双曲线练习题经典含答案

一、选择题：

1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( A )

2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ B ） A．x﹣y=1 B．x﹣y=2 C．x﹣y= D．x﹣y= 3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（ B ） A．B．C．或D．

22y2yxx222224.已知椭圆2a＋2b＝1（a＞b＞0）与双曲线a－b＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） 6621 A．2 B．2 C．6 D．3 5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）

2

2

2

2

2

2

2

2

A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双

曲线的离心率为（ A ）

A．2 B． C． D．

2y2y2x216x7．已知双曲线2的圆相切，则双曲1的两条渐近线与以椭圆1的左焦点为圆心、半径为

5 9259a线的离心率为（ A ）

46 D． 358．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( B )

5A．5 B．

34C．

x2y21(m0,n0)的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的9．已知双曲线

mn距离为6，则m等于( D ) 13 A．9 B．4 C．2 D．,3

10．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足

uuuuruuuuruuuuruuuurMF1gMF20,|MF1|g|MF2|2,则该双曲线的方程是( A )

－y＝1 B．x－＝1 －＝1

9711．设F1，F2是双曲线x－( C )

A．42 B．83 C．24 ?D．48

12．过双曲线x－y＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周

2

2

2

2

2

y2y2

－＝1

3

y2

＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于24

y2

长是( C )

A．28 B．14－82 C．14＋82

D．82

13．已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，

B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ D ） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 14．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若3|F1B|=|F2A|，则该双曲线的离心率是（ C ） A． B． C． D．2

y21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。15．过双曲线x 22A．1 B．2 C．3 D．4

16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b为半径的圆与x轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ C ） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

17．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A．4 B． C． D．

18．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B ） A．3 B．2 C． D． 19．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为( B ) A． B．C．（x > 0） D．

20.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为， 则取值范围为（ D ） A. B. C. D.

x2y2b221.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆a21(ab0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )

1A．3

1B．2

3C．3 2D．2 x2y222.双曲线221(a0,b0)过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB

ab为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A ) A．（2，+∞）

B．（1，2）C．（

3，+∞） 2D．（1，

3） 223.已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ）

A. （） B. （1，） C. （） D. （1，） 5＋1xy24．我们把离心率为e＝的双曲线2－2＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线

2ab2

2

x－

2

2y2

＝1是黄金双曲线； 5＋1

2

②若b＝ac，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( D)

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：

25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为__ ___ e13________．－2

2

y2

x2y2

27．已知点P是双曲线2－2＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2 分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内

ab切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝__ ______. b

2

x2y2

28．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、 F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使

absin∠PF1F2a＝，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1，2＋1)

sin∠PF2F1c29.已知双曲线x﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为 ．7 三、解答题：

2

y22

30．已知曲线C：＋x＝1.

λuuuruuur(1) 由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足FP3EP，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆

吗？请说明理由；

uuuruuur9(2) 如果直线l的斜率为2，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又MAgMB，求曲线C2的方程．

31．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为. （Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围 32.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围． 33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

y22

30.已知曲线C：＋x＝1.

λuuuruuur(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足FP3EP，求点P的轨迹．P的轨迹可能

是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l的斜率为2，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又

uuuruuur9MAgMB，求曲线C的方程．

2uuuruuur解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，∵FP3EP,，

x0x,∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴2

yy.03y04y422

代入＋x0＝1中，得＋x＝1为P点的轨迹方程．当λ＝时，轨迹是圆．

λ9λ9(2)由题设知直线l的方程为y＝2x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

2

y2x2,2

联立方程组y2消去y得：(λ＋2)x－42x＋4－λ＝0.

x21.∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， 4－λ

∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝，

λ＋2

uuuruuur3(4－λ)而MAgMB＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋2x1·2x2＝3x1x2＝，

λ＋2

4－λ3y2∴＝－，解得λ＝－14.∴曲线C的方程是x－＝1. λ＋2214

31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.

（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围 解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得

故双曲线的方程为. （2）将代入得

由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. ① 设，则 ，由得， 而 .

于是，即解此不等式得 ② 由①+②得 故的取值范围为

2

32. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线C的方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

ab由已知得：a＝3，c＝2，再由a＋b＝c，∴b＝1， ∴双曲线C的方程为－y＝1.

3

(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入－y＝1，

3得：(1－3k)x－62kx－9＝0.

2

2

2

2

2

2

x2

2

x2

2

Δ＝36?1－k?>0，62k由题意知x＋x＝<0，

1－3k－9xx＝1－3k>0，

2

1－3k≠0，

2

AB2

AB2

解得

3

∴当3

62k(3)由(2)得：xA＋xB＝2，

1－3k22

∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝2.

1－3k∴AB的中点P的坐标为

232k2，2. 1－3k1－3k

1

设直线l0的方程为：y＝－x＋m，

k42

将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝2.

1－3k∵

32

33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1， 又a﹣c=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y=1；

22

（Ⅱ）设P（m，n），可得+n=1，即有n=1﹣，

2

2

2

由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t）， 由P，A，M共线可得，kPA=kMA，即为=， 可得s=1+，

由P，B，N共线可得，kPB=kNB，即为=，可得s=﹣1． 假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）． 可得QM⊥QN，即有?=﹣1，即st=﹣4． 即有[1+][﹣1]=﹣4，

化为﹣4m=16n﹣（4﹣m）=16﹣4m﹣（4﹣m）， 解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．

2

2

2

2

2