第四章指数函数与对数函数
4.1 指数 课后篇巩固提升
合格考达标练
1.(2021天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是
( )
A.a2·a3=a6 C.√a8=a 答案D a,a≥0,8解析a2·a3=a5,故A错误;(3a)3=27a3,故B错误;√a8=|a|={故C错误;(-2a2)3=-8a6,故D正确.故
-a,a<0,选D.
2.(2021湖北武汉高一期中)若a<0,则化简a√-得
𝑎1
8
B.(3a)3=9a3 D.(-2a2)3=-8a6
( )
D.√𝑎
A.-√-𝑎 答案A B.√-𝑎 C.-√𝑎 解析∵a<0,∴a√-𝑎=-√𝑎2×√-𝑎=-√𝑎2(-𝑎)=-√-𝑎.故选A.
3.(2021福建福州三中高一期中)已知x2+𝑥-=3,则x+x-1的值为( ) A.√5 答案C 解析由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,可得x+x-1=±√5.故选C. 4.(1)-(1-0.5-2)÷()的值为( )
28A.-
3110
27
2
3
111
2
B.1 C.±√5 D.±1
B.
3
1
C. 3
4
D.
3
7
答案D 3242解析原式=1-(1-2)÷=1-(-3)×(2)
9
=.故选D.
3
7
5.若√4𝑎2-4𝑎+1=1-2a,则a的取值范围是 . 答案(-∞,2]
解析∵√4𝑎2-4𝑎+1=√(2𝑎-1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤2.
6.若α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
1
1
1
答案 2
4115解析利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2·2=2
5
1
αβα+β
=2=,(2)=2=2.
4
-2
1
αβαβ
1
57.化简求值:
(1)(4)-(9.6)0-(8)+(3);
(2)(𝑎2·√b2)-3÷√b-4·√a-2(a>0,b>0).
31
12
23
9
12
27-3
2
22
解(1)原式=[(2)]-1-[(3)]+(3)=2-1-9+9=2;
(2)原式=𝑎
-32
322322
3441
·b-2÷
b-2·𝑎-2
1
=a-1·b0=𝑎.
等级考提升练
1
8.(2021河北张家口张垣联盟高一联考)将根式A.𝑎-8 答案A 解析√𝑎√𝑎√𝑎𝑎1
√𝑎√𝑎√𝑎𝑎
化简为指数式是( ) D.𝑎-4
3
B.𝑎8
1
C.𝑎-8
7
=𝑎
111++-1248=𝑎,故选A.
1
1
-
189.(2021河南开封高一期中)已知正数x满足𝑥2+𝑥-2=√5,则x2+x-2=( ) A.6 答案B 解析因为正数x满足𝑥+𝑥=√5,所以(𝑥+𝑥)2=5,即x+x-1+2=5,则x+x-1=3,所以(𝑥+𝑥-1)=9,即x2+x-2+2=9,因此x2+x-2=7.故选B.
10.(多选题)(2021河北唐山一中高一期中)下列计算正确的是( )
3
A.√(-3)4=√-3 12
12
B.7 C.8 D.9
-
1212
-
12
2
B.(𝑎𝑏)(-3𝑎𝑏)÷C.√√9=√3 33
1
23121213
13
𝑎𝑏
1656
=-9a(a>0,b>0)
D.√-2√2=-23 答案BC 123
解析√(-3)4=√34=√3,故A错误;
123
(𝑎3𝑏2)(-3𝑎2𝑏3)÷
2111
1
𝑎6𝑏6 3
15
2
=-9𝑎211115
3+2-6𝑏2+3-6=-9a,故B正确;
√√39=91
6
=(32
1)=31
6
3=3√3,故C正确;
3
√-2√2=(-2√2)111311
3=(-2×22)3=(-22)3=-22,故D错误.故选BC.
11.已知x2+x-2=2√2,且x>1,则x2-x-2的值为 A.2或-2 B.-2
C.√6
D.2
答案D 解析(方法一)∵x>1,∴x2>1.
由x-2+x2=2√2,可得x2=√2+1, ∴x2-x-2=√2+1-1√2+1=√2+1-(√2-1)=2.
(方法二)令x2-𝑥-2
=t, ∵x-2+x2=2√2, ∴由①2-②2,得t2=4.∵x>1,∴x2>x-2, ∴t>0,于是t=2,即x2-x-2=2,故选D.
12.(多选题)(2021江苏扬州邗江高一期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(A.-√𝑥=(-𝑥)1
2 B.√y6
2=𝑦1
2(y<0) 3
C.𝑥-1
3=
1D.[√3
4
(-𝑥)2]=𝑥1
3√x(x≠0)
2(x>0)
答案CD 解析对于选项A,因为-1
√𝑥=-𝑥2(x≥0),
而(-𝑥)12
=√-𝑥(x≤0),所以A错误;
对于选项B,因为√y6
2=-𝑦1
3(y<0),所以B错误; 对于选项C,𝑥-
13
=
13√x(x≠0),所以C正确;
33
4对于选项D,[√(-𝑥)2]=𝑥2×13
1
3×4=𝑥2(x>0),所以D正确.
13.若a>0,b>0,则化简√𝑏3√𝑎
2
𝑎
𝑏
6的结果为 .
答案1 解析√𝑏3
𝑎2
𝑏3𝑎
𝑎√𝑏6=
√𝑏3𝑎
212𝑎
(𝑏6)=√𝑎𝑏3=1.
14.化简:(2-a)[(a-2)-2(-𝑎)11
2]2= . 答案(-a)1
4
( )
① ②
) 3
解析由已知条件知a≤0,则(a-2)-2=(2-a)-2,
所以原式=(2-a)[(2-a)·(-𝑎)] =(2-a)(2-a)-1(-𝑎)415.化简求值:
(1)0.125−(8)+[(-2)]+(√2×√3);
1
(2)(516)0.5
36
+√(-10)2-2√3×√27-4π0÷(4).
-1
-13
1
-2
1122=(-𝑎).
321490
2
3
6
解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得
3
906322
0.125−()+[(-2)]+(√2×√3)
8-
13=[(2)]−()+(2)+(2×3)
8=2-1+8+(2)(3) =2-1+8+8×9=81.
(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得 (5)0.5+√(-10)2-2√3×√27-4π0÷() 164
6
1
2-3-31
90
2
32
1213
6
6
136
1
3-1
=[(2)]
9494
0.534
+10-2√3×(3)-4× 4
134
3
1
6
3
=+10-2√3×√3-3 =+10-6-3=. 16.已知a2x=√2+1,求解∵a2x=
√
𝑎3𝑥+𝑎-3𝑥𝑎𝑥+𝑎-𝑥
1的值.
a2x+a-2x=2
√2,∴
𝑎3𝑥+𝑎-3𝑥𝑎𝑥+𝑎-𝑥
2+1,∴a-2x=√2+1=√2-1,即=
(𝑎𝑥+𝑎-𝑥)(𝑎2𝑥+𝑎-2𝑥-1)
𝑎𝑥+𝑎-𝑥
=a2x+a-2x-1=2√2-1.
新情境创新练
17.(2021黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x满足3×16x+2×81x=5×36x,则x的值为 . 答案0或2
解析因为3×16x+2×81x=5×36x,
所以3×24x+2×34x=5×(2×3)2x,则3×24x+2×34x=5×22x×32x,所以3×24x+2×34x-5×22x×32x=0,即(3×22x-2×32x)(22x-32x)=0,所以3×22x-2×32x=0,或22x-32x=0,解得x=2或x=0.
1
1
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