2019-2020学年高考数学一轮复习-专题一-不等式的解法学案-

一、一元二次不等式的解法

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：

.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：

.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式

或

的解集可以联系二次函数

或

的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式

的解集，图象在的解集.

设一元二次方程

应的不等式的解集的各种情况如下表：

二次函数 （图象 ）的 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的两根为

且

，

，则相

轴下方部分对应的横坐标

值的集合为不等式

注意：

（1）一元二次方程的取值，是抛物线

的两根是相应的不等式的解集的端点

与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分

的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程 ①

时，求出两根

，且

，计算判别式

：

三种情况，得到一元二次不等式

与

（注意灵活运用因式分解和配方法）；

② ③

时，求根时，方程无解

；

规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

； （2）

； （3）

（1）

举一反三：

【变式1】解下列不等式 (1)

； (2)

(3)

； (4) .

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

2．不等式

的解集。

的解集为

，求关于的不等式

思路点拨：由二次不等式的解集为由韦达定理可求出

可知：4、5是方程的二根，故

、的值，从而解得.

举一反三：

2

【变式1】不等式ax+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______, b=________。

【变式2】已知

.

【变式3】已知关于的不等式

的解集.

的解为,试求、,并解不等式

的解集为，求关于的不等式

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

2

2

3．已知关于x的不等式(m+4m-5)x-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

举一反三： 【变式1】 若关于的不等式范围.

【变式2】若关于的不等式值范围.

【变式3】若关于的不等式

值范围.

类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法

的解集为非空集，求

的取

的解为一切实数，求

的取

的解集为空集，求

的取值

4．解下列关于x的不等式

22

（1）x-2ax≤-a+1；

2

（2）x-ax+1＞0；

2

（3）x-(a+1)x+a＜0；

总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【变式2】解关于的不等式：

5．解关于x的不等式：ax－(a+1)x+1＜0。

2

（）

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

2

【变式2】解关于x的不等式：ax＋2x-1＜0；