2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．〔5分〕〔2014•安徽〕设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．假设z=1+i，则+i•=〔 〕 A． ﹣ 2 B． ﹣2i C． 2 D． 2i 考复数代数形式的乘除运算． 点： 专数系的扩充和复数． 题： 分

把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 析： 解解：∵z=1+i， 答： ∴，

∴=

+i•=

．

点评： 2．〔5分〕〔2014•安徽〕“x＜0”是“ln〔x+1〕＜0”的〔 〕 A． 充 分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既 不充分也不必要条件 考充要条件． 点： 专计算题；简易逻辑． 题： 分根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 析： 解解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln〔x+1〕＜0； 答： ∵ln〔x+1〕＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，

∴“x＜0”是ln〔x+1〕＜0的必要不充分条件． 故选：B． 点此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决此题的关键，评： 比较基础．

故选：C．

此题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

1

3．〔5分〕〔2014•安徽〕如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔 〕

A． 3 4 B． 55 C． 78 D． 考程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用． 点： 专算法和程序框图． 题： 分写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值． 析： 解解：第一次循环得z=2，x=1，y=2； 答： 第二次循环得z=3，x=2，y=3；

第三次循环得z=5，x=3，y=5； 第四次循环得z=8，x=5，y=8； 第五次循环得z=13，x=8，y=13； 第六次循环得z=21，x=13，y=21； 第七次循环得z=34，x=21，y=34；

第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55， 故选B 点此题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属评： 于一道基础题． 4．〔5分〕〔2014•安徽〕以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐

标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是〔t为参数〕，

圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为〔 〕 A． B． C． D． 2 2 考点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 点： 专坐标系和参数方程． 题： 分先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．

2

析： 解

答： 解：直线l的参数方程是

〔t为参数〕，化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；

圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x， 即 〔x﹣2〕2+y2=4，表示以〔2，0〕为圆心、半径r等于2的圆． 弦心距d=

=

＜r，∴弦长为2

=2

=2

，

故选：D． 点此题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的评： 方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．

5．〔5分〕〔2014•安徽〕x、y满足约束条件，假设z=y﹣ax取得最大值的

最优解不唯一，则实数a的值为〔 〕 A． B．

或﹣1 2或 考点： 专题： 分析： 解答：

C． 2或1 D． 2或﹣1

简单线性规划．

不等式的解法及应用．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的

变化，从而求出a的取值．

解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影部分ABC〕． 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

假设a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

假设a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，

假设a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，

则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1， 综上a=﹣1或a=2， 故选：D

3

点此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思评： 想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的

定义． 6．〔5分〕〔2014•安徽〕设函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔x+π〕=f〔x〕+sinx．当0≤x＜π时，f〔x〕=0，则f〔 A． 考点： 专题： 分析： 解答：

〕=〔 〕 B．

C． 0

D．

﹣

抽象函数及其应用；函数的值．

函数的性质及应用．

利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．

解：∵函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔x+π〕=f〔x〕+sinx．当0≤x＜π时，f〔x〕=0， ∴f〔=f〔=f〔=f〔=sin==．

〕=f〔〕+sin〕+sin〕+sin+sin

+sin+sin+sin

+sin

〕

4

点评： 7．〔5分〕〔2014•安徽〕一个多面体的三视图如下图，则该多面体的外表积为〔 〕

故选：A．

此题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

A． 2 1+ B． C． 21 D． 18 18+ 考由三视图求面积、体积． 点： 专空间位置关系与距离． 题： 分判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的外表积． 析： 解解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂答： 直，侧棱长为1，

几何体的外表积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底=

故选：A．

=21+

．

点此题考查三视图求解几何体的外表积，解题的关键是判断几何体的形状． 评：

5

8．〔5分〕〔2014•安徽〕从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有〔 〕 A． 2 4对 B． 30对 C． 48对 D． 60对 考排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角． 点： 专排列组合． 题： 分利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 析： 解解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条， 答：

同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数， 不满足题意的共有：3×6=18．

从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48． 故选：C． 点此题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题此题的关键． 评： 9．〔5分〕〔2014•安徽〕假设函数f〔x〕=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为〔 〕 A． 5 或8 B． ﹣1或5 C． ﹣1或﹣4 D． ﹣4或8 考带绝对值的函数；函数最值的应用． 点： 专选作题；不等式． 题： 分分类讨论，利用f〔x〕=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值． 析： 解

解：＜﹣1时，x＜﹣，f〔x〕=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1； 答：

﹣≤x≤﹣1，f〔x〕=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1； x＞﹣1，f〔x〕=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴

﹣1=3或a﹣2=3，

∴a=8或a=5，

a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；

≥﹣1时，x＜﹣1，f〔x〕=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣，f〔x〕=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；

6

x＞﹣，f〔x〕=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1， ∴2﹣a=3或﹣+1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4，

a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；

综上，a=﹣4或8． 故选：D．

此题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．

点评：

10．〔5分〕〔2014•安徽〕在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足

=

〔+〕，曲线C={P|

=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|

|≤R，

r＜R}．假设C∩Ω为两段别离的曲线，则〔 〕 A． 1 ＜r＜R＜3 B． 1＜r＜3≤R C． r≤1＜R＜3 D． 1＜r＜3＜R 考向量在几何中的应用． 点： 专平面向量及应用；直线与圆． 题： 分

不妨令=〔1，0〕，=〔0，1〕，则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|〔0＜r≤||≤R，r析：

＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，假设C∩Ω为两段别离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案． 解

解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0， 答：

不妨令=〔1，0〕，=〔0，1〕， 则

=

〔+〕=〔

，

〕，

=cosθ+sinθ=〔cosθ，sinθ〕， 故P点的轨迹为单位圆， Ω={P|〔0＜r≤|

|≤R，r＜R}表示的平面区域为：

以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环， 假设C∩Ω为两段别离的曲线， 则单位圆与圆环的内外圆均相交， 故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1， ∵|OQ|=2，

7

点评：

故1＜r＜R＜3， 故选：A

此题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|〔0＜r≤|

|≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．〔5分〕〔2014•安徽〕假设将函数f〔x〕=sin〔2x+图象关于y轴对称，则φ的最小正值是

．

〕的图象向右平移φ个单位，所得

考函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换． 点： 专三角函数的图像与性质． 题： 分根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin析：

〔2x+﹣2φ〕，再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求

得φ的最小正值． 解

解：将函数f〔x〕=sin〔2x+答：

〕的图象向右平移φ个单位，

]=sin〔2x+

﹣2φ〕关于y轴对

所得图象对应的函数解析式为y=sin[2〔x﹣φ〕+称， 则

﹣2φ=kπ+

．

，k∈z，即 φ=﹣

﹣

，故φ的最小正值为，

故答案为：

点此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属评： 于中档题． 12．〔5分〕〔2014•安徽〕数列{an}是等差数列，假设a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ． 考等比数列的通项公式． 点： 专等差数列与等比数列． 题： 分设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，析：

则由化简得答案．

解

解：设等差数列{an}的公差为d，

8

答： 由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，

得：整理得：即

化简得：〔d+1〕2=0，即d=﹣1． ∴q=

=

．

， ，

+5a1+a1+4d．

点评：

故答案为：1．

此题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

13．〔5分〕〔2014•安徽〕设a≠0，n是大于1的自然数，〔1+〕n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn．假设点Ai〔i，ai〕〔i=0，1，2〕的位置如下图，则a= 3 ．

考二项式定理的应用；二项式系数的性质． 点： 专二项式定理． 题： 分求出〔1+〕n的展开式的通项为析：

a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值． 解解：〔1+〕n的展开式的通项为答：

，由图知，a0=1，

，

由图知，a0=1，a1=3，a2=4， ∴

，

，

，a2﹣3a=0， 解得a=3， 故答案为：3．

，

9

点此题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题． 评：

14．〔5分〕〔2014•安徽〕设F1，F2分别是椭圆E：x2+

=1〔0＜b＜1〕的左、右焦点，过

点F1的直线交椭圆E于A、B两点，假设|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 x2+ 考点： 专题： 分析： 解答：

=1 ．

椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

圆锥曲线的定义、性质与方程．

求出B〔﹣c，﹣b2〕，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程． 解：由题意，F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2， ∴A点坐标为〔c，b2〕， 设B〔x，y〕，则 ∵|AF1|=3|F1B|，

∴〔﹣c﹣c，﹣b2〕=3〔x+c，y〕 ∴B〔﹣c，﹣b2〕，

代入椭圆方程可得∵1=b2+c2， ∴b2=，c2=， ∴x2+

=1．

=1．

，

故答案为：x2+

点此题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 评：

15．〔5分〕〔2014•安徽〕已知两个不相等的非零向量，，两组向量和S=

•，+

，•

，+

•，+

均由2个和3个排列而成，记•

+

•

，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则以

，

，

，

，

下命题正确的选项是 ②④ 〔写出所有正确命题的编号〕． ①S有5个不同的值；

10

②假设⊥，则Smin与||无关； ③假设∥，则Smin与||无关； ④假设||＞4||，则Smin＞0；

⑤假设||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为

．

考命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量． 点： 专平面向量及应用；简易逻辑． 题： 分

依题意，可求得S有3种结果：S1=+++析：

+，

，可判断①错误；

S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+

+

﹣2•≥

+

﹣

进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=2||•||=答案．

≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得

解

解：∵xi，yi〔i=1，2，3，4，5〕均由2个和3个排列而成， 答：

∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2③S=4•+

．

++

+，

，故①错误；

+

﹣2||•||=

≥0，

+

+

， +3

；②S=

+2•+2

；

S有3种结果：S1=S2=

+•+•+

S3=•+•+•+•+∵S1﹣S2=S2﹣S3=∴S中最小为S3； 假设⊥，则Smin=S3=

+

﹣2•≥

，与||无关，故②正确；

，与||有关，故③错误；

＞﹣4||•||+

＞﹣

+

=0，

③假设∥，则Smin=S3=4•+

④假设||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosθ+故④正确；

11

⑤假设||=2||，Smin=S3=8||2cosθ+4∴2cosθ=1，∴θ=即与的夹角为

， ．

=8，

综上所述，命题正确的选项是②④， 故答案为：②④． 点此题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推评： 理、分析与运算的综合应用，属于难题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域． 16．〔12分〕〔2014•安徽〕设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B． 〔Ⅰ〕求a的值； 〔Ⅱ〕求sin〔A+

〕的值．

考正弦定理；两角和与差的正弦函数． 点： 专综合题；三角函数的求值． 题： 分〔Ⅰ〕利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值； 析：

〔Ⅱ〕求出sinA，cosA，即可求sin〔A+〕的值．

解

解：〔Ⅰ〕∵A=2B，答：

∴a=6cosB，

∴a=6

，

，b=3，

∴a=2；

〔Ⅱ〕∵a=6cosB， ∴cosB=∴sinB=

， ，

，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣， 〔sinA+cosA〕=

．

∴sinA=sin2B=∴sin〔A+

〕=

点此题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于评： 中档题．

12

17．〔12分〕〔2014•安徽〕甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互．

〔Ⅰ〕求甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛的概率；

〔Ⅱ〕记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值〔数学期望〕． 考离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 点： 专概率与统计． 题： 分〔1〕根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．

析： 〔2〕利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值． 解解：用A表示甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，答： Bk表示第k局乙获胜，

则P〔Ak〕=，P〔Bk〕=，k=1，2，3，4，5

〔Ⅰ〕P〔A〕=P〔A1A2〕+P〔B1A2A3〕+P〔A1B2A3A4〕=〔〕2+×〔〕2+××〔〕2=

．

〔Ⅱ〕X的可能取值为2，3，4，5． P〔X=2〕=P〔A1A2〕+P〔B1B2〕=， P〔X=3〕=P〔B1A2A3〕+P〔A1B2B3〕=， P〔X=4〕=P〔A1B2A3A4〕+P〔B1A2B3B4〕=

，

P〔X=5〕=P〔A1B2A3B4A5〕+P〔B1A2B3A4B5〕+P〔B1A2B3A4A5〕+P〔A1B2A3B4B5〕=

=

，

，

或者P〔X=5〕=1﹣P〔X=2〕﹣P〔X=3〕﹣P〔X=4〕=故分布列为： X P

2

+5×

=

3 ．

4

5

E〔X〕=2×+3×+4×

点此题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查评： 学生的计算能力．

13

18．〔12分〕〔2014•安徽〕设函数f〔x〕=1+〔1+a〕x﹣x2﹣x3，其中a＞0． 〔Ⅰ〕讨论f〔x〕在其定义域上的单调性；

〔Ⅱ〕当x∈[0，1]时，求f〔x〕取得最大值和最小值时的x的值． 考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 点： 专导数的综合应用． 题： 分〔Ⅰ〕利用导数判断函数的单调性即可； 析： 〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，

得出取最值时的x的取值． 解解：〔Ⅰ〕f〔x〕的定义域为〔﹣∞，+∞〕，f′〔x〕=1+a﹣2x﹣3x2， 答：

由f′〔x〕=0，得x1=，x2=，x1＜x2，

∴由f′〔x〕＜0得x＜由f′〔x〕＞0得故f〔x〕在〔﹣∞，在〔

，

＜x＜

，x＞

；

；

〕和〔〕上单调递增；

，+∞〕单调递减，

〔Ⅱ〕∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，

①当a≥4时，x2≥1，由〔Ⅰ〕知，f〔x〕在[0，1]上单调递增，∴f〔x〕在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．

②当0＜a＜4时，x2＜1，由〔Ⅰ〕知，f〔x〕在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，

因此f〔x〕在x=x2=

处取得最大值，又f〔0〕=1，f〔1〕=a，

∴当0＜a＜1时，f〔x〕在x=1处取得最小值； 当a=1时，f〔x〕在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f〔x〕在x=0处取得最小值． 点此题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的评： 运用能力，属中档题． 19．〔13分〕〔2014•安徽〕如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x〔p1＞0〕和E2：y2=2p2x〔p2＞0〕，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．

〔Ⅰ〕证明：A1B1∥A2B2；

〔Ⅱ〕过O作直线l〔异于l1，l2〕与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求

的值．

14

考直线与圆锥曲线的综合问题． 点： 专向量与圆锥曲线． 题： 分〔Ⅰ〕由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到析： 的坐标，然后由向量共线得答案；

〔Ⅱ〕结合〔Ⅰ〕可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，

由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案． 解〔Ⅰ〕证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0， 答： 设l1：y=k1x，l2：y=k2x．

联立

，解得

．

联立，解得．

联立，解得．

联立，解得．

∴，

．

15

，

∴A1B1∥A2B2；

〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知A1B1∥A2B2，

同〔Ⅰ〕可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2． ∴△A1B1C1∽△A2B2C2， 因此

，

又，

∴．

故．

点此题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相评： 似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题． 20．〔13分〕〔2014•安徽〕如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．

〔Ⅰ〕证明：Q为BB1的中点；

〔Ⅱ〕求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

〔Ⅲ〕假设AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

考二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角． 点： 专综合题；空间位置关系与距离． 题： 分〔Ⅰ〕证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1

16

析： 的中点；

〔Ⅱ〕设BC=a，则AD=2a，则

ABCD=

==

，VQ﹣

=ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成

上、下两部分的体积之比；

〔Ⅲ〕△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1=

=1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

解〔Ⅰ〕证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC， 答： ∴平面QBC∥平面A1D1DA，

∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D ∴△QBC∽△A1AD，

∴

=，

∴Q为BB1的中点；

〔Ⅱ〕解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2， 设BC=a，则AD=2a，∴

ABCD=

==

，VQ﹣

=ahd，

，

∴V2=

∵V棱柱=ahd， ∴V1=

ahd，

；

∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比

〔Ⅲ〕解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，

∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角， ∵BC∥AD，AD=2BC，

∴S△ADC=2S△ABC，

∵梯形ABCD的面积为6，DC=2， ∴S△ADC=4，AE=4， ∴tan∠AEA1=∴∠AEA1=

，

．

=1，

∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为

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点此题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题评： 的能力，属于中档题．

21．〔13分〕〔2014•安徽〕设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*． 〔Ⅰ〕证明：当x＞﹣1且x≠0时，〔1+x〕p＞1+px； 〔Ⅱ〕数列{an}满足a1＞ 考点： 专题： 分析：

，an+1=

an+an1p．证明：an＞an+1＞

﹣

．

不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．

函数思想；点列、递归数列与数学归纳法．

第〔Ⅰ〕问中，可构造函数f〔x〕=〔1+x〕p﹣〔1+px〕，求导数后利用函数的单调性求解；

对第〔Ⅱ〕问，从an+1

着手，由an+1=

an+an1p，将求证式进行等价转化

﹣

后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．

﹣

解证明：〔Ⅰ〕令f〔x〕=〔1+x〕p﹣〔1+px〕，则f′〔x〕=p〔1+x〕p1﹣p=p[〔1+x〕

﹣

答： p1﹣1]．

﹣

①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴〔1+x〕p1＜〔1+x〕0=1，

﹣

∴〔1+x〕p1﹣1＜0，即f′〔x〕＜0， ∴f〔x〕在〔﹣1，0]上为减函数，

∴f〔x〕＞f〔0〕=〔1+0〕p﹣〔1+p×0〕=0，即〔1+x〕p﹣〔1+px〕＞0， ∴〔1+x〕p＞1+px．

②当x＞0时，有1+x＞1，得〔1+x〕p1＞〔1+x〕0=1， ∴f′〔x〕＞0，

∴f〔x〕在[0，+∞〕上为增函数， ∴f〔x〕＞f〔0〕=0， ∴〔1+x〕p＞1+px．

综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有〔1+x〕p＞1+px，得证．

﹣

〔Ⅱ〕先证an+1＞．

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∵an+1=将

an+an1p，∴只需证

﹣an+an1p＞

﹣

，

写成p﹣1个相加，上式左边

=，

当且仅当，即时，上式取“=”号，

当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，

∴an+an1p＞

﹣

，即an+1＞．

再证an＞an+1． 只需证an＞

an+an1p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞c

﹣

．

由前知an+1＞成立，即从数列{an}的第2项开始成立，

成立，

又n=1时，由题设知

∴对n∈N*成立，∴an＞an+1．

综上知，an＞an+1＞，原不等式得证．

点此题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有评： 分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．

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