三角函数(知识点汇总和例题)

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；5） 36（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) k(kZ). （3）终边与终边关于x轴对称2k(kZ). （4）终边与终边关于y轴对称2k(kZ). （5）终边与终边关于原点对称2k(kZ).

（6）终边在x轴上的角可表示为：k,kZ；终边在y轴上的角可表示为：

kk,kZ；,kZ.如的终边与的终边在坐标轴上的角可表示为：

226终边关于直线yx对称，则＝____________。（答：2k3,kZ）

4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，

2则

是第_____象限角（答：一、三） 225.弧长公式：l||R，扇形面积公式：S1lR1||R，1弧度(1rad)57.3.

22如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）

6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r2x2y20，那么sinyx,cos，rry,x0,三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 x如已知角的终边经过点P(5，－12)，则sincos的

7y 值为＿＿。（答：）；

13 T BS tan7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如（1）若

,cos,tan的大小关系为，则sin42_____(答：sincostan)；

 P α OM A x

（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______ （答：sintan）；

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8.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1 sin 1 22 22 21 32 cos tan cot 3 23 31 21 0 －1 0 3 3 30 0 3 1 0 0 9. 同角三角函数的基本关系式： （1）sin2cos21, （2）tansin. cos同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如 （1）已知sinm342m5an＝____()，，cos则t（答：）；

m5m5212tansin3cos1，则（2）已知＝____；

tan1sincos513sin2sincos2＝_________（答：；）；

35（3）已知sin200a，则tan160等于

偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。

如（1）cos1a21a2 A、 B、 C、 D、（答：B）；。

22aa1a1ak10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或

2aa9723tan()sin21的值为________（答：）； 46234（2）已知sin(0)，则cos(270)______，若为第二象限角，

3[sin(180)cos(360)]2则________。（答：；） 5100tan(180)（3）已知f(cosx)cos3x，则f(sin30)的值为______（答：－1）

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令sinsincoscossinsin22sincos

当前第 2 页共7页

令coscoscossinsincos2cos2sin2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos2112sin2tantan1+cos2　　　　　　　cos2＝1tantan21cos2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin2＝22tan　　　tan21tan21 如（1）下列各式中，值为的是

22sin2 A、sin15cos15 B、cos1212　tantan22.51cos30 C、 D、 （答：C） 21tan22.5212. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首

先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

①巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，

2()()，22222213tan()，如（1）已知tan()，那么tan()的值是_____（答：）；442212（2）已知0，且cos()，sin()，

22923490(的值（答：)求 cos）；

72937（3）已知sin()coscos()sin，那么cos2的值为___（答：）；

525②三角函数名互化(切割化弦)，

如求值sin50(13tan10)（答：1）；

③公式变形使用（tantantan1tantan。 如已知A、B为锐

，

等）.

2）； 21cos21cos222 ④三角函数次数的降升(降幂公式：cos，sin与升幂

2222公式：1cos22cos，1cos22sin)。

角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝__ （答：1111； cos2为_____（答：sin）2222253(xR)的单调递增区间为（2）函数f(x)5sinxcosx53cos2x25,k](kZ)） ___________（答：[k1212如(1)若(,)，化简32当前第 3 页共7页

⑤ 常值变换主要指“1”的变换（1sinxcosxtansin等），

2242322如已知tan2，求sinsincos3cos（答：）.

513、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosx在的象限由a, b的符号确定，角的值由tana2b2sinx(其中角所

b确定)在求最值、化简时起着重要作用。a如若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

2,,3,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，2就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质： ①定义域：都是R。

②值域：都是1,1，对ysinx，当x2k2kZ时，y取最大值

1；当

3kZ时，y取最小值－1；对ycosx，当x2kkZ时，y取最2大值1，当x2kkZ时，y取最小值－1。 x2k如（1）若函数yabsin(3x（答：a6)的最大值为

31，最小值为，则a__，b＿221,b1或b1）； 2（2）函数f(x)sinx3cosx（x[（3）函数f(x)2cosxsin(x,]）的值域是____（答：[－1, 2]）；

223)3sin2xsinxcosx的最小值是_____，此时x

＝__________（答：2；k12(kZ)）。

③周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和

f(x)Acos(x)的最小正周期都是T如(1)若f(x)sin2。 ||，则f(1)f(2)f(3)f(2007)＝___（答：3）； 34(2) 函数f(x)cos4x2sinxcosxsinx的最小正周期为____（答：）；

x④奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线xk2kZ；余弦函数ycosx(xR)是偶函数，对称中心是

k,0kZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点2或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。

5如（1） 函数ysin； 2x的奇偶性是______（答：偶函数）

2当前第 4 页共7页

（2） 已知函数f(x)ax； f(5)______（答：－5）

b3sin1x为数），且f(5)7，则(a常,b（3） 函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、

kk,1)(kZ)、x(kZ)）； 2828（5）单调性：ysinx在2k,2kkZ上单调递增，在

2232k,2kkZ单调递减；ycosx在2k,2kkZ上单调递减，22在2k,2k2kZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！

16、形如yAsin(x)的函数：

1（1）几个物理量：A―振幅；f―频率；x―相位；―初相；

T（2）函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；Y2由周期确定；由图象上的特殊点确定，如____________（答：(f(x)Asin(x)(A0,0，||23)的图象如图所示，则29X15-2f(x)＝_____（答：f(x)2sin(x)）；

23题图23（3）函数yAsin(x)图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝3,2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：0，,,22这是作函数简图常用方法。 （4）函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：①函数ysinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得ysinx的图象；②函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，得到函数

ysinx的图象；③函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；④函数yAsin(x)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k0）或向下（k0），得到yAsinxk的图象。要特别注意，

若由ysinx得到ysinx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，

如（1）函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？

4（答：y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左平移

448个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将纵坐

1标缩小到原来的即得ysinx的图象）；

2xx(2) 要得到函数ycos()的图象，只需把函数ysin的图象向___平移____

242个单位（答：左；）；

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（5）研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将

yAsin(x)中的x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的单调区

间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

n(x的递)减区间是______（答：如（1）函数ysi235,k](kZ)）； 1212x（2）ylog1cos()34233[6k,6k](kZ)）；

44[k称，它的周期是，则

的递减区间是_______（答：

（3）设函数f(x)Asin(x)(A0,0,22)的图象关于直线x2对3A、f(x)的图象过点(0,) B、f(x)在区间[121252,]上是减函数 123C、f(x)的图象的一个对称中心是(5,0) D、f(x)的最大值是A（答：C）；

给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②

3图象关于直线x成轴对称；③图象可由函数y2sin2x的图像向左平移个单位得

123到；④图像向左平移个单位，即得到函数y2cos2x的图像。其中正确结论是_______

12（答：②④）；

（5）已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中，距离最近两点间的距离为

（4）对于函数fx2sin2x，那么此函数的周期是_______（答：） 317、正切函数ytanx的图象和性质： （1）定义域：{x|x2k,kZ}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数

的定义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinx

cosx的周期为

期不变；

1，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周

6262k,0kZ，特别提醒：正(余)2切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

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（5）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注

22意在整个定义域上不具有单调性。

18. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

abc2R(R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC注意：①正弦定理的一些变式：iabcsinAsinBsinC；

abciisinA,sinB,sinC；iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；

2R2R2R(2)正弦定理：

②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

222bca(3)余弦定理：abc2bccosA,cosA等，常选用余弦定理鉴定

2bc222三角形的形状.

(4)面积公式：S1aha1absinC.

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：

22ABCABC,sin(AB)sinC,sincos；（2）求解三角形中含有边角混合关

22系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

b，且A=60, a6, b4，那么满足条如（1）ABC中，A、B的对边分别是a、件的ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；

（2）在ABC中，A＞B则sinAsinB成立；

（3）在ABC中， (1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____（答：1）；2,别是角(4)在ABC中，a,b分

A、B、C所对的边，若

(abc)(sinsinC3)asiCn＝B____（答：60），则；

a2b2c2（5）在ABC中，若其面积S，则C=____（答：30）；

43（6）在ABC中，A60, b1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直

径是_______（答：239）； 3（7）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：0C6）；

19.求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，

其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（1）若,(0,)，且tan、tan是方程x5x60的两根，则求的值______（答：

23）； 4（2）ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C＝_______（答：）

3当前第 7 页共7页