年刊>>以满满一整期的篇幅发表了英国数学家安德鲁•怀尔斯关于费马大定理的证明，解决了这一长达355年的猜想，与此同时，安德鲁•怀尔斯的工作被誉为“20世纪最伟大的数学成就”。在他证明这个问题之前，无数数学家曾绞尽脑汁来攻克这一问题。1770年欧拉在他的<<代数入门>>中详细证明了当n=3时该命题成立，1827年法国数学家勒让德将n=5情形正式发表，p=7的情形到1839年由另一位法国数学家拉梅给出。以上证明都是对单个指数而言，这样的结果是无论验证了多少个指数，总有一个有限数。与问题本身要解决的无穷数有本质的区别，无论将指数推广到多大，只要不是所有符合条件的数，这个问题都不算被解决，数学的严格性便是如此。“数学王子”高斯一生治学严谨，从不发表未经严格推敲的论文和著作。他的名言是“宁可少些，但要好些”。他这种严谨的治学精神成为后人的楷模。或许正是这种严格的数学作风才使数学区别于其他学科，

发展数千年仍颠扑不破。

当然，数学绝不是一门枯燥的没有创造性的学科。数学需要憧憬，需要创造，需要联想甚至需要幻想。我们接触到几何时，经常会为解决某些问题而做辅助线，进而得到一种解决问题的方法。其实，这也是一种联想，一种动机，一种为解决问题而做的大胆的猜想。现有的条件，我们要解决问题的结果，这种借助辅助线建立起来的联系正如一座桥梁。再比如说我们解一元三次方程，总希望把这个方程写成几个因式相乘的形式，再根据任何数与零相乘都得零这一理论根据得到方程的解。但是以我们的数学修养，我们不能一目了然地把这些式子看成几个因式相乘的形式。于是，我们设定未知数前的参数，写成一个一次式与一个二次因式相乘的形式，再把这两个因式展开，通过比较系数确定未知数前面的参数。进而达到求出解的目的，把我们的设想变成现实。再比如说我们做数列，证明数列之间的不等关系，经常把数列之间的项进行放缩，以期达到我们熟悉能解的数列。我们解决问题是总是根据已知条件和结果大胆设想其中的联系，通过某种数学方法达到解题目的，而联想这是数学方法的源泉。大胆的假设，小心的求证。数学家通过数学创造体会到，数学发现更多地依靠直觉的非逻辑因素，其中有想象力、顿悟、灵感。德摩根干脆宣称：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。”

学习数学要求我们勤奋，华罗庚曾说：“科学灵感不是可以等来的。如果说科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只给予那些学有素养的人，给予那些善于思考的人，给那些具有锲而不舍精神的人，而不会给懒汉”。他以那句“天才在于积累，聪明在于勤奋”教诲着无数学子。学习数学要求我们有坚忍不拔的意志，欧拉一生与命运抗争，20岁离开祖国，31岁右眼失明，59岁双目失明，其寓所和财产曾被大火焚烧一空，与他共同生育了13个孩子的爱妻先他10年辞世。但是他坚定不移的进行科学研究。成为有史以来成就最多的数学家。他被称为“分析的化身”，被誉为“数学英雄”。“数学王子”高斯告诉我们“宁可少些，但要好些”，做数学的学问需要我们严谨，脚踏

实地，决不能为了功名而敷衍了事。“数学巨人”牛顿说：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，谦虚治学，严格律己。阿基米德更以他一个个广为流传的故事告诉我们什么是对学习数学的执着。学习数学切记死套公式，笛卡尔曾说：“从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。”

我们学习数学，希望把它转化成一种内在的数学修养，去了解未知的世界，去探索我们不知道的领域。或许，数学只是其他学科的一种工具，但我们更愿意相信他能把所有的学科联系起来，找到他们内在的联系。我们致力于找到一条亘古不变法则，或许这条法则就隐藏于万灵之灵的数学之中。