指数与指数函数知识梳理

【考纲要求】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 4.掌握指数函数图象：

5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】

指数与指数函数

指数的概念 指数运算性质

指数函数的图像与图象与性质

【考点梳理】

考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念

anaaanZ*n个a

a01a0an1(a0,nZ*)an(2)运算法则 ①aaa②ammnmn；

namn；

ammn③namn，a0； amm④abab.

m第1页 共7页

考点二、根式的概念和运算法则 (1)n次方根的定义：

n*

若x=y(n∈N，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. 要点诠释：

n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为

ny；零的奇次方根为零，记为n00；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为

n00.

(2)根式的意义与运算法则

(ny)ny

na,(n为奇数) an|a|(n为偶数)*

考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，mN，且

m为既约分数，分数指数幂可如下定义： nana a(na)mnam

mn1na-mn1amn

考点四、有理数指数幂的运算性质

a0，b0，,Q

(1)aaa;

(2)(a)a; (3)(ab)ab;

当a>0，p为无理数时，a是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4p

(4)2(44)2；

(3)幂指数不能随便约分.如(4)(4). 考点五、指数函数 (1)定义：

2412第2页 共7页

函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质： y=a 图象 ①定义域R，值域 （0，+∞） 01时图象 xx

0 ②a=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 性质 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0时，a>1 xx>0时，0【典型例题】

类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知35c，且【解析】

abx④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，00时，a>1 x112，求c的值。 ab1由3ac得logc3a1alogc31logc3a111同理可得logc52logc3logc52

bablogc152c215举一反三：

【变式】计算下列各式：

c0c15【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；

700.2542263(1)1.5()82(23)()3；

631313700.25(42(323)6； (2))()8861(3)

a8aba23ab4b23234313(12313b3)a. a1122231【解析】(1)原式()3242423()32427110；

33(2)原式=81(1)()31(2)2(2)(3)22第3页 共7页

3141413612631442233112；

(3)原式a(a8b)(a)2ab(2b)132131313213a131313a13a111333133(a8b)133a.

a2b(a)(2b)类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.

2x3|x|xx

(1)y；(2)y=4-2+1；(3)y()；(4)yax122【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，2≠-1).

x

2x1x1(a为大于1的常数)

(12x)11xx

1∵ y，又∵ 2>0， 1+2>1， xx121211， ∴ 110， xx12121∴ 011， ∴值域为(0，1). x12123x2xx(2)定义域为R，y(2)21(2)，

24133xx∵ 2>0， ∴ 2 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，

2443∴ 值域为[,).

4∴ 0(3)定义域为R，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0， ∴ 0y()(4)∵

32|x|1，∴ 值域为(0，1].

2xx110 ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， x1x12x1x1x1x10且1，∴ ya又∵

x1x11且ya2x1x1a，

∴值域为[1，a)∪(a，+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中

x1211不能遗漏. x1x1举一反三：

【变式】求下列函数的定义域： (1)y33-x (2)y2x-1 (3)y1-ax(a0,a1)

【解析】(1)-，3 需满足3-x≥0，即x3 (3)0,+

为使得函数有意义，需满足2-1≥0，即2≥1，故x≥0 (4)a>1时，-，0；0第4页 共7页

x

x

例3．判断下列各数的大小关系：

2 (1)(41-22.5012.53)3,3,(3) (2)2，(2.5)，(2)

(3)1.080.3

与0.983.1

(4)a2与a3(a0,a1)

【解析】 (1)(121-2413)3<(3)<3 (2)(2)2.5<(2.5)0<22.5

(3)1.080.3

>1>0.983.1

(4)a>1时，a2a3 0【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；

(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；

(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1). 举一反三：

【变式1】（2015 西安模拟）已知a3，b3，ce，则a,b,c的大小关系为（ Aa.bc B.acb C.bca C.bac 【答案】D

【解析】解：因为函数yx是R上的增函数,且3e1 所以3e1即bc1

构造函数fxx33x则f30， f'x3x23xln3

f'32727ln30

f'44881ln30

所以函数fx在3,4上单调递减. ff30330即33ab

又

ee3 ca

综上bac.

【变式2】求函数y3x23x2的值域及单调区间.

【解析】设u=-x2+3x-2， y=3u

，

其中y=3u

为R上的单调增函数，u=-x2

+3x-2在x(,32]上单增，

u=-x2

+3x-2在x[32,)上单减，

则y3x23x2在x(,3]上单增，在x[322,)上单减.

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）

23211又u=-x+3x-2(x)， y3x3x2的值域为(0,34].

24412

例4.化简：a-2aa

12a3-a3,a1【解析】a-2aaa-aa-a1 2a3-a3,0a143232313223134323类型四、判断函数的奇偶性

例5．判断下列函数的奇偶性：f(x)(11)(x) ((x)为奇函数) x212【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵(x)定义域关于原点对称， 且f(x)的定义域是(x)定义域除掉0这个元素)，

112x12x111令g(x)x ，则g(x)x21212x22x12212(2x1)1111111()g(x) xxx221212212∴ g(x)为奇函数， 又 ∵(x)为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 举一反三：

【变式】判断函数的奇偶性：f(x)【解析】定义域{x|xR且x≠0}，

xx. x212112x12x1)x()x() 又f(x)x(x21212x22x122x1111111)x(1x)x(x)f(x)， x(x221212212∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题

例6.（2015 贵阳二模）函数ya(a0,a1)与yx的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）

xbAb.a0 B.ab0 C.ab1 D.loga2b

【答案】D

【解析】由图像可知，a>1,b<0;所以loga20b 故选D.

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【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

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