《 线性代数 》2015年秋学期期末考试试卷(A)及答案【20151223】

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课程名称：《 线性代数 》 试卷类型： A 卷 共 页

考试形式（开卷∕闭卷）： 闭卷） 命题教师：

适用范围： 专业

学院 专业 班级 考试编号 姓名 题号 分值 得分

一 二 三 四 五 六 总分 100 得分

一、选择题。（共 20 分，每小题 2分。）

11.设A是3阶矩阵，且 ，则 [ A ] A. -8 B. -2 C. 2 D. 8

2.2.已知4阶行列式 第一行的元素依次为1,2,-1,-1,它们的余子式依次为2,-2,1,0,

则 [ D ] A. -5 B. -3 C. 3 D. 5

3.3.设矩阵 ,则下列矩阵运算可进行的是: [ B ]

A. ACB B. ABC C. BAC D. CBA

4.4.设2阶矩阵A可逆,且已知 则 [ D ]

5.设向量组 , 线性相关,则必可推出: [ C ]

A. , 中至少有一个向量为零向量; B. , 中至少有两个向量成比例;

C. , 中至少有一个向量可由其余向量线性表示出; D. , 中每一个向量都可由其余向量线性表示出;

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6.在 中,与向量 , 都正交的单位向量是: [ B ] A. B. C. D.

7.若A为6阶矩阵,齐次线性方程组 的基础解系中解向量个数为2，则矩阵A的秩为

[ A ]

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 设 是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（ ）有一个特征值为： [ D ]

A.

B. C. D. ，

9.设3阶矩阵A3个特征值是 ， ，相应的特征向量依次为 ， ，

令 则 为： [ B

10.设实对称矩阵 ，则对应的二次型 为 [ B ]

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]

得分

二、填空题。（共 30 分，每小题 3 分）

1.行列式 24 。

2.行列式 中第2行第3列元素2的代数余子式 的值为： -10 。

3.设矩阵 ，则行列式 = 4 。

4.已知3阶矩阵

的秩为2，则 。

5.齐次线性方程组 基础解系中解向量的个数为 2 。

6.已知3阶矩阵A的秩为2，若 ， ， 为非齐次线性方程组 的3个解,且 ，

，则该线性方程组的通解是 。

7.若 是可逆矩阵A的一个特征值，则 必有一个特征值为 1/3 。 8.设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为 ，则行列式 1/6 。 9.设向量 ， （ ， ， ），则向量 ， 的内积 ， 20 。

10. 二次型 的规范形为 。

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得分

三、计算题。（共 50 分，）

1.计算行列式

的值。

（7分）

解：

2.设 ，求矩阵 的逆矩阵 。（7分）

解:

1 A13325.

232111 3.设向量组

(10 (1)求向量组的秩；

(2)求向量组的一个最大无关组；

(3)将向量组中的其余向量用该最大无关组线性表出；

解：(1) ， ， ，

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分)

， ， ，

(2)由 可知，向量 ， 为向量组的一个最大无关组；

（3） 由

得 ，

由

得 ，

4.求非齐次线性方程组 的通解。（10分）

解:

所以方程组有无穷多解

取 则 ， 得方程组的一个基础解系：

取 则 ， 得方程组基础解系：

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所以方程组的通解为：

,

5.用施密特正交化方法,将下列向量组正交规范化。（6分）

， ， ， ， ， ， ， ， 解：先正交化，取

再单位化，得规范正交向量组如下：

6.设 ,问矩阵 能否对角化？

若能对角化，求出可逆矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；（10分） 解：

，

当 时，齐次线性方程组为

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得基础解系 ，

当 时，齐次线性方程组为

得基础解系

线性无关， 可以对角化

令 ，则有

对角阵：

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