数列知识点总结及题型归纳---含答案(新)

数列

一、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)。

例：等差数列an2n1，anan1 题型二、等差数列的通项公式：ana1(n1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41A．15 B．30 C．31 D．64 2.{an}是首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列an2n1,bn2n1，则an为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列”） 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列Aab 2ab 即：2an1anan2 （2ananmanm） 2例：1．设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13 （ ）

A．120 B．105 C．90 D．75 2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质： （1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)； nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq； 题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn2(SnAnBnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1dn22222(A,B为常数)an是等差数列 )

递推公式：Sn

(a1an)n(aman(m1))n 22任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。 1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

例：1.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于( )

A．23112B． C. D.

3334.在等差数列an中，a1a910，则a5的值为（ ） （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a11 7.设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则S9 S58. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9=

9.设等差数列an的前n项和为sn,若a6s312,则an

10．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.，则bn= 11．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛和，求Tn。

12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050①求通项an；②若Sn=242，求n

13.在等差数列{an}中，（1）已知S848,S12168,求a1和d；（2）已知a610,S55,求a8和S8； (3)已知a3a1540,求S17

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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Sn｝的前n项n所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd； ② S奇anS； 偶an1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶aaSnn中；②奇Sn1。

偶题型七.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9= 5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3S＝1，则S6＝ 63S12A．3 B．111103 C．8 D．9

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：ad(常数）（nNn1an）an是等差数列 ②中项法：2an1anan2（nN)an是等差数列 ③通项公式法：anknb(k,b为常数)an是等差数列 ④前n项和公式法：S2nAnBn(A,B为常数)an是等差数列 例：1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为 （ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为 （ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列{a2n2n}的前n项和sn4，则数列{an}为（ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列{a}的前n项和s2nn2n，则数列{an}为（ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

6．设Sa2

n是数列{n}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

7.数列aan满足a1=8，42，且an22an1an0 （nN）

①求数列an的通项公式；

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

题型九.数列最值

（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

2（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；

可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出an中的正、负分界项，即：

an0an0若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或。 a0a0n1n11.设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ） ．．A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与*S7均为Sn的最大值 2．等差数列an中，a10，S9S12，则前 项的和最大。 3．已知数列an的通项n98n99（nN），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 4．设等差数列an的前n项和为Sn，已知 a312，S120，S130 ①求出公差d的范围， ，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，

5.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。 （1）数列{an}从哪一项开始小于0？ （2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．

6.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a10，公差d0，若S100,求数列{an}前n项和的最大值．

7.在等差数列{an}中，a125，S17S9，求Sn的最大值．

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

题型十.利用an(n1)S1求通项．

SnSn1(n2)21.设数列{an}的前n项和Snn，则a8的值为（ ）

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

22．已知数列an的前n项和Snn4n1，则

23.数列{an}的前n项和Snn1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出数列{an}的通项公式吗？

4.已知数列an中，a13，前n和Sn①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式

1(n1)(an1)1 2等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数．．．．．．列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：an1：anq(q0)。

一、递推关系与通项公式 递推关系：an1anq 通项公式：ana1qn1 推广：anamqnm 1.等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）8

2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）

A 33 B 72 C 84 D 189

3.在等比数列an中,a14,q2，则an 4.在等比数列an中,a712,q32,则a19_____. 5.在等比数列an中，a22，a554，则a8=

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：bac是成等比数列的必要而不充分条件.

1.23和23的等比中项为( )

2(A)1 (B)1 (C)1 (D)2

2.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）

A．n27nn25nn23n244 B．33 C．24 D．nn 三、等比数列的基本性质， 1.（1）若mnpq，则amanapaq(其中m,n,p,qN) （2）qnmana，a2nanmanm(nN) m（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列. 1．在等比数列a中,a2n1和a10是方程2x5x10的两个根,则a4a7( ) (A)52 (B)2112 (C)2 (D)2 2.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10（ ） A．12 B．10 C．8 D．2+log35 3.已知等比数列{an}满足an0,n1,2,，且aa2n52n52(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1（ ） A. n(2n1) B. (n1)2 C. n2 D. (n1)2 4. 在等比数列an，已知a15，a9a10100，则a18= 5.在等比数列an中，a1a633，a3a432，anan1

①求an ②若Tnlga1lga2lgan,求Tn

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

四、等比数列的前n项和，

na1(q1)Sna1(1qn)a(q1)

1anq1q1q例：

1．设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于（ ）

A．27(8n1) B．2n12n32n47(81) C．7(81) D．7(81)

2.已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn 3.已知等比数列{a1n}的首相a15，公比q2，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和Sn 4．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 . 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已a26,6a1a330，求an和Sn

6．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

五. 等比数列的前n项和的性质 若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列. 1设等比数列{ aS6S9n}的前n 项和为Sn，若 S=3 ，则 3S =( ) 6A. 2 B. 783 C. 3 D.3 2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（ ）

A．83 B．108 C．75 D．63

3.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m 4.等比数列的判定法 （1）定义法：

an1aq（常数）an为等比数列； n任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

（2）中项法：an1anan22(an0)an为等比数列；

n（3）通项公式法：ankq(k,q为常数）an为等比数列； nan为等比数列。 （4）前n项和法：Snk(1q)（k,q为常数）Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。

n例：1.已知数列{an}的通项为an2，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}满足an1anan22(an0)，则数列{an}为 （ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 n13.已知一个数列{an}的前n项和sn22，则数列{an}为（ ） A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

5.利用an(n1)S1求通项． SnSn1(n2)1Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通3例：1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1项公式．

*2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5(nN)，证明数列an1是等比数列．

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。 8