三力平衡的5种模型

三力平衡的５种模型

田

丹

（）沈阳市振东初级中学　辽宁沈阳　１１００１４

（）收稿日期：２０１９－０３－２６

摘

要：共点力平衡是高中力学中的重要概念，在受力分析综合中占据重要地位．本文将借助数学几何对三力

巧妙分析三力平衡问题．平衡的５种模型进行梳理，

关键词：共点力平衡　三力平衡　模型

直角三角形　　模型一：

适用条件：三力平衡中两个力垂直．

【】例１用３根轻绳将质量为ｍ的物块悬挂在空中，如图１所示，已知绳ａｃ和ｂｃ与竖直方向的夹角，分别为３则绳ａ０°和６０°ｃ和绳ｂｃ中的拉力分别为（　　）

３１１３槡槡　　Ａ．ｍｇ　ｍｇ　　　Ｂ．ｍｇ　ｍｇ２３２２

３１１３槡槡Ｃ．ｍｇ　ｍｇ　　　Ｄ．ｍｇ　ｍｇ４２２４解析：作用在ｃ点上的３个力平衡，通过构建矢量三角形，如图２所示．

图１　例１题图

图２　例１解析用图

櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆切摩擦求Ａ和Ｂ自由滑动时的加速度各多大？

图３　考虑惯性力后分析示意图

图４　练习１题图

物体沿斜面下滑，垂直斜面方向“平衡”

【】如图５所示，练习２为斜面重合的两楔块质量均为Ｍ，ＡＢＣ及ＡＤＣ，ＡＤ，ＢＣ两面呈水平，Ｅ为质量等于ｍ的小滑块，楔块的倾角为α，各面均光滑，系统放在水平平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前Ｅ的加速度．

Ｎ＋ｍｓｉｎｃｏｓθ＝ｍθｇｇ同样可解得

Ｎ＝

Ｍｍｇｃｏｓθ２

Ｍ＋ｓｉｎθ如果可以接受惯性力概念，第三３种解法比较，

种方法反而最简单，方法更熟悉，强烈推荐．

下面两题大家可以试试引入惯性力后的威力．小试牛刀：

【】滑块Ａ质量为Ｍ斜面倾角为α，练习１置于水平面上．滑块Ｂ质量为ｍ置于Ａ的斜面上．不计一—７２—

图５　练习２题图

２０１９年１０月　　　　　　　　　　　　　　物理通报　　　　　　　　　　　　　　解题思路与技巧　　其中Ｔ１和Ｔ３垂直，Ｔ２＝ｍｇ，根据直角三角形各边关系，可得

Ｔ１＝Ｔ２ｃｏｓ　３０°Ｔ３＝Ｔ２ｓｉｎ　

３０°结论：本题中要根据题中信息构建矢量三角形，分析可得为直角三角形，再根据三角函数快速求解．

模型二：菱形

适用条件：三力平衡两力等大．

【例２】如图３所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的Ａ，Ｂ两点，绳子的质量及绳与衣架挂钩间摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态．如果保持绳子Ａ端、Ｂ端在杆上位置不变，将右侧杆平移到虚线位置（Ａ，Ｂ两绳仍为绷直状态），稳定后衣服仍处于静止状态．则（　　）

Ａ．

绳子的弹力变大Ｂ．

绳子的弹力不变Ｃ．

绳对挂钩弹力的合力变小Ｄ．

绳对挂钩弹力的合力不变图３　例２题用图

解析：作用在Ｑ点上的３个力平衡，通过构建平行四边形，如图４所示，由于绳上力相等能够形成菱形．菱形几何上两条对角线互相垂直，进而简化成直角三角形求解问题．

图４　例２解析用图

设∠ＰＱＮ＝θ，

则Ｇ２

＝Ｔｃｏｓθ所以

Ｔ＝

Ｇ２ｃｏｓθ当右侧杆平移至虚线处，θ减小，ｃｏｓθ增加，Ｔ减小，故绳子的弹力变小．由于始终保持平衡状态，故绳对挂钩弹力和衣服重力的合力始终为零．

结论：三力平衡中两个力大小相等时要优先选择平行四边形定则，构建菱形，再根据菱形几何结构分析物理问题．

模型三：正弦定理（拉密定理）

适用条件：三力角度已知．各边和它所对角的正弦值的比相等，即

ａｓｉｎ　Ａ＝ｂｓｉｎ　Ｂ＝

ｃｓｉｎ　

Ｃ【例３】如图５所示，一个重力为Ｇ的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板对

球的压力ＦＮ１和斜面对球的支持力ＦＮ２变化情况为（　　）

Ａ．ＦＮ１，ＦＮ２都是先减小后增加Ｂ．ＦＮ２一直减小，ＦＮ１先增加后减小Ｃ．ＦＮ１先减小后增加，ＦＮ２一直减小Ｄ．ＦＮ１一直减小，ＦＮ２先减小后增加

图５　例３题图

解析：作用在小球上的３个力平衡，通过构建矢量三角形发现，构建的三角形是一个普通的三角形，如图６所示．

图６　例３解析用图

但通过分析三角形角度可知：在△ＯＡＢ中，根据正弦定理可得

ＦＮ１ｓｉｎα＝Ｇｓｉｎβ＝ＦＮ２ｓ

ｉｎ（π－α－β）所以

—７３—

２０１９年１０月　　　　　　　　　　　　　　物理通报　　　　　　　　　　　　　　解题思路与技巧

ＦｓｉｎＮ１＝ＧαｓｉｎβＦｓｉｎ（Ｎ２＝Ｇα＋β）

ｓｉｎβ＝Ｇ　（ｓｉｎαｃｏｔβ＋ｃｏｓα）当β增大时，ｓｉｎβ增大，ＦＮ１先减小后增加，

ＦＮ２

一直减小．

结论：三力平衡构建的矢量三角形如不具备构

成直角三角形和菱形的基本条件，若角度均已知，可优先考虑正弦定理求解物理问题．

模型四：三角形相似

适用条件：动态变化，已知一个力的大小方向和另一个力的方向．

【例４】如图７所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的Ａ端用铰链固定，光滑轻小滑轮在Ａ点正上方，Ｂ端吊一重物Ｇ，现将绳的一端拴在杆的Ｂ端，用拉力Ｆ将Ｂ端缓缦上拉，在ＡＢ杆达到竖直前（均未断），关于绳子的拉力Ｆ和杆受的弹力ＦＮ的变化，判断正确的是（　　）

Ａ．Ｆ变大　　　　　Ｂ．Ｆ变小　　Ｃ．ＦＮ变大　　

Ｄ．ＦＮ变小

图７　例４题图

解析：作用在Ｂ点三力平衡，通过构建矢量三角形可知，如图８所示，在△ＢＰＱ动态变化的过程中始终满足△ＢＰＱ∽△ＯＢＡ，

可得ＦＯＢ＝ＦＮＡＢ＝ＧＯＡ＝常数图８　例４解析用图

—７４—

由于杆固定点和杆长度不变，ＯＡ，ＡＢ大小不变，故当用拉力Ｆ将Ｂ端缓缦上拉时，ＯＢ变短，故Ｆ变小，ＦＮ不变．

结论：三力平衡中若不能构建特殊三角形，同时一个力的大小和方向不变情况下，优先考虑相似三角形构建空间几何关系．

模型五：矢量三角形

适用条件：已知一个力的大小方向和另一个力的方向，定性判断力的大小．

【例５】将两个质量均为ｍ的小球ａ和ｂ用细线相连后，再用细线悬挂于Ｏ点，如图９所示．用力Ｆ拉小球ｂ，使两个小球都处于静止状态，且细线Ｏａ与竖直方向的夹角保持θ＝３０°

，则Ｆ达到最小值时ａ绳上的拉力为（　　）

Ａ．槡３　ｍｇ　　Ｂ．ｍｇ　　Ｃ．槡３２

ｍｇ　　Ｄ．１２

ｍｇ图９　例５题图

解析：为了研究方便，将球ａ和球ｂ看做一个整体进行分析，作用在这个整体上的三力平衡．构建矢量三角形，如图１０所示．

图１０　例５解析用图

结论：三力平衡中构建矢量三角形是最基本的分析方法，在动态分析中应用更多．

Ｏ