新世纪教育网
精选资料 版权全部 @新世纪教育网
2012 年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合题
整数根、系数是整数
2
1.（昌平
23．）已知 m 整数，方程 2x
mx 1 =0 的两个根都大于 -1 且小于
3
2
，当方程
的两个根均 有理数 ，求 m 的 ．
23．解：y
2 x2 mx
∵ 2x
1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
2
mx 1 0 的两根都在 1和
3
2
之 ，
∴ 当 x 1 ， y 0 ，即： 2 m 0 ．
1 0 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分
⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
当 x
3 ， y
2
0 ，即： 2
∴
1
9 3 m 1 2 2
m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
3
∵ m 整数， ∴ m
2， 1，0 ．
2 ，方程 2x2
2x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
① 当 m
1 0，
4
8 12 ，
∴ 此 方程的根 无理数，不合 意． ② 当 m
1 ，方程 2x
2
x 1
0， x1
1 ， x2
1，切合 意．
2
③ 当 m
0 ，方程 2x2 1
0 ， x
2 ，不切合 意． 2
6 分
合①②③可知，
m
1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
2.（房山） 23．）已知：对于 ⑴当 m 取何整数 ，对于 ⑵若抛物
x 的方程 mx － 3( m－ 1) x＋2m－3=0.
x 的方程 mx2－ 3( m－1) x＋ 2m－ 3=0 的根都是整数；
y
mx 2
m x
y
k x
(k 0) 上的一点（ -1,3 ），
3(
1)
m 2 3 向左平移一个 位后， 反比率函数
①求抛物 y
mx2 3(m 1) x 2m 3 的分析式；
②利用函数 象求不等式
k x
kx
0的解集 .
y 4 3 2 1
- 1
解：⑴
⑵①
-4-3-2-1 O 1
新世纪教育网
-- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
2
3 4
x
版权全部 @新世纪教育网
- 2 - 3
2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案
- 4
2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案
新世纪教育网
精选资料 版权全部 @新世纪教育网
②
23．解：⑴当 m=0 时， x=1---------------------------- 当 m≠ 0，可解得 x1=1， x2=
2m
3
2
31 分
2 分
-----------------
m m
∴ m1， 3 时， x 均有整数根 --------------------------------------
3分
综上可得 m 0， 1， 3 时， x 均有整数根
⑵①抛物线向左平移一个单位后获得 y= m( x＋ 1) 2－ 3( m－ 1)( x＋ 1) ＋ 2m－ 3 -------------4 分 过点（ -1,3 ）代入解得 m= 3 ∴抛物线分析式为
y
y= 3x － 6x＋ 3
2----------
5 分
②k=－ 1× 3=－ 3-----------------------
6 分
分
∴x>1 或－ 1 -4-3-2 -1 - 1 - 2 - 3 - 4 O1234 x 3.（平谷 23）已知抛物线 y （1）求证此抛物线与 （2）若 x2 mx m 2 ． x 轴有两个不一样的交点； x m 是整数， 抛物线 y 2 mx m 2 x m 与 轴交于整数点， 求 3 2 的值；（ ）在（ ） 的条件下，设抛物线极点为 上一点，且 MA A ，抛物线与 x 轴的两个交点中右边交点为 MB ，求点 M 的坐标． 0，则 x2 mx m 2 0 ． B ．若 M 为坐标轴 23．解：（ 1）证明：令 y 由于 m2 4m 8 ( m 2)2 4 0 ， ·············1 分 因此此抛物线与 x 轴有两个不一样的交点． mx m 2 ··············2 分 （ 2）由于对于 x 的方程 x2 由 m 为整数，当 (m 设 (m 0 的根为 x m ( m 2)2 2 4 ， 2)2 4 为完整平方数时，此抛物线与 x 轴才有可能交于整数点． 2) 2 4 n2 （此中 n 为整数）， ··························3 分 因此 [ n (m 2)][ n ( m 2)] 4 ． 由于 n (m 2) 与 n (m 2) 的奇偶性同样， 因此 n m n m 2 2 或 n m 2 ； 2 2 n m 2 ， 2 ， 2. 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 解得 m ， 当 m 2 ． 2 ， 关 于 x 的 方 程 x2 m 2 ...................................5 分 （ 3） 当 m 2 ，此二次函数分析式 mx m 2 0 有整数根． 所 以 y x2 1，1）． 2 x (x 1)2 1 ， 点 A 的坐 （ 抛物 与 x 的交点 O(0， 0) 、 B(2，0) ． M 1 (10) 抛物 的 称 与 交于 M1 x ， ， ． 2 ， 在直角三角形 AM 1O 中，由勾股定理，得 AO 2 2 O B ． AB 由抛物 的 称性可得， 2 2 又 ( 2) ( 2) AO 22 2 ． 2 OAAB ， 即 因此 △ ABO 等腰直角三角形．且 因此 M 1A M1B ． M1(1，0) 所求的点． ····························6 分 M 2 在 y 上 ， M 2 坐 (0， y) ． 若 足条件的点 A 作 AN ⊥ y 于 N ， AM 2 、 BM 2 ． M 2 A 2 由勾股定理，有 M2A M2B． M 2N2 AN 2 ； M2B2 M 2O2 OB2 ． 22 ． 即 ( y 1)2 12 y 2 解得y 1． ·······················7 分 因此 M 2 (0，1) 所求的点． 上所述 足条件的 4.（ 沟 23） 已知抛物 M 点的坐 （ 1，0）或（ 0，1）． 2y＝ ax ＋ x＋ 2. (1) 当 a＝－1 ，求此抛物 的 点坐 和 称 ； (2) 若代数式－ x2＋ x＋2 的 正整数，求 x 的 ； (3) 若 a 是 数 ， 当 a＝ a1 ，抛物 y＝ax2＋ x＋ 2 与 x 的正半 订交于点 a＝ a2 ，抛物 y＝ ax2＋x＋ 2 与 x 的正半 订交于点 -4-3-2-1O -1 -2 -3 -4 y 4 3 2 1 M(m ，0)；当 N(n， 0). 若点 M 在点 N 的左 ， 比 a1 与 a2 的大小 . 23. 当 a=-1 ， y=-x +x+2 ，∴ a=-1,b=1,c=2. 2 1 2 3 4 x ∴抛物 的 点坐 ( 1 ， 9 )， 称 直 x= 2 4 1 . ⋯⋯2分 2 (2) ∵代数式 -x2+x+2 的 正整数，∴函数 y=-x 2+x+2 的 正整数 . 1或2. 又因 函数的最大 9 ，∴ y 的正整数 只好 4 当 y=1 ， -x2+x+2 ＝1，解得 x1 1 2 5 ， x2 1 5 ⋯⋯⋯⋯3 分 2 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 当 y=2 ， -x2+x+2 ＝2，解得 x3=0,x4=1. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ∴ x 的 x1 1 2 5 ， x2 1 2 5 ，0或 1. （3） 当 a＜ 0 ，即 a1＜ 0， a2＜ 0. 点 M 的抛物 y=a1x2+x+2 的 称 x 1 , 2a1 点 N 的抛物 y=a2x2+x+2 的 称 x 1 . ⋯⋯⋯⋯5分 2a2 ∵点 M 在点 N 的左 ，且抛物 点 (0,2) ∴直 x 1 2a1 1 2a1 在直 x 1 2a2 的左 ⋯⋯⋯⋯⋯6 分 ∴ ＜. ∴ a1＜ a2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 1 2a2 5．（ 柔 23）已知抛物 （ 1）若抛物 y x2 (2m 1)x m2 1 (m 常数 ) ． y x 2 与 交于两个不一样的整数点， 求 m 的整数 ； （ 2）在（ 1） 条件下，若抛物 点在第三象限， 确立抛物 的分析式； （ 3）若点 M(x1，y1)与点 N(x1＋k，y2)在（ 2）中抛物 上 (点 M、N 不重合 ), 且 y1=y2. 求 (2m 1)x m 2 1 x 代数式 x1 16 2 +6 x1 +5-k 的 . 2 k+1 23．解：（ 1）由 意可知， △ = 2m-1 又抛物 与 x 交于两个不一样的整数点， ∴ 5－ 4m 平方数， -4( m2 -1)=5 － 4m＞ 0， . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 k2 =5 － 4m， 足要求的 m1，－ 1，－ 5，－ 11，－ 19⋯⋯ ∴ 足 意的 m 整数 的代数式 -n2 +n+1 (n 正整数 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2）∵抛物 点在第三象限，∴只 有 m=1 切合 意， 抛物 的分析式 （ 3）∵点 M 3 分 y=x2 +x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 x1,y1 与 N x1 k,y2 在抛物 y=x2 +x 上， y2 , ∴ y1 =x12 +x1 ， y2 =(x1 +k)2 +x1 +k ∵ y1 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 2 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 ∴ x12 +x1 = x1 +k +x1 +k. 整理，得 k 2 x1 +k +1 =0 ∵点 M 、 N 不重合，∴ k≠ 0. ∴ 2x1 =－ k－ 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴ x1 2 2 6 分 16 +6 x1 +5-k = k +1 4 16 -3(k+1)+5-k =6. ⋯⋯⋯ 7 分 k +1 k +1 6． 在平面直角坐 系 xOy 中，抛物 2 14 的 点 M ，直 y2 x ，点 P n，0 2 x 上的一个 点， 点 P 作 x 的垂 分 交抛物 y1 2x 1 4 和直 y2 x 于点 A，点 B. ⑴直接写出 A， B 两点的坐 （用含 n 的代数式表示）； ⑵ 段 AB 的 d ，求 d 对于 n 的函数关系式及 d 的最小 ，并直接写出此 段 OB 与 段 PM 的地点关系和数目关系； (3) 已知二次函数 y ax2 bx c （ a ， b ， c 整数且 a 20 ）， 全部 数 x 恒有 x ≤y ≤2x 2 1 ，求 a ， b ， c 的 . 4 25．解： (1) A(n，2n ) ， B( n，n) .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1 2 分 4 y (2) d =AB= yA yB = 2n2 n 1 . 4 ∴ d = 2(n 1 )2 1 = 2( n 1 )2 .﹍﹍3 分 4 8 4 8 ， d 获得最小 1 1 ∴ 当 n 1 1 A M O P .﹍﹍ 4分 B4 8 1 1 x 当 d 取最小 ， 段 OB 与 段 PM 的地点 10 关系和数目关系是 OB ⊥PM 且 OB=PM. (如 10) ﹍﹍﹍﹍﹍ 5 分 (3) ∵ 全部 数 x 恒有 2 x ≤ y≤ 2x2 1 ， 4 bx 2 ∴ 全部 数 x ， x ≤ ax 当 x 0 ，①式化 0≤ c ≤ 1 c ≤ 2x 都建立 . ( a 4 . 1 0 ) ① 4 的 ∴ 整 数 c 2 0.﹍﹍﹍﹍﹍ 2 此 ， 全部 数 x ， x ≤ ax bx ≤ 2x 1 4 6分 0 ) 都建立 .( a 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 x ax2 即 bx, 2 ax 2 bx 2 x 1 . 4 ② ③ 对一确实数 x 均建立 . 由②得 ax2 b 1 x ≥ 0 2 ( a 0 ) 对一确实数 x 均建立 . ④ ⑤ ∴ a 0, 1 b 1 0. 由⑤得整数 b 的值为 1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7 分 此时由③式得， ax 2 2 x ≤ 2x 2 1 4 对一确实数 x 均建立 . ( a 0 ) 即 (2 a)x x 1 4 ≥ 0 对一确实数 x 均建立 . ( a 0 ) 当 a=2 时，此不等式化为 2x 1 4 ≥ 0，不知足对一确实数 x 均建立 . 当 a≠2时，∵ (2 a) x x 1 ≥ 0 对一确实数 x 均建立， ( a 0 ) 4 ⑥ ⑦ 2 a 0, ∴ 2 ( 1) 2 4 (2 a) 1 0. 4 ∴ 由④，⑥，⑦得 0 < a ≤1. ∴ 整数 a 的值为 1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 8 分 ∴ 整数 a ， b ， c 的值分别为 a 1 ， b 1 ， c 0 . 利用数形联合研究交点、方程的根 1.（东城 23.） 已知对于 x 的方程 (1 m) x2 (4 m) x 3 0 ． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围； （ 2）若正整数 m知足 8 2m 2，设二次函数 交于 A、B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 y (1 m) x2 (4 m) x 3 的图象与 x 轴 x 轴翻折， 图象的其他部分保持不变， 获得 一个新的图象．请你联合这个新的图象回答：当直线 时，求出 k 的值（只要要求出两个知足题意的 y kx 3 与此图象恰巧有三个公共点 k 值即可）． 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 23.解：（ 1） (4 m) 2 12(1 m) 2 (m 2 )．⋯⋯ 2 分 由 意得， (m 2)2 ＞ 0 且 1 m 0 ． ∴ 符 合 意 的 m 的 取 范 是 m 2且 m 1的 全部 数． ⋯⋯ 3 分 （ 2）∵ 正整数 m 足 8 2m 2 ， ∴ m 可取的 1 和 2 ． 又∵ 二次函数 y (1 m) x2 (4 m) x 3 ， ∴ m =2． ⋯⋯ 4 分 ∴ 二次函数 y - x2 2x 3 ． ∴ A 点、 B 点的坐 分 （ -1,0）、（ 3,0）． 依 意翻折后的 象如 所示． 由 象可知切合 意的直 y kx 3 点 A、 B． 可求出此 k 的 分 3 或 -1 ．⋯⋯ 7 分 注：若学生利用直 与抛物 相切求出 k=2 也是切合 意的答案． 2.（海淀 23）已知抛物 y (m 1)x2 (m 2) x 1 与 x 交于 A、 B 两点． （ 1）求 m 的取 范 ； （ 2）若 m>1, 且点 A 在点 B 的左 ， OA : OB=1 : 3, 确立抛物 的分析式； （3） （ 2）中抛物 与 y 的交点 C， 点 C 作直 l //x , 将抛物 在 y 左 的部分沿直 l 翻折 , 抛物 的其他部分保持不 ，获得一个新 象 . 你 合新 象回答 1 )且 y当直 yx b 与新 象只有一个公共点 P( x0, y00 7 , 求 b 的取 范 . 3 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 -4 版权全部 @新世纪教育网 -5 : 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 23. 解：（ 1）∵ 抛物 y (m 1)x 2 ( m 2) x 1 与 x 交于 A、 B 两点， ì ① ??m - 1 ? 0, ∴ í ? 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 ② ?D = ( m - 2) + 4( m- 1) > 0. 由 ① 得 m 1 1 ， 由 ② 得 m 1 0 ， ∴ m 的取 范 是 m 1 0 且 m 1 1 ． ⋯⋯⋯⋯ 2 分 （ 2）∵ 点 A、 B 是抛物 y (m 1)x2 (m 2) x 1 与 x 的交点， ∴ 令 y 0 ，即 (m 1)x2 ( m 2) x 1 0 ． 解得 x1 1 ， x2 1 ． m 1 ∵ m 1，∴ 1 m 1 0 1. ∵ 点 A在点 B左 ， ∴ 点 A的坐 ( 1,0) ，点 B 的坐 (1 ,0) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 m 1 ∴ OA= 1，OB= 1 m ． 1 ∵ OA : OB=1 : 3， ∴ 1 3 . ∴ m 1 m= 4 ． 3 ∴ 抛物 的分析式 y 1 x2 2 x 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 3 3 （ 3）∵ 点 C 是抛物 y 1 3 x2 2 3 x 1 与 y 的交点， ∴ 点 C 的坐 (0,- 1). 依 意翻折后的 象如 所示． 令 y 7 ，即 1 x 2 2 x 1 7 ． 3 3 解得 x1 6 , x2 4 ． ∴ 新 象 点 D (6,7) . 当直 y 1 x b D 点 ，可得 b 5 . 3 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 当直 y 1 x bC 点 ，可得 b 3 1 ． y 8 7 6 D 当直 y 1 x b(b 3 1) 与函数 y 1 x2 3 2 x 1(x 3 0) 5 4 3 的 象 有一个公共点 P(x0, y0) ，得 1 3 x0 b 1 x0 2 2 3 x0 1 . 2 1 A -4 -3 -2 -1 O 1 2 -1C -2 -3 -4 -5 B 34567 x l 2 3 3x0 3b 整理得 x0 3 0. 2 由D=(-3) - 4(- 3b - 3) = 12b+ 21 = 0 ，得 b 7 4 -6 ． -7 合 象可知，切合 意的 b 的取 范 1 b 5或 b < - 7 4 -8 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 通州 22．已知对于 x 的方程 mx2 (3m 1)x (3m 1)x 2m 2 0 （ 1）求 ：无 m 取任何 数 ，方程恒有 数根. （ 2）若对于 x 的二次函数 y mx2 2m 2 的 象 坐 原点（ 0,0），求 抛物 的分析式 . （ 3）在直角坐 系 xoy 中，画出（ 2）中的函数 象， 合 象回答 ： 当直 y b 的取 范 . x b 与（ 2）中的函数 象只有两个交点 ，求 22. . 解：（ 1）分两种状况 . ① 当 m ②当 m 0 ，方程 x 2 0 x 2 ，方程有 数根 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 0 ， 一元二次方程的根的判 式 2 .(1 分) 3m 1 2 4m 2m 2 9m2 6m 1 8m2 8m m2 2m 1 ＝ m 1 ≥ 0 不 m 何 数， ≥ 0 建立， 方程恒有 数根 合①、②可知 方程 mx2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(2 分) m 取任何 数， 1 x 2m 2 3m 0 恒有 数根 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(3 分) 1)x 2m 2 的 象与 （ 0,0） （2） 二次函数 y mx2 (3m 2m 2 m 1 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(4 分) .(5 分) 二次函数分析式 ： （3）在（ 2）条件下，直 y x2 2x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ y x b 与二次函数 象只有两个交点， 合 象可知 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 y 1 x2 2x x b 当 y1 y ， y 得 x2 3x b 0 由9 4b 0 得 b 9 4 b 9 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(6 分) 上所述可知：当 ， . ⋯⋯⋯⋯ .(7 分 ) 4 直 y x b 与（ 2）中的 象有两个交点 23. （延 ） 已知 :对于 x 的一元二次方程 mx 2 - 2m （ 2 x m - 1 0 ） (1) 若此方程有 根 ,求 m 的取 范 ; (2) 在 (1)的条件下 ,且 m 取最小的整数 ,求此 方程的两个根 ; (3) 在 (2)的前提下 ,二次函数 y mx 2 （-2m 的 段 ,并以 条 段 直径在 2）x m - 1 与 x 有两个交点 P, 直 l , 接 两点 y=x+b,若直 l x 的上方作半 的分析式 2 与半 P 只有两个交点 ,求出 b 的取 范 . 23. （ 1）解：∵对于 x 的一元二次方程有 根 解得 m≥ - ∴ m≠ 0，且△≥ 0⋯..1 分 ∴△ =（ 2m+2） 2-4m（ m-1）=12m+4≥ 0 1 3 3 ∴当 m≥ - 1 ，且 m≠ 0 此方程有 根 ,⋯⋯ ..2 分 C E D （ 2）解：∵在 (1)的条件下 ,当 m 取最小的整数 , ∴ m=1⋯⋯⋯⋯ ..3 分 ∴原方程化 ： x2-4x=0 x（ x-4 ） =0 （ 3）解：如 所示：①当直 O 2 P A 5 x1=0，x2=4 ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯ ..4 分 l 原点 O 与半 P 有两个交点，即 4 b=0 ⋯⋯⋯ 5 分 ②当直 l 与半 P 相切于 D 点 有一个交点， 如 由 意可得 直角三角形， Rt △ EDP、Rt △ ECO是等腰 ∵DP=2 ∴OC= 2 2-2 ∴当 0≤ b＜ 2 ∴EP= 2 即 b= 2 2 ⋯⋯⋯⋯ .6 分 2 - 2 2 - 2 ，直 l 与半 P 只有两个交点。 ⋯⋯⋯⋯ ..7 分 旭日 22．已知二次函数 y x2 2x c ． （ 1）当 c＝－ 3 ，求出 二次函数的 象与 x 的交点坐 ； 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 （ 2）若－ 2＜ x＜ 1 ， 二次函数的 象与 22. 解：（ 1）由 意，得 y 当 y 0 ， x2 解得 x1 ∴ 二次函数的 象与 （ 2）抛物 y x 有且只有一个交点，求 c 的取 范 ． x 2 2x 3 . 2x 3 0 . 3 ， x2 1 . x 的交点坐 （－ 3,0），（ 1，0）⋯⋯⋯ 2 分 x2 2x c 的 称 x 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x 只有一个交点， 交点 （－ 1，0）. 4 分 3 分 ① 若抛物 与 有 0 1 2 c ，解得 c 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ y ≤ 0， 0 ， ② 若抛物 与 x 有两个交点，且 足 意， 有 当 x 2 ， 1 ， y ∴ 4 4 c ≤ 0，解得 c ≤ 0. 当 x ∴ 1 ∴ 2 c 0 ，解得 c 1或 3 3 . c ≤ 0. 3 c ≤ 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 上所述， c 的取 范 是 c 利用反比率函数的性 剖析 23．（石景山）已知：直 y 1 2 x 2 分 与 x 、 y 交于点 A、点 B，点 P（ a ， b）在 直 AB 上，点 P 对于 y 的 称点 P′在反比率函数 y k x 象上． (1) 当 a=1 ，求反比率函数 y k 的分析式； x (2) 直 AB 与 段 P'O 的交点 C．当 P'C =2 CO ，求 b 的 ； (3) 点 A 作 AD//y 交反比率函数 象于点 D ，若 AD = ，求 △P’DO 的面 ． b 2 解： y O x 用 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 23．（ 1）∵点 P 在直 AB 上 , a b 1 1 2 = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 2 2 5 1 ， ∴ P(1,) ， 5 2 ∴ P ( 1, ) ，代入 y 5 ∴ y 2 5 k 得 k x 5 ， 2 2 分 2x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ y （ 2） PP' ∵点 P 和点 P 对于 y 称 'P B P ∴ PP' ∥ x D C O ∴ △ PP'C ∽△ OCA ∴ PP' ∶ OA ∵P' C ∵ y A P' C∶ CO ⋯⋯⋯⋯ 3分 x 2CO ∴ PP' = 2OA 1 x 2 与 x 交于点 A 、点 B 2 ∴ A( 4,0) ， B(0,2) 可得OA 4 ∴ PP' ∴ b 8 ∴ a =4 4 2 1 2 （ 3）当点 P 在第一象限 ： 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 ∵点 P 和点 P 对于 y 称且 P(a,b) ∴ P'( a,b) b ∵ AD ∥ y ∴ D ( -4， ) 2 k ∵ 点 P'、点 D 在 y 上 x b ∴ 4 a b 2 ∴ a 2 1 ∴ b 2 2 3 2 ∵ D( 4,), P'( 2,3) 2 3 ∴ 9 S△P'DO 2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分 D (-4， ) 当点 P 在第二象限 ： b 2 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 ∴ 4 b 2 2 1 2 a b ∴ a ∴ b (2) 2 1 ∵ D ( 4, ), P'(2,1) 2 1 3 ∴ S△P'DO 2 ⋯⋯⋯ 7 分 xOy 中， A 为第一象限内的双曲线 西城 23. 在平面直角坐标系 y k1 （k1 0 ）上一点，点 y k2 （k2 x A 的横坐标为 1，过点 A 作平行于 y 轴的直线， 与 x 轴交于点 B，与双曲线 0 ） x 交于点 C . x 轴上一点 D(m,0) 位于直线 AC 右边， AD 的中点为 E. (1) 当 m=4 时，求△ ACD 的面积（用含 k1 ， k2 的代数 式表示）； (2) 若点 E 恰幸亏双曲线 y k1 x （k1 0）上，求 m 的值； (3) 设线段 EB 的延伸线与 y 轴的负半轴交于点 F，当点 D 的坐标为 D (2,0) 时，若△ BDF 的面积为 1， 且 CF∥ AD ，求 k1 的值，并直接写出线段 CF 的长 . 23．解： (1)由题意得 A，C 两点的坐标分别为 A(1,k1 ) ， C (1,k2 ) ．（如图 6） ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ∵ k1 0， k2 0 ， 1 分 ∴ 点 A 在第一象限，点 C 在第四象限， 当 m=4 时， S ACD 1 2 AC BD y 3 2 AC k1 k2 ． (k1 k2 ) ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2 分 y 1 y A（ 1,k ） A（1,k1） E k1 y= x OBGD A（1,k1 ） E B D O B k1 y= x D y= k2 k1 y= x k2 x x x O x y= k2 x F y= x C（1,k2） C（ 1,k2） C（ 1,k2 ） 图 6 图 7 图 8 (2) 作 EG⊥ x 轴于点 G．（如图 7） ∵ EG∥ AB，AD 的中点为 E， ∴ △DEG ∽△ DAB ， EGAB DG DE DB DA 1 2 ，G 为 BD 的中点． 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 ∵ A， B，D 三点的坐标分别为 ∴ EG AB 2 k1A(1,k1 ) ， B(1,0) ， D (m,0) ， ， BG BD 2 2 m 1 2 ， OG OB ∴ 点 E 的坐标为 E( m 1 , k1 2 ) ． BG m 1 ． 2 2 ∵ 点 E 恰幸亏双曲线 ∴ m y k1 上， x ∵ k1 1 k1 k1 ．①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2 2 0 ， 3 分 ∴ 方程①可化为 m 当点 (3) 的坐标为 D(2,0) 时，由 1 1 ，解得 m 4 可知点 (2) 3 ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 4 分 的坐标为 E D 3 k1 ．（如图 ） E( , ) 8 2 2 ∵ SBDF ∴ SBDF 1 ， 1 BD OF 1 OF 1 ． 2 2 ∴ OF 2 ． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5 分 设直线 BE 的分析式为 y ∵ 点 B，点 E 的坐标分别为 ax b （ a≠0）． 3k1 B(1,0) ， E( , ) ， 2 2 a b 3a b 2 0, ∴ k1 . 2 解得 a k1 ， b k1 ． ∴ 直线 BE 的分析式为 y k1 x k1 ． k1 ． 6 分 ∵ 线段 EB 的延伸线与 y 轴的负半轴交于点 ∴ 点 F 的坐标为 F (0, k1 ) ， OF F ， k1 0 ， ∴ k1 2 ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线段 CF 的长为 5 ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7 分 丰台 23．已知对于 x 的一元二次方程 求 k 的取值范围； （2）假如抛物线 y x2 4x 2(k 1) 0 有两个不相等的实数根．（ 1） x2 4x 2(k 1) 与 x 轴的两个交点的横坐标 为整数，求正整数 k 的值； y 5 （3）直线 y=x 与（ 2）中的抛物线在第一象限内的交点为点 C，点 P 是射线 OC 上的一个动点 （点 P 不与点 O、点 C 重合），过点 P 作垂直于 x 轴的直线，交抛物线于点 4 3 2 M，点 Q 在直线 PC 上， 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 1 2 3 –2–1 –1 版权全部 新世纪教育网 @ –2 –3 –4 O 1 4 5 x 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 距离点 P 2 个 位 度， 点 P 的横坐 t，△ PMQ 的面 S，求出 S 与 t 之 的函数关系式． 23．解：（ 1）由 意得△ >0． ∴△ =( 4)2 4[2( k 1)] 8k 24 0 ． ⋯⋯ 1 分 3．⋯⋯ 2分 （2）∵ k 3且 k 正整数，∴ k 当 k 1 ， 当 k 2 ， y ∴解得 k 1或 2．⋯⋯3 分 x 0 交于点（ y x 2 4x 0 ，与 4 0 ，）、（， ），切合 意； x 2 1 4x 2 ，与 x 的交点不是整数点，故舍去． ．⋯⋯4 分 上所述， k （3）∵ y y x, 2 x ， 4x ∴点 C 的坐 是（ 5， 5）．∴ OC 与 x 的 角 45°． 点 Q 作 QN⊥PM 于点 N ，（注：点 Q 在射 PC 上 ， 果一 ，因此只写一种 状况即可） ∴∠ NQP=45 °， S 1 2 2 PM NQ ． 2 2 ∵ PQ= 2 ，∴ NQ=1． （ M ∵ （ t, t ）， P ∴ S t , t 4t ），∴ PM = t (t 4t ) t 5t ． ⋯⋯ 5 分 1 2 t 2 5t ． ∴当 0 t 5 ， S 1 t 2 2 5 2 t ； ⋯⋯ 6 分 当 t 5 ， S 1 t 2 2 5 t ． ⋯⋯ 7 分 2 23．（ ）如 ，直 x 、 y 交于 A、 B 两点， P 段 AB 第一象限，分 与 AB 上随意一点（不与 A、 B 重合）， 点 P 分 向 x 、 y 作垂 ，垂足分 D． OC=x ，四 形 OCPD 的面 S． （ 1）若已知 A（ 4， 0）， B（ 0， 6），求 S 与 x 之 的函数关系式； （ 2）若已知 A（ a，0），B（ 0，b），且当 x= ， S 有最大 ，求直 AB 的分析式； C、 39 4 8 （ 3）在（ 2）的条件下，在直 AB 上有一点 M，且点 M 到 x 、 y 的距离相等，点 N 在 M 点的反比率函数 象上，且 △ OAN 是直角三角形，求点 N 的坐 ． 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 y 23．解：（ 1） 直 AB 的分析式 y kx b ， B 由 A（ 4， 0）， B（ 0，6），得 D P 4k b b 0, 6. 3 2 解得 k 3 , 2 OC b 6. x A x ∴直 AB 的分析式 y 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 3 x 6) ． 2 ∵ OC=x ，∴ P(x , ∴ S x( 3 x 6) ． 2 3 x2 6x （ 0< x <4）⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 （ 2） 直 AB 的分析式 y mx n ， ∵ OC=x ，∴ P(x , mx n) ． 即 S ∴ S 2 分 mx2 nx ． ∵当 x= ， S 有最大 3 4 9 ， 8 ∴ 3 , n 2m 4 9 3 m n. 9 解得 m n 2, 3. 16 4 8 ∴直 AB 的分析式 y ∴A（ ， 0）， B（0，3）． 3 2x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 即 a 2 3 2 ， b 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 （ 3） 点 M 的坐 （ xM ， yM ），由点 M 在 （ 2）中的直 AB 上， ∴ yM2xM 3 ． ∵点 M 到 x 、 y 的距离相等， ∴ x M y 或 x M M y ． M 当 xM yM ， M 点的坐 （ 1， 1）． M 点的反比率函数的分析式 y 1 x ． ∵点 N 在 y 1 x 的 象上， OA 在 x 上，且 △ OAN 是直角三角形， ∴点 N 的坐 3 , 2 3 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 当 xM yM ， M 点的坐 （ 3， - 3）， y M 点的反比率函数的分析式 9 x ． ∵点 N 在 y 9 x 的 象上， OA 在 x 上，且 △ OAN 是直角三角形， ∴点 N 的坐 3 , 2 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 上，点 N 的坐 3 , 2 2 3 或 , 3 6 ． 2 大 24．已知二次函数 （1）假如用含 析式； y=ax 2+bx+ 2，它的 像 点（ ； 1， 2）． a 的代数式表示 b，那么 b= （ 2）如 所示，假如 像与 x 的一个交点 （－ 1， 0）．①求二次函数的分 ②在平面直角坐 系中，假如点 P 到 x 的距离与点 P 到 y 的距离相等， 称点 P 等 距点．求出 个二次函数 像上全部等距点的坐 ． （3）当 a 取 a1, a2 ，二次函数 像与 果点 N 在点 M 的右 ，且点 明原因 . 24．解：（ 1） x 正半 分 交于点 M（ m，0），点 N（ n，0）．如 M 和点 N 都在点（ 1，0）的右 ． 比 a1 和 a2 的大小，并 1 分 a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ y ax2 （2）①∵二次函数 a b 2 a b 2 a b 1 2 0 1 bx c 点（ 1， 2）和（－ 1， 0） 解，得 即 y x2 x 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ② 函数 像上等距点的坐 即 此函数与函数 x2 y1 x 和函数 y2 x 的交点坐 y x 2 ， y y x y x 2 x 2 x 解得 P1（ 2, P3（ 1 (3) 2） P2（ 2, 2） 3, 3 3 , 1 3 ） P4（1 1 ） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 M（ m,0）且 a ∵二次函数与 x 正半 交于点 b 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 当 a= a1 ∴ a1m2 a1m 2 0 ∴a1 2 m m2 a 2 n20 同理 a 2 n 2 a 2 2 n n2 a1 ∴ a2 2 n n 2 2 m m 2 2(m n)(1 m n) mn(1 m)(1 n) ∵ n ∴ a m 1 a 1 2( m n)(1 m n) 0 2 mn(1 m)(1 n) ∴ a 1 a 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 密云 23．已知对于 x 的方程 （1）若此方程有一个根 （ 2）若 于任何 数 23．（本小 分 解： （ 1）∵ 方程 x2 2ax a 2b 0 ，此中 a、b 数． 2 a（ a ＜ 0），判断 a 与 b 的大小关系并 明原因； a 7 分） ，此方程都有 数根，求 b 的取 范 ． x2 2ax a 4a2 a 2b 0 有一个根 2a ， ∴ 4a2 2b 0 ．整理，得 ∵ a 0 ， ∴ a a b a ． 2 ，即 a b ． ------------------3 分 2 （2） 4a2 4( a 2b) 4a2 4a 8b 2 ． a， ∵ 于任何 数 ∴ 于任何 数 此方程都有 数根， 都有 2 a ， 4a ∴ 于任何 数 a，都有 b≤ 2 a 4a 8b ≥ 0 ，即 a a ． 2 a 2b ≥0． ∵ a2 a 1 (a 1)21， 2 2 2 2 当 a 1 ， a2 a 8 有最小 1 ． 2 b≤ ∴ b 的取 范 是 1 8 --------------------7 分 8 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案 新世纪教育网 精选资料 版权全部 @新世纪教育网 新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权全部 @新世纪教育网 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容