三角函数知识点归纳

三角函数

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k 终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为

k360,k

(3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

③半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是④若扇形的圆心角为l r为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

11lr，C2rl，Slrr2．

221 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为rrx2y2，那么角

yxy

α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规rrx

律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）

3．特殊角的三角函数值

角度 函数 角a的弧度 sina cosa tana 0 0 0 1 0 30 π/6 1/2 √3/2 √3/3 45 π/4 √2/2 √2/2 1 60 π/3 √3/2 1/2 √3 90 π/2 1 0 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 180 π 0 -1 0 270 3π/2 -1 0 360 2π 0 1 0 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 A.基础梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意

判断符号）

sin α(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：tancot1

cos α2．诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(2k)tan 其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，tantan． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tantan. ππ

－α＝cos_α，cos－α＝sin α. 公式五：sin22ππ

＋α＝cos_α，cos＋α＝－sin_α. 公式六：sin22

π

诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、

2π

偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变

2

2 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

π

余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·．．．．2±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号． ．．．

B.方法与要点 一个口诀

1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 2、四种方法

在求值与化简时，常用方法有：

sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝cos α化成正、余弦．

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （sincos、sincos、sincos三个式子知一可求二） (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ= sin

π＝tan4 2asinbcosatanbakb

msinncosmtannmkn（4）齐次式化切法：已知tank，则三、三角函数的图像与性质

学习目标：

1会求三角函数的定义域、值域

2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如ysinx与ycosx的周期是）。 3会判断三角函数奇偶性 4会求三角函数单调区间

5知道三角函数图像的对称中心，对称轴

6 知道yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)的简单性质 （一） 知识要点梳理

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

2,,3,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线2和余弦曲线在一个周期内的图象。

3 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y-52--2-32-2o3222523724x

y=cosx-3-4-721-1o2322523724x

2、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是1,1， 对ysinx，当x2k最小值－1；

对ycosx，当x2kkZ时，y取最大值1，当x2kkZ时，y取最小值－1。

（3）周期性：ysinx，ycosx的最小正周期都是2； （4）奇偶性与对称性：

①正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线

2kZ时，y取最大值

1；当x2k3kZ时，y取2xk2kZ；

②余弦函数ycosx(xR)是偶函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线2（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为xkkZ；

图象与x轴的交点）。 （5）单调性：

3ysinx在2k,2kkZ上单调递增，在2k,2kkZ单调

2222递减；

ycosx在2k,2kkZ上单调递增,在2k,2kkZ上单调递减。特别提

醒，别忘了kZ！

3、正切函数ytanx的图象和性质： （1）定义域：{x|x2k,kZ}。

（2）值域是R，无最大值也无最小值；

4 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,0kZ，特别提醒：正(余)切型函数的对2称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正

弦、余弦函数的不同之处。 （4）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注意在整个定义

22域上不具有单调性。

4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 性 质 函 数 ysinx ycosx ytanx 图象 定义域 值域 R R xxk,k 2R 1,1 当x2k时，1,1 k当x2kk时， 2ymax1；当ymax1；当x2k 最值 x2k2 k时，ymin1． 既无最大值也无最小值 k时，ymin1． 周期性 奇偶性 2 2  奇函数 奇函数 偶函数 在2k,2k 22单调性 在2k,2kk上是增函数；k上是增函数；在 2k,2k 3 2k,2k22在k,k在 22k上是减函数． k上是增函数． 5 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

k上是减函数． 对称中心k,0k 对称性 对xk对称中心对称中心称轴2k k,0k 2对称轴xkk k,0k 2无对称轴 5、研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的x看成ysinx中的x。

函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。 （1）定义域：R （2）值域：[-A, A] （3）周期性：T2

||①f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T②f(x)Atan(x)的最小正周期都是T2。 ||。 ||（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的

≤x＋≤2k＋，k∈z解得； 223单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。

22在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

如函数ysin(2x)的递减区间是______

3单调增区间可由2k－（答：

解析：y=，所以求y的递减区

间即是求的递增区间，由得

，所以y的递减区间是

6 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

四、函数yAsinx的图像和三角函数模型的简单应用

一、 知识要点

1、 几个物理量： ①振幅：；②周期：⑤初相：．

2、 函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确

定.

函数ysinx，当

2；③频率：f1；④相位：x；2xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为

ymax，则

11x2x1x1x2ymaxyminymaxymin22，，2．

3、函数yAsin(x)图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，,,23,22求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数y＝sinx的图象经变换可得到yAsinx＞0的图象

左（右） 横坐标 纵坐标 ysinx 伸（缩）A倍 ysinx

伸（缩）倍

1平移 纵坐标 yAsinx 伸（缩）A倍

左（右） 平移 横坐标 ysinx 纵坐标 1伸（缩）A倍 伸(缩)倍

 y=sinx y=sinx左（右）ysinx 纵坐标 横坐标 yAsinx平移 伸（缩）A倍 伸（缩）倍  横坐标 yAsinx yAsinx伸（缩）Ay=sinx 倍

纵坐标

伸（缩）1yAsinx 倍

左（右） 平移 左（右） yAsinx 横坐标 平移 伸（缩）1倍



7 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

5、函数yAsin(x)b的图象与ysinx图象间的关系：①函数ysinx的图象向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得ysinx的图象；②函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，得到函数ysinx的图象；③函数ysinx图

象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；④函数（b0）或向下（b0）平移|b|个单位，得到yAsinxbyAsin(x)图象向上的图象。

要特别注意，若由ysinx得到ysinx的图象，则向左或向右平移应平移|单位，

π

如要得到函数y＝sin(2x－ )的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )

3

ππ

(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位

33

ππ

(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位

66

6、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。

|个三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin； ⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin； ⑸tantantan  （tantantan1tantan）；

1tantan8 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

⑹tantantan  （tantantan1tantan）．

1tantan ；

如

tan20otan40o3tan20otan40o（答案：3 ）

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2 如

cos2

5π 12

＋cos2

π 12

＋cos

5π 12

cos

π 12

的值等于 ；

5

（答案： ）

4⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

升幂公式1cos22cos2,1cos22sin2 降幂公式cos2 ⑶tan22tan．

1tan23、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asinbcosabsin，

221cos21cos22，sin． 22其中tanb． a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：

的二倍；是的二倍； 224ooooo ；cos ； ②1545306045；问：sin1212()()③；④；4242()()()()；等等.

44①2是的二倍；4是2的二倍；是如[1]tan⑤

21,tan,则tan . 54449 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

（答案：

3 ） 2244π3π

[2]若cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝－ ，且 ＜α－β＜π， ＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，

5522cos2β＝_____.

7

（答案：－ ，－1）

25[3]已知（答案：

sincos21,tan, 则tan2 ；

1cos231 ） 8（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基

础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。

如sin50o(13tan10o) ；

13oo2cos10sin102sin30o10o2sin40ocos40osin80o22cos10o3sin10oooo解析：原式=sin50sin501oooocos10ocos10osin50cos10cos10cos10cos10

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

1sincossin90tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。有时需要升幂，常用升幂公式

有： ； .如对无理式1cos常用升幂化为有理式. （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如

：

22oocoscossinsin=____________；

sincoscossin=____________；

__；1tantan___________； tantan__________tantan____________；1tantan___________；

sincos____________；2sincos____________； 22cos2sin2____________；2cos21____________；2sin21____________；

10 / 11

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

1cos ；1cos ；

2tan ；1tan2 ； asinbcos ；（其中tan ；）

（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化

低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。

11 / 11