第六节 矩形、菱形、正方形
年份 2017 2016 2015 2014 2013 命题规律
河北五年中考命题规律 题号 考查点 考查内容 分值 总分 题目新颖，用排序的方式考查9 菱形的性质 3 菱形的性质 以正方形为背景，考查三角形11 正方形的性质 2 的三边关系 10 以正四边形、正六边形为背16 正方形的性质 2 景，求线段的长度 以矩形为背景，考查角平分18 矩形的性质 线、线段的垂直平分线作图方3 法，求角 矩形、菱形、正以平行四边形为背景考查添加6 3 3 方形的判定 一定条件为特殊平行四边形 矩形、正方形的以矩形为背景，通过折叠、剪16 2 2 性质 开、拼图，判断面积 矩形的性质、正将矩形分割成n个三角形，再8 方形的判定及 拼接为满足条件的正方形，求n3 3 性质 不能取的值 通过菱形对角线平分角的性质11 菱形的性质 判断三角形相似，利用相似三3 角形的性质求线段长度 6 由平行四边形性质判定四边形12 矩形的作法 为平行四边形，再根据矩形性3 质判断矩形作法是否正确 矩形、菱形、正方形在近5年河北中考中为常考内容，分值一般为3～10分，题型主要为选择、填空题．纵观河北近五年中考，本课时常考的类型有：(1)矩形的性质及相关计算；(2)菱形的判定及相关计算；(3)正方形性质的相关计算. 河北五年中考真题及模拟)
矩形的性质及判定
1．(2016河北中考)关于▱ABCD的叙述，正确的是( C ) A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
菱形的判定及相关计算
2．(2017河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程： ①又BO＝DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD； ③∵四边形ABCD是菱形； ④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( B ) A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
3．(2013河北中考)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝( B )
A．3 B．4 C．5 D．6 正方形性质的相关计算
4．(2014河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
(第4题图)
(第5题图)
5．如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为( B )
15
A.12 B.
4
C．5 D．6
6．(2016保定育德中学二模)如图，菱形ABCD的周长为12 cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长为__33__cm.
(第6题图)
(第7题图)
7．(2016张家口九中一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__33__．
8．(2017唐山中考模拟)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止)，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，
(1)AE和BF的位置关系为__垂直__；
(2)线段MN的最小值为__5－12__．
,中考考点清单
图①
矩形的性质与判定
1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图①. 2．性质
文字描述 字母表示[参考图①] (1)对边平行且相等 AD綊BC，AB綊CD (2)四个内角都是直角 __∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° (3)两条对角线相等且互相平分 AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD (4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形
3.判定 文字描述 字母表示[参考图①] 若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 90°，则四边形ABCD是矩形 若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形(2)有三个角是直角的四边形是矩形 ABCD是矩形 若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边(3)对角线相等的平行四边形是矩形 形，则四边形ABCD是矩形 菱形的性质与判定
近五年菱形的性质与判定考查3次，题型以选择题、填空题为主，考查形式为利用菱形的相关性质求长度，涉及相似三角形、数轴等，2017年以排序的方式考查菱形的性质，
图②
2014年首次以图形旋转为背景，在解答题中涉及菱形的判定，2013年在选择题中与相似三角形的判定及性质结合考查求边长．
4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图②. 5．性质 文字描述 字母表示[参考图②] (1)菱形四条边都相等 AB＝__BC__＝CD＝DA ∠DAB＝∠DCB， (2)对角相等 ∠ADC＝__∠ABC__ (3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝分一组对角 ∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形 6.判定 文字描述 字母表示[参考图②] 若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 则四边形ABCD是菱形 (2)四条边相等的四边形是菱形 若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 (3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，
形
则四边形ABCD是菱形
图③
正方形的性质与判定
7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图③： 8．性质 文字描述 字母表示[参考图③] (1)四条边都相等 即AB＝BC＝CD＝DA (2)四个角都是90° 即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90° (3)对角线互相垂直平分且相等 即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB ∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝(4)对角线平分一组对角 ∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45° (5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 9.判定 文字描述 字母表示[参考图③] (1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，四边形叫做正方形 ∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形 若∠ABC＝90°，且四边形ABCD是菱形，则(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形 四边形ABCD是正方形 若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边(3)有一组邻边相等的矩形是正方形 形ABCD是正方形 (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD正方形 平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
易错 对特殊的平行四边形的判定理解不透彻
【例】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点．
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？
【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. ∵M，N分别是AD，BC的中点，
11
∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN.
22
AB＝CD，在△MAB和△NCD中，∠A＝∠C＝90°，
AM＝CN，
∴△MAB≌△NCD；
(2)四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，易证A，P，N三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN＝BM.
∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN. ∵P，Q分别是BM，DN的中点， ∴PM＝NQ，DQ＝BP，
又易知DM＝BN，∠MDQ＝∠NBP， ∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP， ∴四边形MPNQ是平行四边形． ∵M是AD的中点，Q是DN的中点，
11∴MQ＝AN，∴MQ＝BM.
22
∵P是BM的中点，
1
∴MP＝BM，∴MP＝MQ，
2
∴四边形MQNP是菱形．
,中考重难点突破
矩形的性质与判定
【例1】(白银中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．
【解析】(1)利用FA∥DC，证明△AFE≌△DCE；(2)由(1)，可知四边形AFBD为平行四边形且D为BC中点，只需证明AD⊥BC即可．
【答案】解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥CB， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又E是AD的中点，
∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE(AAS)． ∴AF＝DC.又AF＝BD，∴BD＝CD；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. 又AF＝BD，且AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形， ∴四边形AFBD是矩形．
1．(2017衢州中考)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( B )
A. B. C. D.
菱形的性质与判定
35537354
【例2】(贵阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，DC.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
【解析】根据旋转，可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；(2)首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义，可得AD＝5，根据菱形的性质，可得AF＝FC＝AD＝5，进而可得答案．
【答案】解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形．
∵D，E分别为AB，AC边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.
∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，DF⊥AC， ∴四边形ADCF是菱形；
(2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵D是AB中点，∴AD＝5. ∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝AD＝5， ∴四边形ABCF周长为8＋10＋5＋5＝28.
2．(2017宁波中考)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为__7－1__．
正方形的性质与判定
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解析】(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)证出四边形BECD是平行四边形，证出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【答案】解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD；
(2)四边形BECD是菱形．
理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC. ∵D为BA中点，∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，
∴菱形BECD是正方形，
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且
S正方形MNPQ8
四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于____．
S正方形AEFG9
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