广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测数学试卷 含答案

顺德区2021届高三第二次教学质量检测数学试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x-7≤8-2x），则A∩B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}2．设复数z满足z（1＋i）＝i，则z在复平面内对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校高一学生选课时，要求从政治、地理、化学、生物四门课程中选择两科进行选修，甲乙两人所选课程中完全不同的选法的种数是（）A．36B．24C．12D．．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是（）A．“羡除”有且仅有两个面为三角形B．“羡除”一定不是台体C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”D．“羡除”至多有两个面为梯形5．2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A、B两个的医疗科研1机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为3（A．19）B．13C．59D．6．下列函数中，其图象与函数y＝ln（x＋1）的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1-x）B．y＝ln（3-x）C．y＝ln（1＋x）D．y＝ln（3＋x）7．已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则APAB的取值范围是（A．[2，6]B．[2，4]C．（2，4）D．（0，4）8．已知函数f（x）＝ln（2|x|-1）＋x2-1，则不等式xf（x-2）＜0的解集是（）A．（-∞，0）∪（2，3）B．（-3，-1）∪（0，＋∞）C．（-∞，0）∪（1，2）∪（2，3）D．（-3，0）∪（0，2）∪（2，＋∞）二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）x2y21，则下列说法正确的是（9．已知双曲线的方程为

169A．焦点为(7,0)C．离心率e）B．渐近线方程为3x±4y＝0D．焦点到渐近线的距离为4π）的部分图像如图所示，则（210．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，||）1πA．f(x)sin(2x)3ππC．f(x)f(x)33πB．f(x)cos(2x)6ππD．f(x)f(x)332x1,0x111．已知函数f(x)，方程f（x）-x＝0在区间[0，2n]（n∈N*）上的所有f(x1)1,x1根的和为bn，则（A．f（2020）＝2019C．bn＝22n-1＋2n-1

）B．f（2020）＝2020D．bnn(n1)212．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则（A．logab＞logbaB．216ab）C．ab＜ba

第Ⅱ卷D．2a-2b＞2-b-2-a

三、填空题：本题共4小题13．写出曲线x2＋y2-2x-4y＝0的一条对称轴所在的直线方程________．14．将数列{3n＋1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕原点逆时针旋转π43后与单位圆x2＋y2＝1交于点p,，则sin2α＝________．45516．三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA＝PB，则△PAB面积的最大值为________．四、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在①sinA＝2sinB，②a＋b＝6，③ab＝12．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinABcsinA，c＝3，2________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在等比数列{an}中，a3-a2＝6，且a1，a2＋1，a3-2成等差数列．（I）Sn为{an}的前n项和，证明2Sn＝3an-1；（II）Tn为{an}的前n项的积，求数列{Tn}中落入区间[310，321]中项的个数．19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PB＝PD．（I）证明：BD⊥平面PAC（II）若PA⊥CD，2PA＝CD，求二面角D-PC-A的余弦值．20．某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段．常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场2比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军．（“5局3胜”制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束）．下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表．季度1季度2季度3季度比赛次数232730主场次数131116获胜次数162123主场获胜次数11813（I）根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？（Ⅱ）已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互，以甲队常规赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记X为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的局数，求X的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率．n(adbc)22附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)P（K2≥k）k0.1002.7060.0503.8410.0255.0241121．已知函数f(x)(x2ax)lnxx2ax（a为常数）.24（I）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若存在x0≥1使得f（x0）＜0，求a的取值范围．x2y2122．设椭圆C：221（a＞b＞0）的离心率e，过椭圆C上一点P（2，3）作两条ab2不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M．（I）求椭圆C方程．（II）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得△MNP的面积为定值，如果存在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由．3顺德区2021届高三第二次教学质量检测数学参一、单项选择题：题号12345678答案BADDCBBC二、多项选择题：题号9101112答案BCABDBCAD三、填空题：13．只要经过点（1，2）的直线即可．如x＝1，y＝2x等14．3n2＋n15．72516．23四、解答题：17．【解析】解法一：由asinAB2csinA结合正弦定理可得：sinAsinAB2sinCsinA因为sinA≠0，所以sinAB2sinC因为sinAB2sin(2C2)cosC2所以cosC2sinC2sinCC2cos2因为cosC20，所以sinC122因为C∈（0，π），所以C230，所以C＝60°解法二：由asinAB2csinA结合正弦定理可得：sinAsinAB2sinCsinA因为sinA≠0，所以sinAB2sinC因为AB2(0,2)，C（0，π），所以ABAB2C或者2C（舍去）所以A＋B＝2C，所以C＝60°由余弦定理得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以9＝a2＋b2-ab选择条件①的解析：根据sinA＝2sinB，结合正弦定理得a＝2b联立方程组9a2b2ab解得：a23a2b

b3所以△ABC的面积S12absinC332选择条件②的解析：4联立方程组9a2b2ab，化简得：ab6ab9解得aab63b3（注：没有解出a，b，则需说明△ABC存在）所以△ABC的面积S1932absinC4选择条件③的解析：由9＝a2＋b2-ab≥2ab-ab＝ab得ab≤9与ab＝12矛盾，所以问题中的三角形不存在18．【解析】（Ⅰ）因为a1，a2＋1，a3-2成等差数列，所以a1＋a3-2＝2a2＋2设等比数列{an}的公比为q，则aq21a1q6解得aa222a1＝1，q＝31a1q1q2即{an}为首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n-1

因为San

1(1qn)11q3n133n1

2

所以2Sn＝3n-1＝3an-1a012nn(n1)（Ⅱ）T1na1a2a3n33333012(n1)32由310n(n1)32321得10n(n1)221解得5≤n≤7所以数列{Tn}中有3项落入区间[310，321]19．【解析】（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为O，连接PO，因为PB＝PD，所以BD⊥PO因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC（Ⅱ）因为BD⊥平面PAC，PA平面PAC，所以PA⊥BD又因为PA⊥CD，CD∩BD＝D，CD，BD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD取BC的中点E，分别以AE，AB，PA为x，y，z轴建立空间坐标系如图设PA＝a，则CD＝AC＝2a，BD23a，所以PC(3a,a,a)，PD(0,2a,a)设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z)，则由n3axayaz

PCnPD

00得02ayaz0，令y3，得n(1,3,23)由因为BD⊥平面PAC，所以BD为平面PAC的一个法向量，且BD(3a,3a,0)5nBD23a1||设二面角A-PC-D的平面角为θ，则|cos||||n||BD|423a4由图可知θ为锐角，所以cos1420．（1）根据表格信息列出2×2列联表如下甲队胜甲队负合计主场客场合计232286081220404080n(adbc)280(3212288)216k1.0672.706(ab)(cd)(ac)(bd)6020404015所以不能在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“比赛胜负”之间有关．（2）依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为X的所有可能取值为3，4，531287P(X3)()3()3441631139045P(X4)C32()3C32()344442561282723212P(X5)C4()()44256128603804所以X的分布列为XP3714512852712833145923312“甲队获得这轮比赛胜利”的概率为P()3C32()3()C4()()4444451221．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为f′（x）＝（x-a）lnx13当a＝0时，f′（e）＝e，f(e)e2，切线方程为yexe244331339令x＝0，解ye2，令y＝0，解得xe所以Se2ee34424432（2）若要存在x0≥1使得f（x0）＜0，则只需f（x）在[1，＋∞）上的最小值小于0即可当a≤1时，f′（x）＞0在（1，＋∞）恒成立，函数f（x）在x＝1处取得最小值，所以11fmin(x)f(1)a0，解得a446当a＞1时，函数f（x）在[1，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，则当x＝a时取得极小值也是最小值，3由f(a)31min(x)f4a22a2lna0解得ae2综上可得：a的取值范围是(,14)(e32,)ec1a22．【解析】（1）依题意得2a2b2c249a2b21解得a＝4，b23，c＝2所以椭圆C：x2y216

121（2）解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以设直线PA、PB的方程为y-3＝k（x-2），y-3＝-k（x-2）所以A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程3x24y248y3k(x2)消元得：（3＋4k2）x2-8k（2k-3）x＋4（4k2-12k-3）＝016k224k8k2所以x24k6

1234k2，所以x134k2，所以y(x12k212k9

1k12)3

34k28k224k612k2同理得x12k9

234k2，y2

34k2设M（x，y），则xx1x228k26y31y224k2，y12k29

34k2所以yx32，所以点M在直线y32x上所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．此时PN的直线方程为y3332(x2)，即y2x6因为x216y2121消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）y3．2x6所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值（2）解法二：设直线PA、PB的斜率为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2）因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以k1＋k2＝0设直线AB的方程为y＝kx＋b．7联立方程3x24y248b消元得：（3＋4k2）x2＋8kbx＋4b2ykx-48＝0所以x8kb4b24861x234k2，x1x2b34k2，y1y234k2所以y13y23(kx1b3)(x22)(kx2b3)(x12)x2x2)0122(x12)(x2所以2kx1x2＋（b-2k-3）（x1＋x2）-4（b-3）＝0所以2k(4b248)(b2k3)(8kb)4(b3)(34k2)

34k20所以4k2-8k＋3＋2kb-b＝0，所以（2k-1）（2k-3）＋b（2k-1）＝0所以（2k-1）（2k-3＋b）＝0所以k12或2k＝3-b（舍去）直线OM的斜率ky1yOM2333xx．所以点M在直线yx上124k22所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．此时PN的直线方程为y332(x2)，即y32x6x2y2因为16121消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．y32x6所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值8