材料力学第五版孙训方版课后习题答案高等教育出版社

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材料力学 高等教育出版社 孙训方

[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。 解：由题意可得：

[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F1000kN，材料的密度2.35kg/m3，试求墩身底部横截面上的压应力。 解

：

墩

身

底

面

的

轴

力

为

：

N(FG)FAlg

2-3

图

墩身底面积：A(323.1412)9.14(m2)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 [习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

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d(l)Fdx EA(x)，l0lFFldx dx0EA(x)EA(x)rrdd1drr1xx1，r21xr12l2l2r2r1l2，

dd1ddd1ddd1x1)du2dx A(x)2x1u2，d(22l22l22ldx2ldu，d2d12ldddx2ldu221du(2) A(x)(d1d2)uulFFldx2Fldudx() 20EA(x)00EA(x)E(d1d2)ul因此，

l[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求C与D两点间的距离改变量CD。 解

：

'F/AF EEA

式中，A(a)2(a)24a，故：'

aF'a4EaF4EF4Ea

，

aa'aF4E

a'a，CD223(23a)(4a)145a 12[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，

A3150mm2，F20kN。试求

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C点的水平位移和铅垂位移。

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2-11图 解：（1）求各杆的轴力

受力图 变形协调图 以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以

X0，N3cos45o0，N30

由对称性可知，CH0，N1N20.5F0.52010(kN)

（2）求C点的水平位移与铅垂位移。

A点的铅垂位移：l1 B

l2N1l10000N1000mm0.476mm EA1210000N/mm2100mm2点的铅垂位移：

N2l10000N1000mm0.476mm 22EA2210000N/mm100mm1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到

C点的水平位移：CHAHBHl1tan45o0.476(mm) C点的铅垂位移：Cl10.476(mm)

[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A

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点作用有铅垂向下的力F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

X0：NY0：NACsin30oNABsin45o0

NAC2NAB………………………(a)

ACcos30oNABcos45o350

3NAC2NAB70………………(b)

(a) (b)联立解得：

NABN118.117kNNACN225.621kN

；

（2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

式中，l11000/sin45o1414(mm)；l2800/sin30o1600(mm) A10.253.14122113mm2；A20.253.14152177mm2

211811721414256211600()1.366(mm) 故：A35000210000113210000177[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径

d1mm的钢丝，在钢丝的中点

C加一竖向荷载F。已知钢丝产生

，

的线应变为0.0035，其材料的弹性模量E210GPa不得用于商业用途

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钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；

（2）钢丝在C点下降的距离； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力 （2）求钢丝在C点下降的距离

lNll20007357(mm)。其中，ACEAE210000和BC各

3.5mm。

（3）求荷载F的值

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

Y0：2NsinaP0

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：

（1） 端点A的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解：（1） （2）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一

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种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

NBCNABcosFcosFcotsin

2-17

（2）求工作应力 （3）求杆系的总重量

WV(AABlABABClBC) 。是重力密度（简称重度，单位：kN/m3）。

（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： AB BCNABFF[]，AAB[]sinAABAABsinNBCFcot[]， ABCABC

ABCFcot []条件⑵：W的总重量为最小。

从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶

导数等于零时，W取得最小值。

3cos21

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，cos20.3333

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2arccos(0.3333)109.47o，.74oo44'

（5）求两杆横截面面积的比值

AABF[]sin，ABCFcot[]

11，cos2 33 因为：

3cos21，2cos21cos13，

13 cos 所以：

AAB3 ABC[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力

[]170MPa，试选择

AC和CD

的角钢型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知，

（2）求AC杆和CD杆的轴力 以A节点为研究对象，由其平 衡条件得： 2-18

以C节点为研究对象，由其平衡条件得： （3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆：

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Y0

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选用2∟807（面积210.8621.72cm2）。 CD杆：

选用2∟756（面积28.79717.594cm2）。 [习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，材料的弹性模量E210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。 解：（1）求各杆的轴力

NGH33001.5601.20 2-19

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆：

选用2∟90565（面积27.21214.424cm2）。 CD杆：

选用2∟40253（面积21.3.78cm2）。

EF杆：

选用2∟70455（面积25.60911.218cm2）。 GH杆：

选用2∟70455（面积25.60911.218cm2）。 （3）求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A

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EG杆的变形协调图如图所示。

[习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和

d218mm，钢的许用应力[]170MPa，弹性模量E210GPa。试校

核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位移A、B。 解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

② 计算工作应力

BDNBD33333NABD0.253.14182mm2

2-21

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力

170MPa，即AC[]；BD[]，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算lAC、lBD

（3）计算A、B两点的竖向位移A、B AlAC1.618(mm)，BlBD1.560(mm)

[习题3-2] 实心圆轴的直径d100mm，长l1m，其两端所受外力偶矩Me14kNm，材料的切变模量

G80GPa。试求：

（1）最大切应力及两端面间的相对转

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角；

（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。

解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角

M maxTe。

WpWp式中，Wp故：maxTlGIp11d33.141591003196349(mm3)。 1616 3-2

Me14106Nmm71.302MPa 3Wp196349mm11d43.1415910049817469(mm4)。3232，式中，Ip故：

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 ABmax71.302MPa， 由横截面上切应力分布规律可知：

CB0.571.30235.66MPa， A、B、C三点的切应力

12方向如图所示。

（3）计算C点处的切应变

[习题3-3] 空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。已知间距为l2.7m的两横截面的相对扭转角1.8o，材料的切变模量

G80GPa。试求：

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

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Ip11D4(14)3.141591004(10.)9203877(mm4)。 3232式中，d/D。

TlGIp，

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 [习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[]40MPa，试求： （1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等： 扭3-5

由AB轴的强度条件得：

（2）计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮0.2Me从动轮0.35矩图如图所示。

，Me从动轮0.350.160.28(kNm) 0.20 由卷扬机转筒的平衡条件得：

P0.25Me从动轮，P0.250.28P0.28/0.251.12(kN)

[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D60mm，

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内径d50mm，功率P7.355kW，转速n180r/min，钻杆入土深度

l40m，钻杆材料的G80GMPa，许用切应力[]40MPa。假设土

壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m； （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

设钻杆轴为x轴，则：Mx0，mlMe， （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图

T(x)mx0.39x0.00975x。x[0,40] 40

T(0)0； T(40)Me0.390(kNm)

扭矩图如图所示。 ②强度校核，max式

WpMeWp 中

(mm3)

，

11150D3(14)3.14159603[1()4]2161660因为max17.761MPa，[]40MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。 （3）计算两端截面的相对扭转角

式

Ip中

(mm4)

，

51150D4(14)3.14159604[1()4]6323260不得用于商业用途

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[习题3-8] 直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me6kNm，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知sAA13mm，圆杆材料的弹性模量E210GPa，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、G间存在如下关系：

E。 2(1)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：设O,O1两截面之间的相对TMe6kNm。

对转角为，则s，

Ipd22sd，

Tl2s GIPd式 中，

11d43.14159504613592(mm4) 3232 3-8

由GE210E10.2 得：12G281.48742(1)[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且

d00.8。试求当空心轴与实心D轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（max[]），扭矩T相等时的重量比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

式中，WpD327.1T[]1D3(14)，故： 16

3-10

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（1）求实心圆轴的最大切应力

maxTWp，式中，Wp1d3 16，故：max,实16T16T[] d3d3d3D16TD27.1T[]，()31.69375，1.192

d[]d[]16T（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

Ip空11D4(10.84)0.01845D4，Ip实d40.03125d4 3232[习题3-11] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me

，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为： 式中，Ipdu1d4 32d2d1ldx，dxdu ld2d1故

MdxMee0GIGpl：

dxMe0IpGl32dx32Me0d4Glldu32Mel1l0u4d2d1duG(d2d1)0u4 l321d13d232Meld12d1d2d232Mel32Mel1=333333 3G(d2d1)d2d13G(d1d2)d1d23Gd1d2[习题3-12] 已知实心圆轴的转速n300r/min，传递的功率

p330kW，轴材料的许用切应力[]60MPa，切变模量G80GPa。

若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。 解：TlMel 1GIPGIp180不得用于商业用途

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式中，MeIp180MelG9.9Nk13309.910.504(kNm)；Ipd4。故：

32n300，

180Mel1d432G

取d111.3mm。

[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力

偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T2(x)dx解：dV2GIpm2x2dx16m2x2dx 1d4G42Gd32m2l3m2l316GIp6d4G3216m2l216m2l3V4xdx40dG3dG 3-16

[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm，材料的许用切应力[]500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求： （1）弹簧的许可切应力； （2）证明弹簧的伸长

16Fn22(RR)(RR)。 12124Gd解：（1）求弹簧的许可应力

用截面法，以以簧杆的任意截面取

出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力QF扭矩TFR

最大扭矩：TmaxFR2

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max'\"QTmax4F16FR216FR2d2(1)[]， 33AWpd4R2dd因为D/d200/102010，所以上式中小括号里的第二

项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时

[F]d3[]16R2(1d)4R23.14103mm3500N/mm2981.25N

16100mm（2）证明弹簧的伸长16Fn22(RR)(RR) 12124Gd1T2(Rd) 外力功：WF ， dU

22GIp4R141F2nR2WU，F24GIpR2R1

[习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me3kNm。已

知材料的切变模量G80GPa，试求： （1） 杆内最大切应力的大小、位置

和方向； （2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向 ??? ???

，

，

，

，

由表得， ???

???

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力

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?MPa?

短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角 单位长度的转角

[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比

开口：max,开口ItMeIt

122r03r03 33依题意：2r04a，故：

闭口：max,闭口MeM2e2A02amax,开口3Me2a23a， 2max,闭口4aMe2（3） 求相对扭转角之比 开口：ItM3Me124a3T'2r03r03，开口e333GItGIt4Ga3

'闭口：闭口MesMe4aMeTs24GA04GA024Ga4Ga3

4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a（5）=h（4） b（5）=f（4）

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4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图

a（5）=a（4） b（5）=b（4） f（5）=f（4）

4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题）

（e） （f）

（h）

4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-4 （b） 4-5 （b）

4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。

4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。

4-6（a）

4-7（a）

4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。

4-8（b）

4-8（c）

4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b） 4-9

（c）

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4-10

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4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。

x=0.4615m

4-18 4-19M=30KN 4-21 4-23 4-25 4-28 4-29 4-33 4-36 4-35 5-2 5-3 5-7

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5-15 5-22

5-23 选22a工字钢 5-24

6-4 lA6Fl/((233)EA) 6-12

7-3-55mpa。-55mpa

7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于0~600范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？ 解：xF；y0；x0 AF1cos2F[]，cos2[]

A2A[]A[]AFF， max,N22coscos1.5[]AF3sin2[][]，F，

sin22A41.5[]AFmax,T

sin2（0） 0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60 Fmax,N（[]A）1.000 1.01.132 1.331 33 1.563 1.704 2.44.020 00 不得用于商业用途

仅供个人参考

Fmax,T（[]A）47.74.32.334 1.732 1.562 1.523 1.51.7 86 23 32 由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当600时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。 解：（1）求计算点的正应力与切应力

（2）写出坐标面应力 X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题7-8（a）]

不得用于商业用途

示。

仅供个人参考

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）600。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

12026MPa； 120MPa，340MPa；12025MPa，000。

00

单元体图

[习题7-8（b）]

应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

0450。 130MPa，330MPa；6026MPa ，6015MPa；

00

单元体图

[习题7-8（c）]

应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6050MPa ，600；250MPa，350MPa。

00不得用于商业用途

仅供个人参考

单元体图 [习题7-8（d）]

应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

4540MPa ，4510；141MPa,20MPa，361MPa；

00039035'。

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两

斜面应力

解：两斜面上的坐标面应力为： A（38，28），B（114，-48）

应力圆

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：

不得用于商业用途

仅供个人参考

解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径： 主应力为： （2）主方向角 ??? ?

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角： ????

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

单元体图 应力圆 由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 轴得圆心C（50，0）

? 应力圆半径： ??? ? ? ?

不得用于商业用途

仅供个人参考

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

由XZ平面 内应力作

单元体图 应力圆 a、b点，连接a、b

交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）

应力圆半径： ??

[习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

由YZ平

单元体图 力值作

圆心为O，半径为50，作应力圆得

应力圆

面内应a、b点，

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 线成

，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母

。已知材料的弹性常数 。

方向的线应变为 ，

，试求扭转力偶矩

解：

方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处

450沿

方向

不得用于商业用途

仅供个人参考

的线应变为45。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力偶矩Me。

0解：支座反力： RAMel （↑）；RBMel （↓）

K截面的弯矩与剪力： MkRAaaMel；QkRAMel

K点的正应力与切应力： 0；1.5Qk3MeA2Al

故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

，故 0450 （最大正应力1的方向与x正向的夹角）

[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数E200GPa，

试求该单元体的形状改变能密度。

0.3。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0）

在XY面内，求出最大与最小应力：

故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。 单元体的形状改变能密度：

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为[]170MPa，[]100MPa 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按a'点的位置计算。

不得用于商业用途

仅供个人参考

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：RA?=

RB1(550550408)710(kN) （↑） 2

（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 ???

超过

的5.3%，在工程上是允许的。

??（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处 （3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 ????? ????? ????? ????? ????? ?????

超过

的3.53%，在工程上是允许的。

[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且Me不得用于商业用途

1Fd。今测得圆杆表面10k点处沿

仅供个人参考

图示方向的线应变3014.33105。已知杆直径d10mm，材料的

0弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载

F和Me。若其许用应力

[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F和Me的大小：

Me在

k点处产生的切应力为：

F在k点处产生的正应力为： 即：X（

4Fd2，8F5d2），Y （0，

8F5d2）

广义虎克定律：

（F以N为单位，d以mm为单位，下同。）

按第四强度理论校核杆件的强度：

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知l0.8m，

F12.5kN，F21.0kN，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险

点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，Wz，Wy由14号工字钢，查型钢表得到Wz102cm3，Wy16.1cm3。故

[习题8-2] ?受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 300，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 E10GPa；梁的尺寸为l4m，h160mm，

不得用于商业用途

仅供个人参考

b120mm；许用应力[]12MPa；许用挠度[w]l/150。试校核梁的

强度和刚度。 解：（1）强度校核

qyqcos30020.8661.732(kN/m) （正

y方向↓） z方向←）

qzqsin30020.51(kN/m) （负

Mzmaz11qyl21.732423.4(kNm) 出现在跨中截面 8811qzl21422(kNm) 出现在跨中截面 88Mymaz最大拉应力出现在左下角点上：

因为 max11.974MPa，[]12MPa，即：max[]

所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度

上是安全的。 （2）刚度校核

=

0.0202m[w]4/1500.0267m。即符合刚度条件，亦

即刚度安全。

[习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F137kN，并且与铅垂线成夹角45.70，浆砌石的密度为其他尺寸如图所示。试取1m2.35103kg/m3，

长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体

不得用于商业用途

仅供个人参考 截面核心边界点坐标的计算(习题8-13) 用压

的许

应力[c]为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。 解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌 体的重量： 竖向力分量为：

各力对AB截面形心之矩为：

AB之中点离A点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.30.8(m)

P2的偏心距为e2(0.61.6)1.10.0333(m) 3Fy的偏心距为e3(2.21cos68.20)1.10.729(m) Fx的力臂为e41.50.51(m)

砌体墙为压弯构件

因为 |A|[c]，|B|[c]，所以砌体强度足够。 [习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。 [习题8-11（a）]

解：惯性矩与惯性半径的计算

截面核心边界点坐标的计算 中性轴编号 ① ② ③ -400 ④ ∞ 中性轴的截距 400 ∞ -400 ∞ 1 ∞ 400 3 4 对应的核心边界上的点 不得用于商业用途

2 仅供个人参考

核心边界上 728-1882 2 728 点 的坐标值（m) [习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

0 182 0 -182 82 0 182 0 截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 ① ② ③ ④ 50 ∞ -100 -50 ∞ 100 3 4 ∞ 中性轴的截距 ∞ 对应的核心边界上 的点 核心边 1 -21 2 界上点 的坐标 1042 0 21 0 -42 值（m) 不得用于商业用途

4167 0 42 0 仅供个人参考

[习题8-11（c）]

解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z轴上， 半圆的面积：

半圆形截面对其底边的惯性矩是

4R2R2R48R4()832d4128R48，用平行轴

定理得截面对形心轴 yc 的惯性矩：

IyCR4

（2）列表计算截面核心边缘坐标

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 ① ② ③ ④ 10∞ -100 115 ∞ 中性轴的截距 0 ∞ -85 ∞ 对应的核心边界上 的点 核心边 1 1000-100 0 1 2 100 3 界上点 的坐标 0 0 -24 值（m)

2788 0 33 0 不得用于商业用途

仅供个人参考

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.

только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.

以下无正文

不得用于商业用途