指数函数知识点总结复习整理

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中

n>1，且n∈N．

*

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。当n是奇数时，

nnana，当n是偶数时，

a(a0)

a|a|

a(a0)

n2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

aa

mnnam(a0,m,nN*,n1)

mn

1a

mn

1

nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

rrrs（1）a·aarsrs(a)a（2）

rrs(ab)aa（3）

(a0,r,sR)；(a0,r,sR)；(a0,r,sR)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、

零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>10[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有

f(1)a；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝3

12x(2)y＝2x21(3)y＝33x1解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

（1）y2练习：

1x4；（2）y()|x|；

23（3）y4x2x11；

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[

A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b

解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．

练习：指数函数①们的图象是(

).

②

满足不等式

,则它]

【例3】比较大小：

(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.6

45132()2．

(3)4.54.1________3.73.6

解(1)∵22，322，542，882，9162，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241

又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．38592132解 (2)∵0.6＞1，1＞()，

241325∴0.6＞()．

2451213253849解

(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞

4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．

说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为

4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.7与0.80.2

2.5

与1.7

3

(2)0.80.1

(3)1.7

0.3

与0.9

3.1

（４）

3.5

2.1和2.7

n12.0【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．解

an

n1n1

当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，

n(n1)aa

1n(n1)＜1，∴n1an＜nan11

当a＞1时，∵n＞1，＞0，

n(n1)∴a∴a

1n(n1)1n(n1)＞1，n1an＞nan1【例5】作出下列函数的图像：

1

(1)y＝()x12(2)y＝2x－2，

(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|

11

解 (1)y＝()x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．

221

是把函数y＝()x的图像向左平移1个单位得到的．

2解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

ax1

【例8】已知f(x)＝x(a＞1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)

a1的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解(1)定义域是R．

ax1ax1

f(－x)＝xx＝－f(x)，

a1a1

∴函数f(x)为奇函数．

ax11yy1x(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有a＝＞0－1＜y＜1，y11ya1即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

axl1ax212(axlax2)x1xx2，(a1＋1)＝x1x1＝x，∵a＞1，x＜x，a＜a12ala2(al1)(ax21)(ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．

单元测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

11111

3216841、化简12121212122，结果是（

1

132A、12

2

4

1

1

32B、12

4

1

1

32）

C、12）



1132D、12

2

3696392、aa等于（A、a16

B、a8C、a4D、a2）D、2

）

3、若a1,b0,且abab22,则abab的值等于（A、6

2

B、2

x

C、2

4、函数f(x)a1在R上是减函数，则a的取值范围是（A、a1

B、a2

C、a2D、1a25、下列函数式中，满足f(x1)A、

1

(x1)2B、x

141

f(x)的是(2)

D、2x

C、2x

）

C、非奇非偶函数

6、下列f(x)(1ax)2ax是（A、奇函数且偶函数

B、偶函数

D、既奇

7、已知ab,ab0，下列不等式（1）a2b2；(2)2a2b；(3)；

11

(4)ab；(5)中恒成立的有（

33

1313a

b

1a1b）

D、4个

A、1个B、2个

）

C、3个

2x1

8、函数yx是（

21A、奇函数非偶函数9、函数yA、,1(,1)0,B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇

1

的值域是（x21）

C、1,D、

B、,00,10、已知0a1,b1,则函数yaxb的图像必定不经过（A、第一象限象限

11、F(x)1



f(x)(

）D、第四

B、第二象限C、第三象限

2

f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则2x1

)

B、可能是奇函数，也可能是

A、是奇函数偶函数

C、是偶函数数

D、不是奇函数，也不是偶函

12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（A、na(1b%)

B、a(1nb%)

）

C、a[1(b%)n]

D、a(1b%)n

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

13、若10x3,10y4，则10xy

114、函数y

3

2

。

。。。2x28x1

(3≤x≤1)的值域是

15、函数y323x的单调递减区间是16、若f(52x1)x2，则f(125)

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤.）

17、设0a1，解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3。

2

2

18、已知x3,2，求f(x)

11

1的最小值与最大值。4x2x19、设aR，f(x)a2xa2

2x1(xR)，试确定a的值，使数。

x22x5

20、已知函数y1

3



，求其单调区间及值域。

f(x)为奇函21、若函数y4x32x3的值域为1,7，试确定x的取值范围。

22、已知函数f(x)ax1

ax1(a1)(1)判断函数的奇偶性；的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。

(2)求该函数

指数与指数函数同步练习参考答案

一、题

1号答

A案二、13、14

、

34199,33

23456789101112

CCDDBCADAAD

，令

U2x28x12(x2)29

U

9

，∵

11

3≤x≤1,9≤U≤9,又∵y为减函数，∴≤y≤39。

33

15、0,，令y3U,U23x2，∵y3U为增函数，∴y323x的单

2

调递减区间为0,。

16、0，f(125)f(53)f(5221)220

三、17、∵0a1,∴yax在,上为减函数，∵a2x3x2a2x2x3,

2

2

∴2x23x22x22x3x1

11

18、f(x)xx14x2x122x2x1

42x132,24

2

∵x3,2,∴≤2x≤8.

则当2x,即x1时,f(x)有最小值；当2x8,即x3时，f(x)有最大值57。

19、要使f(x)为奇函数，∵xR,∴需f(x)f(x)0,

1

23414222x122x1

∴f(x)ax,f(x)axax,由axax0,得

21212121212(2x1)

2ax0,a1。

2112

20、令y,Ux2x5，则y是关于U的减函数，而U是,131上的减函数，1,上的增函数，∴y

3

x22x5

U

在,1上是增函

数，而在1,上是减函数，又∵Ux22x5(x1)24≥4,∴

1y3

x22x5

14

的值域为0,。3

21、y4x32x322x32x3，依题意有

x2xx

(2)323≤71≤2≤4xx

即，∴2≤2≤4或02≤1,x2xxx

(2)323≥12≥2或2≤1

由函数y2x的单调性可得x(,0][1,2]。

ax11ax22、（1）∵定义域为xR,且f(x)xf(x),f(x)是奇函xa11a数；

ax1222

（2）f(x)x1x,∵ax11,0x2,即f(x)的值域为

a1a1a11,1；

（3）设x1,x2R,且x1x2，

ax11ax212ax12ax2

f(x1)f(x2)x1x2x10(∵分母大于零，且x2

a1a1(a1)(a1)ax1ax2)

∴f(x)是R上的增函数。