005简单的逻辑联结词全称量词与存在量词(学生学案)(生)

专题005：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（学生学案）（生）

知识结构

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：

p 真 假 真 假 q 真 真 假 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 ¬p 假 真 假 真 2.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q. 5．逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 6．两类否定 （1）．含有一个量词的命题的否定 1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． 2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)． （2）．复合命题的否定

1)(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；2)  (p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)． 7．一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定词语 正面词语 否定词语 不等于 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有一个 一个也没有 不小于 任意的 某个 不是 所有的 某些 不都是 „ „ 基础自测 1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )．

A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1 C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 2．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则( )．

A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．¬p是真命题 D．¬q是真命题

3．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是( )． A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假 C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假

4.【2012高考安徽文4】命题“存在实数x，使x > 1”的否定是（ ） （A）对任意实数x, 都有x>1 （B）不存在实数x，使x1 （C）对任意实数x, 都有x1 （D）存在实数x，使x1 5.【2012高考山东文5】设命题p：函数ysin2xD．¬p：∀x∈R，sin x>1

的最小正周期为

2；命题q：函数yqcosx的图象关于直线x2对

称.则下列判断正确的是（ ）

(A)p为真 (B)q为假 (C)p

q为假 (D)p为真

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6．合题“x0,都有xx0\"的否定是

A．x0,都有xx0 C．x0,使得xx0

222（ ）

B．x0,都有xx0 D．x0,使得xx0

22

7．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则( )．

A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真

8．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________． 例题选讲：

52

例1：已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝；命题q：∀x∈R，都有x＋x＋1＞0.给出下列结论

2

①命题“p∧q”是真命题； ②命题“¬p∨¬q”是假命题； ③命题“¬p∨q”是真命题； ④命题“p∨¬q”是假命题． 其中正确的是( )．

A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③ 例2：写出下列命题的否定，并判断其真假．

12

(1)p：∀x∈R，x－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；

423

(3)r：∃x0∈R，x0＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x0＋1＝0.

例3：有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.

A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”， B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”， C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.

如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？

22

例4：已知命题p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．

1x2

例5：已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝c在R上单调递减；q：函数f(x)＝x－2cx＋1在，＋∞上为增函数，若

2

“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．

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巩固作业： A组：

一、选择题：

1．命题p：x0，都有sinx≥-1，则( )

A．p：x0，使得sinx1 B. p：x0，都有sinx<-1 C. p：x0，使得sinx1 D. p：x0，都有sinx≥-1 2.已知命题p:x[0,],sinx

A．x[0,],sinxC．x[0,],sinx121212,则p为

B．x[0,],sinxD．x[0,],sinx（ ）

1212

3. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A．命题“若ab,则a1b1”的否命题是“若ab,则a1b1”． ．．．

B．“x1？”是一个命题．

C．命题“x0R使得x0x010”的否定是：“xR， 均有xx10”．

222 D．命题“若x1，则x1”的逆否命题为真命题． 4．【2012高考辽宁文5】已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，则p是（ ） (A) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0 (B) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0 (C) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0 (D) x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0

5.【2012高考湖北文4】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 6．(2011北京文)若p是真命题，q是假命题，则（ ）

（A）pq是真命题 (B)pq是假命题 (C)p是真命题 (D)q是真命题 7．(2011安徽理)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） ．．

（A）所有不能被2整除的数都是偶数 （B）所有能被2整除的数都不是偶数 （C）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D）存在一个能被2整除的数不是偶数 二、填空题： 三、解答题：

8．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：

（1）两次都击中飞机；（2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机；（4）至少有一次击中飞机.

9．小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.

甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？

x2

10．已知a＞0，设命题p：函数y＝a在R上单调递增；命题q：不等式ax－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

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11．设p：方程x＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．

B组：

一、选择题：

1. 已知命题p:x2是x4的充要条件，命题q:若

A．“p或q”为真

222

ac2cB．“p且q”为真 C．p真q假

b2，则ab．则（ ）

D．p,q均为假

2． 已知命题p:函数y|tanx|的最小正周期是

正确的是（ ）

A．“pq”为真 B．“q”为假

x3，命题q:函数ycosx在区间,上单调递减，则下面说法22C．“pq”为假

2D．“(p)q”为假

3．已知命题p:“x0,1,ae”，命题q: “xR,x4xa0”，若命题p,q均是真命题，则实数a的取值范围是 （ ）

A．[4,) B．[1,4] C． [e,4] D．(,1]

24. 已知命题p：xR,xxa0，若p为真命题，则实数a的取值范围是（ ）

A．a14 B．a14x C．a14 D．a14

25．已知命题p:“x0,1,ae”，命题q: “xR,x4xa0”，若命题p,q均是真命题，则实数a的取

值范围是 （ ）

A．[4,) B．[1,4] C． [e,4] D．(,1]

x－xx－x6．(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2－2在R上为增函数，p2：函数y＝2＋2在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )． A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4 二、填空题： 三、解答题：

7．设命题p：函数f(x)(a32)是R上的减函数，命题q：f(x)x4x3在[0,a]上的值域为[1,3]，若“px2或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

8．已知c0且c1，设p:函数y(2c1)c在R上为减函数，q:不等式x(x2c)1的解集为R.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数c的取值范围.

x2 - 4 -