高考数学压轴题专题训练20道

高考压轴题专题训练

1． 已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x(y1)8内切．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）设点A(a,0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d(a)；

（3）在0a1的条件下，设△POA的面积为S1（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d(a)为边长的正方形的面积为S2．若正数m满足S1mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

2． 在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，…，对每个正整数n，点Pn位

2253的图像上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn． 422（1）求点Pn的坐标； （2）设二次函数fn(x)的图像Cn以Pn为顶点，且过点Dn(0,n1)，若过

于一次函数yx111Dn且斜率为kn的直线ln与Cn只有一个公共点，求lim的值． nkkkkkk23n1n12（3）设S{xx2xn，n为正整数}，T{yy12yn，n为正整数}，等差数列an中的任一项

anST，且a1是ST中的最大数，225a10115，求an的通项公式．

5757→→

3.已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－ ,0)，D（,0)，动点P（x, y)满足AP·BP＝0，动点Q（x, y)

1212→→10

满足|QC|+|QD|＝ ⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；

3

⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；

⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。

4.已知函数f (x)＝m x2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m的取值范围；

1

⑵令t＝－m＋2，求[]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1， [2.5]＝2， [－2.5]＝－3)

t

t＋

⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝

1t

11[t][]+[t]+[]+1tt

的值域。

5.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称. （1）求双曲线C的方程；

（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂

线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，

求直线L在y轴上的截距b的取值范围. 6．已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、yR都满足：f(x)f(y)f(xy)

（1）求f(0)的值，并证明对任意的xR，都有f(x)0；

（2）设当x0时，都有f(x)f(0)，证明f(x)在,上是减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合f(S1),f(S2),,f(Sn),,f(limSn)中的最大元素和最小元素。

n7.直线xyn(nN*)与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为an，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为bn.（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求a3和b3的值； （2）求an及bn的表达式；

（3）对an个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对bn个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小． 8.已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x2的距离小1。 ⑴求证：M点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；

（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作相互垂直的弦PA,PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：

①过（1）中的抛物线的顶点O任作相互垂直的弦OA,OB，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；

②研究：对于抛物线y2px上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。 9．若函数fA(x)的定义域为A[a,b),且fA(x)(2xb2b 1)21，其中a、b为任意正实数，且aaxa （1）当A=[4,7)时，研究fA(x)的单调性（不必证明）；

（2）写出fA(x)的单调区间（不必证明），并求函数fA(x)的最小值、最大值；

2222 （3）若x1Ik[k,(k1)),x2Ik1[(k1),(k2)),其中k是正整数，对一切正整数k不等式

fIk(x1)fIk1(x2)m都有解，求m的取值范围。

10．我们把数列{an}叫做数列{an}的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。

（1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；

（2）若{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求{an}的k方数列通项公式。 （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），

S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。

k

11.记函数f(x)f1(x)，f(f(x))f2(x),它们定义域的交集为D,若对任意的

xD,f2(x)x，则称f(x)是集合M的元素.

（1）判断函数f(x)x1,g(x)2x1是否是M的元素；

x1（2）设函数f(x)loga(1a)，求f(x)的反函数f(x)，并判断f(x)是否是M的元素； （3）若f(x)x，写出f(x)M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数．．．．．．．．

类型酌情给分） ．．．．．．

12． 已知抛物线C:y22px(p0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （1）求抛物线C的方程．

（2）设直线ykxb(k0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且

|y1y2|a(a0)，M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D， 得到ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E,F， 得到ADE和BDF；按此方法继续下去．解决下列问题：

16(1kb)； 2k2).计算ABD的面积SABD；

1).求证：a23).根据ABD的面积SABD的计算结果，写出ADE,BDF的面积；请设计一种求抛物线C与 线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．

x2213.设椭圆C:2y1（a0）的两个焦点是F1(c,0)和F2(c,0)（c0），且椭圆C与圆

ay x2y2c2有公共点．（1）求a的取值范围；

（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为32，求椭圆的方程；

（3）对（2）中的椭圆C，直线l:ykxm（k0）与C交于不同的

两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A(0,1)，求实数m的取值范围． 14.我们用min{s1,s2,,sn}和max{s1,s2,,sn}分别表示实数s1,s2,,sn中的最小者和最大者． （1）设f(x)min{sinx,cosx}，g(x)max{sinx,cosx}，x[0,2]，函数f(x)的值域为A，函数g(x)的值域为B，求AB；

（2）数学课上老师提出了下面的问题：设a1，a2，…，an为实数，xR，求函数

· O F·F x f(x)a1|xx1|a2|xx2|an|xxn|（x1x2xnR）的最小值或最大值．为了

方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数f(x)|x2|3|x1||x1|和g(x)|x1|4|x1|2|x2|的最值． 学生甲得出的结论是：

[f(x)]minmin{f(2),f(1),f(1)}，且f(x)无最大值． 学生乙得出的结论是：[g(x)]maxmax{g(1),g(1),g(2)}，且g(x)无最小值．

请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；

（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 15.设向量a(x，2)，b(xn，2x1) (n为正整数)，函数yab在[0，1]上的最小值与最大值的

n1n29和为an，又数列 bn 满足： nb1n1b22bn1bn10(1) 求证：ann1． (2).求bn的表达式．

91091． 10(3) 若cn an bn，试问数列 cn 中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn  ck成立？证明你的结论．（注：a(a1，a2)与aa1，a2表示意义相同）

x2y21于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜16.、设斜率为k1的直线L交椭圆C：2率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．

x2y2（1）求k1k2的值． （2）把上述椭圆C一般化为221

abx2y2（a＞b＞０），其它条件不变，试猜想k1与k2关系(不需要证明)．请你给出在双曲线221 （a＞

ab０，b＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．

（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．

如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

urrururrr317.已知向量m(1,1),向量n与向量m夹角为，且mn1. （1）求向量n；

urrrC（2）若向量n与向量q(1,0)的夹角为,向量p(cosA,2cos2)，其中A，C为ABC的内角，且A，

22rurB，C依次成等差数列，试求求|np|的取值范围.

4y2x218. 如图，过椭圆221(ab0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x

aby 轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”． (1)求椭圆

xy21的“左特征点”M的坐标； 5M B 2A F O x (2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。

19．如图，已知圆C：(x1)2y2r2(r1)，设M为圆C与x轴左半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上。

（1）当r=2时， 求满足条件的P点的坐标； （2）当r(1,)时，求N的轨迹G方程；

（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点M,N，uuuuruuur若CMCN0，求直线l的斜率的取值范围。

20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足f(x)2f()且f(1)1，在每个区间(

x211,i1]（i1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一i22常数k的直线的一部分。

111)(i1,2,LL)的表达式（不必证明）； i22411（II）设直线xi，xi1，x轴及yf(x)的图象围成的梯形的面积为ai（i1，2……），记

22（I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f(S(k)lim(a1a2Lan)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。

n

2008年高考压轴题专题训练答案

1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分． 解（1）设动圆圆心为M(x,y)，半径为r，已知圆圆心为E(0,1)， 由题意知|MF|r，|ME|22r，于是|ME||MF|22，

y2所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为x1．

2（2）设P(x,y)，则|PA|2(xa)2y2(xa)222x2x22axa22

2(xa)22a22，令f(x)(xa)22a22，x[1,1]，所以，

当a1，即a1时f(x)在[1,1]上是减函数，f(x)maxf(1)(a1)2；

当1a1，即1a1时，f(x)在[1,a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，则f(x)maxf(a)2a22；

当a1，即a1时，f(x)在[1,1]上是增函数，f(x)maxf(1)(a1)2．

a11a,2所以，d(a)2a2,1a1 ．

1a,a1（3）当0a1时,P(a,22a2),于是S1a2(1a2),S22a22,（12分）

2a2(1a)122若正数m满足条件，则a2(1a)m(2a2)，即m，

24(a21)12a2(1a2)a2(1a2)22ta1at1， ，令，设，则，t(1,2)mf(a)22228(a1)8(a1)2(t1)(2t)1t23t212311311于是f(a)， 2228t4t4648tt8t1341所以，当，即t(1,2)时，[f(a)]max，

t4364111即m2，m．所以，m存在最小值．

64882

2．解（1）由已知xn(n1)n，ynnn，

13所以Pnn,n．

243212125434132（2）设二次函数fn(x)axnn，因为fn(x)的图像过点Dn(0,n1)，所

24132以annn1，解得a1

24ln的方程为yknxn21，代入fn(x)得x2(2n1)xn21knxn21，

22

即x2(2n1kn)x0 ①

由已知，方程①仅有一解x0，所以kn2n1，（nN）

111 limn3557(2n1)(2n1)11111111111limlim． n23n235572n12n12n16（3）由题意S{x|x2n1,n为正整数},T{y|y12n9,n为正整数}

所以lim111nkkkn1kn12k2k3所以ST中的元素组成以3为首项，12为公差的等差数列， 所以a13，an的公差为12k（kN）

若k1，则an12n9，a10111(225,115)； 若k2，则an24n21，a10219(225,115)； 若k3，则a10327，即a10(225,115)．

综上所述，an的通项公式为an24n21（n为正整数）．

x2y2

3、⑴C0：x＋y＝1， C1：25＋25＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：已

916

2

2

22xy

知C0：x2＋y2＝1和C1：a2＋b2＝1（a＞b＞0），试问，当a、 b满足什么条件时，

对C1上任意一点Q均存在以Q为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形。解得a2＋b2＝a 2b2；

111554、⑴m≤1，⑵t＝1时[t]＝1，t＞1时[t]＝0，⑶｛2｝∪[6,4)

5．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0

2∵该直线与圆 x(y2)21相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为yx …………2分

x2y2故设双曲线C的方程为221，又∵双曲线C的一个焦点为(2,0)

aa22∴2a2,a1，∴双曲线C的方程为xy1 ………4分

22（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1| 若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|

根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(2,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是

(x2)2y24(x0) ① …………8分

由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT,yT）

xT2x2,则yyT2xT2x2 即yT2y代入①并整理得点N的轨迹方程为 xy122(x2) ……10分 2（3）由ymx122得(1m)x2mx20 22xy122令f(x)(1m)x2mx2

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)0在(,0)上有两个不等实根.

02m因此021m2021m∴直线L的方程为y令x=0，得bm1,) 解得1m2 又AB中点为(221m1m1(x2) …………14分

2m2m2222mm2142

12172(m)4817(22,1) 82∵m(1,2) ∴2(m)∴故b的取值范围是(,22)(2,) …………16分

6．解：（1）f(0)f(0)f(0),f(0)0,f(0)1

f()0,f(x)f()f()[f()]0…………4分 （2）∵当x0时，都有f(x)f(0)1…………6分

∴当x1x2，即x1x20时，有f(x1x2)f(0)1，…………8分 即f(x1)f(x2)1,f(x1)x2x2x2x221f(x2) f(x2)f(x2)f(0)1

f(x2)∴f(x)在,上是减函数。…………10分

（3）∵f(x)在,上是减函数，{Sn}是递增数列∴数列f(Sn)是递减数列。…………14分

∴集合f(S1),f(S2),,f(Sn),,f(limSn)中的最大元素为f(S1)f()n12f(1)2，最小元2素为f(limSn)f(1)n1 。…………18分 27.（1）n3时，直线x0上有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)个点， 直线x1上有 (1,0),(1,1),(1,2)，直线x2上有2,0,2,1， 直线x3上有(3,0)

a31 2分

b3432110 2分

（2）n1时，b13,a10 n2时，b26,a20 当n3时，bn(n1)n(n1)...21 anbn3(n1)3(n1)(n2) 3分

2(n1)(n2) 2分

2n23n2n23n2*当n1,2 时也满足，an，bn (nN)1分

22（3）An4n23n22n23n22 ， 1分 ； 1分

Bn2An2Bnn23n2(n23n2)22n29n222965(n)2242 2分

当n1,2,3,4,5,6,7,8时，AnBn 1分

*当n9且nN时，AnBn 1分

8、（18分）（1）M到定点(1,0)的距离等于到定直线x1的距离 轨迹为抛物线； 2分 轨迹方程为y4x。 2分 （2）①设OA:ykx， OB:y21x k 由ykx44 得A(,)， 2分 22kky4x2同理B(4k,4k) 2分

44k(x4k2) 因此AB方程为y4kk424kk2 即y4k11kk(x4k2) 2分

令y0 得4k(1k)x4k2 k0） x4 直线AB必过定点Q（4， 2分

②设点P（x0，y0）为y2px上一定点，则y02px0 1分 过P作互相垂直的弦PA，PB

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12px1，y22px2， 2222y1y0y2y0yy0y2y0•1 21•1 222x1x0x2x0y1yy2y002p2p2p2p2（y1y0）（y2y0）4p2即y1y2y 化简得（）y04p20（*） 2分 0y1y2 假设AB过定点Q（a，b），则有

y1by2b x1ax2a 即

y1by2b化简得y1y2b(y1y2)2pa0（**） 2分 22y1y2aa2p2p比较（*）、（**）得a2px0， by0

过定点Q(x02p,y0) 1分

9．（1）当A[1,4)时,fA(x∵x41)27 …………2分 x4[4,5] x∴当x[1,2]时fA(x)是减函数，当x[2,4)时fA(x)是增函数 ……4分 （2）fA(x)(xb2b1)21在x[a,ab]上fA是减函数；在x[ab,b)上fA是增函axa数。 ………………6分 ∴当xab时fA(x)有最小值为

(2b2b2bbb1)21422(1)2 …………8分 aaaaab22bb24bb121(1)2 ………10分 当xa时fA(x)有最大值为()aaaaa（3）当A=Ik时fIk(x)最小值为fIk(k(k1))2 2k2 …………12分 2(k1)当A= Ik+1时fIk1(x)最小值为fIk1((k1)(k2))∴m22 (kN*) …………14分 k2(k1)222,(kN*) 22k(k1)设 t则 tmax∴m5 25 ………………16分 2332210．解：（1）S（1，2）=a1a2,S(3,2)a1a2,S(2,2)a1a2 …………2分

∴S（1，2）·S（3，2）－[S（2，2）]2

=(a1a2)(a1a2)(a1a2) …………4分 =a1a2a2a12a1a2 =a1a2(a1a2) ∵an0,2332233222S(1,2)S(3,2)[S(2,2)]2 …………5分

22（2）设anan1d,anan1p …………7分

则 d(anan1)p ……① d(an1an)p ……②

∴②－①得 2d2=0，∴d=p=0 …………9分

anan1kkanan10

kk∴ana ………………11分

（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n） …………15分 证明：[S(1,n)]S(3,n)

2

[S(1,n1)]2S(3,n1)(n2,nN*)

3相减得： an[S(1,n)S(1,n1)]an

∴[S(1,n)S(1,n1)]an

2[S(1,n1)S(1,n2)]an1 2相减得：anan1anan1,22an0

anan11,a11

∴ann ………………18分

11．解：（1）∵对任意xR，f(f(x))(x1)1x，∴f(x)x1M--2分 ∵g(g(x))2(2x1)14x3不恒等于x，∴g(x)M--------------------------4分

x （2）设yloga(1a)

①a1时，由01a1 解得：x0,y0

xx由yloga(1a) 解得其反函数为 yloga(1a)，(x0)-----------------6分

x②0a1时，由01a1 解得：x0,y0

xx解得函数yloga(1a)的反函数为yloga(1a)，(x0)--------------------8分

x∵f(f(x))loga(1aloga(1ax))loga(11ax)x

x∴f(x)loga(1a)M--------------------------------------------------------------------11分

（3）f(x)x，f(x)M的条件是：

f(x)存在反函数f1(x)，且f1(x)f(x)-----------------------------------------------13分

函数f(x)可以是：

f(x)bxck(ab0,acb2)； f(x)(k0)；

axbx2f(x)ax1ax(a0,a1)； (a0,x[0,a])； f(x)loga1axf(x)sin(arccosx),(x[0,1]或x[1,0])，f(x)cos(arcsinx)；

f(x)arcsin(cosx),(x[0,]或x[,])，f(x)arccos(sinx)．

22以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：

给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分． 属于以上同一类型的两个函数得1分； 写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分； 函数定义域或条件错误扣1分．



12．解：（1）由抛物线定义，抛物线C:y22px(p0)上点P(4,y0)到焦点的距离等于它到准线xp2p,p2， 2所以抛物线C的方程为y24x． ----------------------------------------------------------4分 （只要得到抛物线方程，都得4分）

y24x（2）由，得ky24y4b0，（或k2x2(2kb4)xb20）

ykxb当1616kb0，即kb1且k0时，

42kbb244b （或x1x2,x1x22） y1y2,y1y22kkkk1616b①由|y1y2|a，即(y1y2)24y1y2a2，得2a2，

kk16(1kb)所以a2．----------------------------------------------------------------------8分 2k2kb212②由①知，AB中点M的坐标为(2,)，点C(2,)，

kkkk11kba31．-------------------------------------12分 SABC|MC||y1y2||2|a2322k③由问题②知，ABD的面积值仅与|y1y2|a有关，由于

aa|yAyD|,|yByD|，所以ADE与BDF的面积

22a()3a3a3a3a3n12SADESBDF，设an2-------14分 n1n132328256328324由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积 看成无穷多个三角形的面积的和，即数列an的无穷项和，------------------------16分

的距离，得54a3a3a3a3a323n2222 所以S23n32328328328328a3a3a3a3a3a3即S， n323243242324324324a3因此，所求封闭图形的面积为．--------------------------------------------------------18分

24

13．解：（1）由已知，a1，

x2212y1 ∴ 方程组a有实数解，从而12ax2y2c222xc10，……（3分） 22 故c1，所以a2，即a的取值范围是[2,)．…………（4分）

（2）设椭圆上的点P(x,y)到一个焦点F2(c,0)的距离为d，

x2c222则d(xc)yx2cxc122x2cxc1

aa22222c2 2aa2xc．……………………（6分） （axa）2

a2a，∴ 当xa时，dminac，……（7分） ∵ cac32a3 于是，，解得 ．…………（9分）

22ac1c2x2y21．…………（10分） ∴ 所求椭圆方程为3 （直接给出ac32的扣3分）

ykxm222(3k1)x6mkx3(m1)0 （*） （3）由2得2x3y322 ∵ 直线l与椭圆交于不同两点， ∴ △0，即m3k1．①……（12分） 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个实数解，

m6mk3mk, ∴ x1x22，∴ 线段MN的中点为Q， 223k13k13k1 又∵ 线段MN的垂直平分线恒过点A(0,1)，∴ AQMN，

m3k211，即2m3k21 ②………………（14分） 即3mkk12 由①，②得m2m，0m2，又由②得m，

21 ∴ 实数m的取值范围是,2．…………（16分）

2

14．解（1）A1,2222B,1AB,，，∴ ．……（4分） 2222 （2）若选择学生甲的结论，则说明如下，

3x6,x2x2,2x1 f(x)，于是f(x)在区间(,2]上是减函数，在[2,1]上

5x4,1x1x13x6,是减函数，在[1,1]上是增函数，在[1,)上是增函数．……（8分）

所以函数f(x)的最小值是min{f(2),f(1),f(1)}，且函数f(x)没有最大值．（10分） 若选择学生乙的结论，则说明如下，

x1x1,3x1,1x1 g(x) ，于是g(x)在区间(,1]上是增函数，在[1,1]上是

5x9,1x2x1,x2增函数，在[1,2]上是减函数，在[2,)上是减函数．…………（8分）

所以函数g(x)的最大值是max{g(1),g(1),g(2)}，且函数g(x)没有最小值．（10 分）（3）结论：

若a1a2an0，则[f(x)]minmin{f(x1),f(x2),,f(xn)}；

若a1a2an0，则[f(x)]maxmax{f(x1),f(x2),,f(xn)}； 若a1a2an0，则[f(x)]minmin{f(x1),f(x2),,f(xn)}， [f(x)]maxmax{f(x1),f(x2),,f(xn)} （写出每个结论得1分，共3分，证明为5分） 以第一个结论为例证明如下：

∵ a1a2an0，∴ 当x(,x1]时，

f(x)(a1a2an)x(a1x1a2x2anxn)，是减函数，

当x[xn,)时，

f(x)(a1a2an)x(a1x1a2x2anxn)，是增函数

当x[x1,xn]时，函数f(x)的图像是以点(x1f(x1))，(x2,f(x2))，…，(xn,f(xn))

为端点的一系列互相连接的折线所组成，

所以有[f(x)]minmin{f(x1),f(x2),,f(xn)}．

15、 (1)证：对称轴xn40， 所以yx2(n4)x2在[0，1]上为增函数 ---2分2an(2)(n3)n1 --4分

n19(2)、解.由nb1n1b22bn1bn109n1b1n2b2bn1 = 10n2910n291，得， 1091两式相减， 109b1b2bnSn10当n1时，b1S11得当n2时，bnSnSn1n1191010n2----------------------------------8分

1当n1时即bn19n2当n2时1010 ----------------------------------- 10分

2当n1时(3)由(1)与（2）得cnanbnn19n2

当n2时1010设存在自然数k，使对nN，cnck恒成立-----------------------12分

23当n1时，c2c10c2c1

108n9当n2时，cn1cn， 当n8时，cn1cn

10010当n8时，cn1cn，当n8时，cn1cn ---------------------------14分

n2

所以存在正整数k9，使对任意正整数n，均有

c1c2c8c9c10c11 ------------------16分

16.、（解一）：（1）设直线方程为yk1xb，代入椭圆方程并整理得：

(12k1)x24k1bx2b220，-----------------------------------2分

y1y2x1x24k1b，又中点M在直线上，所以k()b，从而可得弦中点M的坐标x1x2122212k12k1b12b1k为(，，所以。-----------4分 ,)kk2122k1212k212k2xx2yy2（解二）设点A(x1,y1)、B(x2,y2)， 中点Mx0 ,y0 则x01 ,y0=122yyy2y2y1----------------------------2分 K201 K1x0x1x2x2x12x12x221yyy2y12y11与y221作差得 21又 222x2x1x2x11所以k1k2 ----------------------------------------------4分

2b2（2）对于椭圆，k1k22 ---------------------------------6分

ax2y2已知斜率为k1的直线L交双曲线221 （a＞０，b＞０）于A、B两点，点M 为弦AB的中

ab点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．

b2则k1k2的值为2． ------- -------------------- -----------------------8分

ax2y2（解一）、设直线方程为yk1xd，代入221 （a＞０，b＞０）方程并整理得：

aby1y2x1x2b2d222222222(bak1)x2k1adxadab0，， k1()d22222bak1y1y2b2b2所以k2，即k1k22 --------------------10分 2ax1x2k1a(解二）设点Ax1 ,y2 , Bx2 y2 ,中点Mx0 ,y0

y2y1y0y1y2x1x2y1y2K 则x0 2 K1 ,y0=x0x1x222x2x1x12y12x22y22又因为点A,B在双曲线上，则221与221作差得

ababb2a2y2y1y2y1k1k2 即k1k22 -----------------10分

b2x2x1x2x1a（3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mxny1（mn0）于A、B两点，点，则M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）

mk1k2．------------12分

n提出问题与解决问题满分分别为3分，提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值。

22

提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线mxny1（mn0）上一动点，设直线L交曲线于

22A、B两点，当P异于A、B两点时，如果直线PA、PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关

的定值。-----------------15分

解法1：设直线方程为ykx，A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x1,y1)，则y1kx1 把ykx代入mxny1得(mnk)x1，

2222kPAkPB(yy1)(y0y1)y0y1， 022(x0x1)(x0x1)x0x12221mx0k2222mm(mnk)xmnmnk0所以kPAkPB---------------------18分 2212nn(mnk)x0nx02mnk22提出的问题的例如： 直线L：yx，P为二次曲线mxny1（mn0）上一动点，设直线L交

0曲线于A、B两点。试问使APB30的点P是否存在？-----------------13分

22意义不大的问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线mxny1（mn0）上一动点，设直线L交

曲线于A、B两点，求PAPB的值。

2）直线L过原点，P为二次曲线mxny1（mn0）上一动点，设直线L交曲线于A、B两点，求SPAB的最值。

22rurr17.解：(1)设n(x,y),由mn1，有xy1.--------------------------------------2分

rur3mn23因为向量n与向量m夹角为，cosu rr44mn2urrur又∵murr2，mn1，

r22|n∴|1,则xy1.-------------------------------------------------------------------4分

rrr22 (2)由n与q垂直知n(0,1)..由2B=A+C知B3,AC3,0A3.----8分

rrur2C若n(0,1)，则np(cosA,2cos21)(cosA,cosC)

rur22Acos2C1cos2A1cos2C11[cos2Acos(42A)]npcos∴ 2223rrx1,x0,或解得y0.∴即n(1,0)或n(0,1).------------------------6分

y1.∵

31∴1cos(2A3)2.

11cos(2A)----------------------------------------------------------10分

230A2,2A5333,

111cos(2A)52234.

rur2rur2,5)51np[,)np[即24. ∴22 -----------------------------16分

x218.解：(1)解：设M(m，0)为椭圆y21的左特征点，

5

椭圆的左焦点为F(2,0)，

设直线AB的方程为xky2(k0)

x2 将它代入y21得：(ky2)25y25，

522即(k5)y4ky10 ---------------------------------2分

4k1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22，y1y22-----------------4分

k5k5 ∵∠AMB被x轴平分，∴kAMkBM0

y1y2 即0， y1(x2m)y2(x1m)0

x1mx2m  y1(ky22)y2(ky12)(y1y2)m0

∴2ky1y2(y1y2)(m2)0， ----------------------------------------6分

14k)(m2)0 22k5k55 ∵k0，∴12(m2)0，即m

25 ∴M(，0) ---------------------------------8分

2 (2) 问题不唯一，只要能在（1）基础上提出新的问题，并把所提问题解答出来就相应得分。如可以变换椭圆的方程，求出相应的M点坐标；或你想设问等。

y2x2如问题：椭圆221 (ab0)的“左特征点”M是一个怎样的点？

ab 于是2k(a2,0)---------------------------------18分 求解出M(c

19．解：（1）解法一：由已知得，r2时，可求得M点的坐标为（-1,0），

2分

2设P（0，b）,则由kCPkmp1（或用勾股定理）得：b1 ，所以b1即点P坐标为0,1。

4分

解法二：同上可得M(1,0)，设N(x,y)则

(x1)2y24解得N1,2。所以MN的中点P坐标为0,1。 x10（2）解法一：设N(x,y)由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为1r,0。设P（0，b）,则由kCPkmp1（或用勾股定理）得：rb21。

6分

因为点P为线段MN的中点，所以xr1b2,y2b，又r>1

所以点N的轨迹方程为y4x(x0) 。 10分 解法二：设N（x,y），同上可得M(1r,0)，则

2

(x1)2y2r2，消去r，又r>1，所以点N的轨迹方程为y24x(x0)。 x1r0（3）设直线l的方程为ykx2,M(x1,x2),N(x2,y2)，

ykx2, 消去y得 k2 x2(4k4)x40,因为直线l与抛物线y24x(x0)相交于两个不同的2y4x1， 2点M,N，所以32k160，所以k12分

uuuuruuur又因为CMCN0，所以(x11)(x21)y1y20，

22所以(k1)x1x2(2k1)(x1x2)50，得k12k0，

所以k0或k12, 14分

1或k12。 16分 220．解：（I）由f(0)2f(0)，得f(0)0 2分

1111由f(1)2f()及f(1)1，得f()f(1) 4分

2222111同理，f()f()， 6分

422411归纳得f(i)i(i1,2,LL) 8分

221111 （II）当ixi1时，f(x)i1k(xi1)

22221111111k ai[i1i1k(ii1)](i1i)(1)2i1(i1,2,LL)

2222222421k1 所以{an}是首项为(1)，公比为的等比数列。 14分

2441k(1)42(1k) 所以S(k)lim(a1a2Lan)2n134141 S(k)的定义域为0k1，当k1时取得最小值。 18分

2综上可得0k