(完整版)指数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。 当n是奇数时，nana，当n是偶数时，nan|a|2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

n*

a(a0)

a(a0)amnnam(a0,m,nN*,n1)mna1armn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）a·aarrs (a0,r,sR)；

rsrs (a)a（2） (a0,r,sR)；rrs(ab)aa （3）

(a0,r,sR)．

x（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函

数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)a(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)a(a0且a1)，总有f(1)a；

指数函数·例题解析

xx

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝3

12x(2)y＝2x21(3)y＝33x1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

（1）y2练习：

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]

A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)， 则得b＜a＜1＜d＜c． 练习：指数函数①( ).

②

满足不等式

,则它们的图象是

1x4|x|； （2）y()； （3）y4223xx11；

【例3】比较大小：

(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.645132()2．

(3)4.54.1________3.73.6

1213253849解(1)∵22，322，542，882，9162，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．38592132解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2 413∴0.65＞()2．245

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 练习： （1）1.7

2.5

与 1.7 ( 2 )0.83

0.1与0.80.2

( 3 ) 1.7

0.3

与 0.9

3.1

（４）

3.5

2.1和

2.72.0

【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1解ann1naa1n(n1)当0＜a＜1，∵n＞1，1＞0，n(n1)＜1，∴n1an＜nan11当a＞1时，∵n＞1，＞0，

n(n1)∴a∴a1n(n1)1n(n1)＞1，n1an＞nan1【例5】作出下列函数的图像：

1(1)y＝()x12(2)y＝2x－2，

(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x|

11解 (1)y＝()x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．22 1x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y

＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

ax1【例8】已知f(x)＝x(a＞1)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)

a1

证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解 (1)定义域是R．

ax1ax1f(－x)＝xx＝－f(x)，

a1a1∴函数f(x)为奇函数．

ax11yy1(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有ax＝＞0－1＜y＜1，

y11ya1即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

axl1ax212(axlax2)＝x1x1＝x，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)xala2(al1)(a21)(ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．单元测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

111111、化简12321216128124122，结果是（ ）

11A、1232211111

B、1232 C、1232 D、1232

21

36a963a9等于（ ）

2、A、a16

44B、a8

C、a4

D、a

23、若a1,b0,且aaA、6bb22,则abab的值等于（ ）

B、2 C、2 D、2

4、函数f(x)a1在R上是减函数，则a的取值范围是（ ） A、a1 B、a2 C、a5、下列函数式中，满足f(x1)A、

2x2 D、1a2 1f(x)的是( ) 211(x1) B、x C、2x D、2x 24x2x6、下列f(x)(1a)a是（ ）

A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数

111137、已知ab,ab0，下列不等式（1）ab；(2)22；(3)；(4)ab3；

ab22ab11(5)中恒成立的有（ ）

33A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

ab2x18、函数yx是（ ）

21A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 9、函数y1的值域是（ ） 2x1A、,1 B、,00, C、1, D、(,1)0,

x10、已知0a1,b1,则函数yab的图像必定不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 11、F(x)12f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( ) x21A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数

12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）

A、na(1b%) B、a(1nb%) C、a[1(b%)] D、a(1b%) 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

xy 。 13、若103,104，则10xynn14、函数y2132x28x1(3≤x≤1)的值域是 。

15、函数y323x的单调递减区间是 。 16、若f(52x1)x2，则f(125) 。

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、设0a1，解关于x的不等式a

18、已知x3,2，求f(x)

2x23x2a2x22x3。

111的最小值与最大值。 4x2xa2xa2(xR)，试确定a的值，使f(x)为奇函数。 19、设aR，f(x)2x1

20、已知函数y

13x22x5，求其单调区间及值域。

21、若函数y4323的值域为1,7，试确定x的取值范围。

xx

ax1(a1) (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明22、已知函数f(x)xa1f(x)是R上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案

一、

题号 答案 二、13、

1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 9 D 10 A 11 A 12 D 3 41992214、,3，令U2x8x12(x2)9，∵ 3≤x≤1,9≤U≤9,

311又∵y为减函数，∴≤y≤39。

3315、0,，令y3,U23x， ∵y3为增函数，∴y323x的单调递减区间

U2U2U9为0,。

16、 0，f(125)f(5)f(53221)220

2x23x2三、17、∵0a1,∴ ya在,上为减函数，∵ axa2x22x3, ∴

2x23x22x22x3x1

111318、f(x)xx14x2x122x2x12x,

4224∵x3,2, ∴则当2x21≤2x≤8. 413x,即x1时,f(x)有最小值；当28,即x3时，f(x)有最大值57。 2419、要使f(x)为奇函数，∵ xR,∴需f(x)f(x)0,

222x122x1,f(x)axaxax0,得∴f(x)ax,由ax21212121212(2x1)2ax0,a1。

211220、令y,Ux2x5，则y是关于U的减函数，而U是,1上的减函数，

3U1,上的增函数，∴y213x22x5在,1上是增函数，而在1,上是减函

x22x51数，又∵Ux2x5(x1)4≥4, ∴y3214的值域为0,。

321、y43232xx2x32x3，依题意有

x2xx(2)323≤71≤2≤4xx2≤2≤4或02≤1, 即，∴ x2xxx(2)323≥12≥2或2≤1由函数y2的单调性可得x(,0][1,2]。

xax11axf(x),f(x)是奇函数； 22、（1）∵定义域为xR,且f(x)xxa11aax1222x1,∵a11,02,即f(x)的值域为1,1；（2）f(x)

ax1ax1ax1（3）设x1,x2R,且x1x2，

ax11ax212ax12ax2f(x1)f(x2)x1x2x10(∵分母大于零，且ax1ax2) x2a1a1(a1)(a1)∴f(x)是R上的增函数。