专题07 求二次函数的最值(原卷版)

考纲要求:

1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。

2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。

基础知识回顾: 二次函数的图象和性质

yyxO图象 xOy=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 开口 对称轴 二次函数的图象和性质 顶点坐标 当x>增减性 向上 向下 x＝ b 2ab4acb2, 2a4abb时，y随x的增大而当x>2a时， y随x的增大而减2ab2a增大；当x＜增大而减小. 时，y随x的小；当x＜而增大. b时，y随x的增大2a4acb2by最小＝. 最值 x=4a2a，4acb2bx=y最大＝. 4a2a，应用举例:

招数一、利用二次函数的图像和性质，用最值的公式解决最值问题问题 ． 【例1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是________．

【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2

招数二、解决与二次函数的增减性有关的最之问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论，不限定自变量的取值范围求最值．

【例3】如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．

【例4】如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点

B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；

招数三、二次函数的最值一定要结合实际问题中自变量的取值范围确定，即限定自变量的取值范围求最值．

【例5】当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值

为（ ） A．2 B．2或

C．2或

或

D．2或

或

招数四、由函数的最大值，确定的自变量的取值范围。

【例6】二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

x y＝ax2+bx+c … … ﹣2 ﹣1 0 ﹣2 1 ﹣2 2 … … t m n 且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：

①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜其中，正确结论的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

．

方法、规律归纳:

一、二次函数最值的方法与技巧：

1、若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值或最小值。 2、若自变量的取值范围是x1xx2，若-bb在自变量的取值范围内，则当x=-时，

2a2a4acb2by=是其中的一个最值。另一个最值在xx1或xx2处取得。若不在自变量的取

4a2a值范围内，则函数的最值即为函数在xx1，xx2时的函数值，且较大的为最大值，较小的为最小值，最大值和最小值是同时存在的。 二、解决最值应用题要注意两点

①设未知数，在 “当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在 自变量的取值范围内.

实战演练:

1.已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是________．

2.如图所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )

A．当点C是AB的中点时，S最小 B．当点C是AB的中点时，S最大

C．当点C为AB的三等分点时，S最小 D．当点C为AB的三等分点时，S最大

3.抛物线yax2bxc(a，b，c是常数），a0，顶点坐标为(，m)，给出下列结论：①若点(n,y1)与(2n，y2)在该抛物线上，当n时，则y1y2；②关于x的一元二次方程

ax2bxcm10无实数解，那么( )

123212A．①正确，②正确 误，②错误 4.抛物线

B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错

与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是

线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E； （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；

（3）求当ΔPAE为直角三角形时点P的坐标.

5.一次函数ykx4与二次函数yax2c的图象的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点 （1）求k，a，c的值；

（2）过点A(0，m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数yax2c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记WOA2BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．

6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；

7.如图，过抛物线

上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，

已知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结BD，则线段BD的最小值为______.

8.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

9.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元

/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

10.为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝

（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． （1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．