某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 文（含
解析）
一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）. 1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|
＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．已知双曲线
﹣
＝1的渐近线方程为（ ）
A．9x±4y＝0B．4x±9y＝0C．2x±3y＝0D．3x±2y＝0 3．a+b＞6是
的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．已知命题p：∃x∈R，x3
+1＝0，则￢p（ ） A．∃x∈R，x3+1≠0B．∀x∈R，x3+1＝0 C．∀x∈R，x3
+1≠0D．∃x∈R，x3
+1＝0 5．f（x）＝
，则f（f（﹣3））＝（ A．7B．8C．7+ln2D．9
6．曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为（ A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝0
7．函数y＝（ex+e﹣x）sinx的部分图象大致为（ ）
A．B．
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）
） word
C．D．
8．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为
，过
点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为（ ） A．
+
＝1B．
C．D．
2
2
9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x+y＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
10．若圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0上存在两点关于直线2ax+by+6＝0对称，则过圆C外一点（a，
b）向圆C所作的切线长的最小值是（ ）
A．
B．2C．3D．4
，若存在b∈[1，e]（e为自然对数的底数），使得f11．设函数
（f（b））＝b，则实数a的取值X围是（ ） A．
B．
C．
D．
12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B两点，
C、D两点分别为A、B两点在直线l上的射影，而且|AF|＝3|BF|，M为线段AB的中点．则
下列命题（ ） ①∠CFD＝90°；
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word
②△CMD等腰直角三角形； ③直线AB的斜率为
；
④△AOB的面积为4（O为坐标原点）． 其中正确的命题个数为（ ） A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知复数1+2i和3﹣4i在复平面上对应的向量分别是应的复数z＝．
14．函数y＝x3﹣3x+c（c＞0）的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c＝． 15．已知双曲线
的左顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
，
，则线段AB的中点C对
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝120°，则C的离心率为 ． 16．已知椭圆
的一个顶点为B（0，﹣4），直线l交椭圆于M，N两点，如
果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知抛物线C：x2＝8y的弦AB经过它的焦点F，且|AB|＝16．求直线AB的方程． 18．已知函数
．
（1）求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）在19．已知直线l的参数方程是
的最值．
（t为参数，0≤α＜π），以平面直角坐标系
的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．设直线l和曲线C交于A，B两点． （1）求α＝
，|AB|的值及曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（1，1），求||PA|﹣|PB||的最大值．
20．在抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，上级主管部门提出了“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的关系，对某班每个学生一学期的数学测试成绩和线上学习时间进行跟踪调查，得到成绩的频率分
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word
布直方图（每个学生取一学期的平均成绩，每个分组包含左端点不含右端点）和2×2列联表：
分数不少分数不足于110分 110分
每周线上学习时间不少于5
小时
每周线上学习时间不足5
小时 合计
50 合计
a 5 30
c d
（1）根据频率分布直方图，估计该班数学成绩的平均分和中位数；
（2）求2×2列联表中a，c，d的值，并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”？参考公式和数据
P（K2≥k）
k
K2＝
．
21．已知椭圆
（1）求椭圆C的标准方程；
，点A（﹣2，0），都在C上．
（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，若直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，设直线AM的斜率为，求四边形AMBN面积． 22．已知函数
．
（1）a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
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（2）若f（x）+1＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）. 1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|
＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}， ∴A∩B＝{x|2＜x≤3}． 故选：A． 2．已知双曲线
﹣
＝1的渐近线方程为（ ）
A．9x±4y＝0B．4x±9y＝0C．2x±3y＝0D．3x±2y＝0 解：双曲线故选：D． 3．a+b＞6是
的（ ） ﹣
＝1的渐近线方程为：3x±2y＝0．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解：由a+b＞6不一定得到
，
反之，由，能够得到a+b＞6．
∴a+b＞6是故选：B．
的必要不充分条件．
4．已知命题p：∃x∈R，x3+1＝0，则￢p（ ） A．∃x∈R，x3+1≠0B．∀x∈R，x3+1＝0
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C．∀x∈R，x+1≠0D．∃x∈R，x+1＝0
解：由含有量词的命题的否定方法，即先改变量词，然后再否定结论， 所以命题p：∃x∈R，x+1＝0， 则￢p：∀x∈R，x3+1≠0． 故选：C． 5．f（x）＝
A．7B．8C．7+ln2D．9 解：根据题意，f（x）＝
，
，则f（f（﹣3））＝（ ）
3
33
则f（﹣3）＝log24＝2，f[f（﹣3）]＝f（2）＝23＝8， 故选：B．
6．曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为（ ） A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝0
解：由y＝2sinx+cosx，得y′＝2cosx﹣sinx， ∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，
∴曲线y＝2sinx+cosx在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π）， 即2x+y﹣2π+1＝0． 故选：C．
7．函数y＝（ex+e﹣x）sinx的部分图象大致为（ ）
A．B．
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word
C．D．
解：函数f（﹣x）＝﹣（ex+e﹣x）sinx＝﹣f（x），图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，
当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除A， 故选：C．
8．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为
，过
点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为（ ） A．
+
＝1B．
C．D．
解：因为焦点F1，F2在y轴上， 所以设椭圆的方程为
+
＝1（a＞b＞0），
由题意可得＝2a•2b，
所以S＝abπ， 所以4
π＝abπ，
①，
所以ab＝4
因为△F2AB的周长为16， 所以4a＝16，解得a＝4， 代入①，解得b＝所以椭圆的方程为故选：A．
9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．曲
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， +
＝1，
word
线C上任意一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．
2
2
D．2
解：曲线C：x+y＝1+|x|y （如图）， 曲线C上任意一点（x，y）到原点的距离为
2
，
当x＝0时，代入曲线可得y＝1，∴y＝±1，任意一点（x，y）到原点的距离为＝1．
当x＞0时，由x+y＝1+xy，可得x+y﹣1＝xy≤
2
2
2
2
，（当x＝y时取等），
∴x+y≤2，∴任意一点（x，y）到原点的距离为即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过
，
22
≤，
根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过故曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为故选：B．
，
，
10．若圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0上存在两点关于直线2ax+by+6＝0对称，则过圆C外一点（a，
b）向圆C所作的切线长的最小值是（ ）
A．
B．2C．3D．4
解：根据题意，设M（a，b），过点M的切线长为l，
圆C：x+y﹣2x+4y+3＝0化为（x﹣1）+（y+2）＝2，圆的圆心坐标为（1，﹣2）半径为
，
2
2
2
2
若圆C上存在两点关于直线2ax+by+6＝0对称，所以（1，﹣2）在直线2ax+by+6＝0上，可得2a﹣2b+6＝0， 即a＝b﹣3， 则|MC|＝则切线长l＝
＝
＝
， 8 / 17
＝
，
word
当b＝1时，切线长取得最小值，l＝故选：D． 11．设函数
＝4；
，若存在b∈[1，e]（e为自然对数的底数），使得f（f（b））＝b，则实数a的取值X围是（ ） A．
B．
C．
D．
解：由f（f（b））＝b，可得f（b）＝f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数， 所以命题“存在b∈[1，e]使得f（f（b））＝b成立” 转化为“存在b∈[1，e]，使得f（b）＝f（b）“
即y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]， 所以y＝f（x）的图象与函数y＝f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y＝x上， 由此可得，y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]， 令lnx+x﹣a＝x，则方程在[1，e]上一定有解， 所以a＝lnx﹣x， 设g（x）＝lnx﹣x，
﹣1
g′（x）＝﹣＝
所以在[1，2]上为增函数，在[2，e]上为减函数， 所以g（x）≤g（2）＝ln2﹣1， 又g（1）＝﹣，g（e）＝1﹣， 所以实数a的取值X围为[﹣，ln2﹣1]． 故选：C．
12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B两点，
C、D两点分别为A、B两点在直线l上的射影，而且|AF|＝3|BF|，M为线段AB的中点．则
下列命题（ ） ①∠CFD＝90°；
②△CMD等腰直角三角形； ③直线AB的斜率为
；
④△AOB的面积为4（O为坐标原点）．
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其中正确的命题个数为（ ） A．1B．2C．3D．4
解：不妨设A在第一象限，如图作BH⊥AC于H， 记|BF|＝a，则|AH|＝2a，|AB|＝4a，故∠HAB＝60°， 故直线AB的斜率为tan60°＝
，
，故③正确；
同理，当A在第四象限时，直线AB的斜率为﹣
AB：y＝A（3，2
（x﹣1），与y＝4x联立解得， ），B（，﹣
），
，故④错误； ），F（1，0），M（，
），
＝（，﹣
）， ），
＝（，
），
2
故S△AOB＝×|OF|×|yA﹣yB|＝
C（﹣1，2），D（﹣1，﹣
），
××＝（2，
＝（2，﹣2••
＝2×2﹣2＝×﹣
＝0，故∠CFD＝90°，故①正确， ＝
≠0，故②错误，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知复数1+2i和3﹣4i在复平面上对应的向量分别是应的复数z＝ 2﹣i．
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，
，则线段AB的中点C对
word
解：∵复数1+2i和3﹣4i在复平面上对应的向量分别是，，
∴A（1，2），B（3，﹣4），∴AB中点C坐标为（2，﹣1）， 对应复数z＝2﹣i． 故答案为：2﹣i．
14．函数y＝x3﹣3x+c（c＞0）的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c＝ 2 ． 解：求导函数可得y′＝3x﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x＝﹣1处取得极大值，在x＝1处取得极小值， ∵函数y＝﹣x3+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0， ∴﹣1+3+c＝0或1﹣3+c＝0， ∴c＝﹣2或2． 故答案为：2． 15．已知双曲线
的左顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
2
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝120°，则C的离心率为 2 ． 解：双曲线
的左顶点为A（﹣a，0），
以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 当∠MAN＝1200°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bsin30°＝
．
可得＝，整理可得，
则C的离心率为2． 故答案为：2． 16．已知椭圆
的一个顶点为B（0，﹣4），直线l交椭圆于M，N两点，如
果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 6x+5y﹣28＝0 ．
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解：由椭圆，
c＝＝＝2，
得F（2，0），
设线段MN的中点Q（x0，y0）， 因为点F为△BMN的重心， 所以
＝2
，
所以（2，4）＝2（x0﹣2，y0）， 所以x0＝3，y0＝2，Q（3，2）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），
由中点坐标公式可得x1+x2＝6，y1+y2＝4， 又点M，N在椭圆上， 所以
+
＝1，
+
＝1，
两式相减得+＝0，
所以kMN＝＝﹣•＝﹣•（）＝﹣，
所以直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即6x+5y﹣28＝0， 综上，直线l的方程为6x+5y﹣28＝0． 故答案为：6x+5y﹣28＝0．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知抛物线C：x2＝8y的弦AB经过它的焦点F，且|AB|＝16．求直线AB的方程． 解：因为抛物线C：x2＝8y的焦点F（0，2），故设直线AB的方程为y＝kx+2， 联立
，可得x2﹣8kx﹣16＝0，
△＝64k2+64＞0．
x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，
|AB|＝
×
＝16，解得k＝±1，
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∴直线AB的方程为：y＝±x+2， 18．已知函数
．
（1）求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）在
的最值．
解：（1）f′（x）＝＝，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递增， 当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递减， 所以f（x）极小值＝f（1）＝．
（2）由（1）知，在（，1）上，f（x）单调递减， 在（1，2）上，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝，
因为f（）＝＝＝，f（2）＝，
所以f（x）max＝f（）＝19．已知直线l的参数方程是
．
（t为参数，0≤α＜π），以平面直角坐标系
的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．设直线l和曲线C交于A，B两点． （1）求α＝
，|AB|的值及曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（1，1），求||PA|﹣|PB||的最大值． 解：（1）α＝
时，直线l的参数方程是
2
，
由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ＝4ρcosθ， 可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0， 把x＝1代入，得y2＝3，即y＝∴|AB|＝故|AB|＝2
．
；曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．
13 / 17 ．
word
（2）把（t为参数，0≤α＜π）代入x+y﹣4x＝0，
22
整理得：t2+（2sinα﹣2cosα）t﹣2＝0． 设A、B对应的参数分别为t1，t2，
则t1+t2＝2cosα﹣2sinα，t1t2＝﹣2，可得t1，t2异号， ∴||PA|﹣|PB||＝|t1+t2|＝|2cosα﹣2sinα|＝|2∴当α＝
时，||PA|﹣|PB||取最大值为
．
sin（
）|．
20．在抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，上级主管部门提出了“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的关系，对某班每个学生一学期的数学测试成绩和线上学习时间进行跟踪调查，得到成绩的频率分布直方图（每个学生取一学期的平均成绩，每个分组包含左端点不含右端点）和2×2列联表：
分数不少分数不足于110分 110分
每周线上学习时间不少于5
小时
每周线上学习时间不足5
小时 合计
50 合计
a 5 30
c d
（1）根据频率分布直方图，估计该班数学成绩的平均分和中位数；
（2）求2×2列联表中a，c，d的值，并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”？参考公式和数据
P（K2≥k）
k
K2＝
．
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解：（1）将直方图数据整理得：
区间 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150] 中点值 频率 累计频率
85
95
105
115
125
135
145
平均数为＝85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.20+125×0.24+135×0.16+145×0.08＝117.8；
设中位数为m，m∈[110，120），则0.32+（m﹣110）×0.02＝0.5，解得m＝119． 所以，估计该班数学成绩的平均分为117.8分，中位数为119．
（2）a＝30﹣5＝25；a+c＝50×（0.2+0.24+0.16+0.08）＝34，c＝9；c+d＝20，d＝11． 列联表为：
每周线上学习时间不少于5小
时
每周线上学习时间不足5小时
合计
所以
9 34
11 16
20 50
分数不少于110分 分数不足110分
25
5
合计 30
故有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”． 21．已知椭圆
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，若直线BN的斜率等于直线AM，点A（﹣2，0），
都在C上．
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的斜率的2倍，设直线AM的斜率为，求四边形AMBN面积． 解：（1）因为点A（﹣2，0），（1，
）都在椭圆C上，
所以，解得b2＝2，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）直线AM的方程为y﹣0＝（x+2），即y＝（x+2），
联立，得或，
所以M点坐标为（，），
因为直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍， 所以直线BN的方程为y﹣0＝x﹣2，即y＝x﹣2，
联立，解得或，
所以B点坐标（，﹣），
所以S四边形AMBN＝×4×（﹣（﹣））＝22．已知函数
．
．
（1）a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）+1＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值． 解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+﹣1，
f′（x）＝﹣＝，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． （2）若f（x）+1＞0在（1，+∞）上恒成立，
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则lnx+﹣a+1＞0在（1，+∞）上恒成立， 所以xlnx+a﹣ax+x＞0在（1，+∞）上恒成立， 所以a＜令g（x）＝
在（1，+∞）上恒成立， ，x＞1
g′（x）＝
令h（x）＝x﹣lnx﹣2，
＝，
h′（x）＝1﹣＝，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0， 所以存在x0∈（3，4）满足x0﹣lnx0﹣2＝0，
所以1＜x＜x0时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x＞x0时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）min＝g（x0）＝所以a＜x0，
因为3＜x0＜4，a∈Z， 所以a的最大值为3．
＝x0，
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