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§01.集合与简易逻辑知识要点
一、知识结构：
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾：
(一) 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 . 集合的性质：
① 任何一个集合是它本身的子集，记为 A ；= A ； ② 空集是任何集合的子集，记为 A ；
③ 空集是任何非空集合的真子集； 如果A-B，同时B-A，那么A = B. 如果 A^B，B^C，那么 A ：= C .
［注］:①Z= ｛整数｝ (V) Z =｛全体整数｝
(X)
② 已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合 A也是有限集.(X)(例：S=N ；
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A= N ，则 CA= ｛0｝) ③ 空集的补集是全集
④ 若集合 A=集合 B,则 CA = .一，CAB = CS (CB) = D (注：CB = ._ ).
3. ①{ ( x, y)|xy =0，x€ R, y€ R}坐标轴上的点集. ② 殳(x, y) |xyv0, x€ R, y€ R 匸、四象限的点集. ③ 殳(x, y) |xy>0, x€ R, y€ R} 一、三象限的点集. ［注］:①对方程组解的集合应是点集•
f
例：』x+y=3
gx —3y =1
解的集合{(2 , 1)}.
2
②点集与数集的交集是 '■.(例：A ={( x, y)| y = x+1} B={ y|y =x +1} 则 AQB = •_ )
4. ①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n - 1个•③n个元素的非空真 子集有2n- 2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 例：①若a 7=5,则a =2或b =3应是真命题.
解：逆否：a = 2且b = 3，贝V a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② x =1 且y = 2、=. x y =3. 解：逆否：x + y =3
.否命题：=逆命题.
.原命题逆否命题.
=1或y = 2.
.x胡且丫屮2 =' x亠y =3,故x ■ y沁是x泪且y厂2的既不是充分，又不是必要条件
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围 3. 例：若 x '5, : x '5或x 2 . 4. 集合运算：交、并、补.
交：ACIBU {x|x A,且x B} 并：AU B= {x|x A或x B} 补：CUA 二{x U ,且x ' A} 5. 主要性质和运算律
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(1) 包含关系:
A- A,H A,A-U ,GA-U,
A B, B
0 = A C;AP]B A,Af]B B; A U B 二 A, AU B 二 B.
(2) 等价关系：A Bu Af]B 二 A= AUB 二 Bu CJAUB 二U (3) 集合的运算律：
交换律：A B=B A; A B = B A.
结合律:(A B) C 二 A (B C);(A B) C 二 A (B C) 分配律:.A (B C)=(A B) (A C); A (B C)=(A B) (A C) 0-1 律：；」\"A -：」,；」IjA =A,U Pl A = A,U U A=U 等幂律：A A 二 A, A A 二 A.
求补律：An CUA=0 A U CUA=U CJU= 0」CU0 =U
反演律：CU(AnB)= (C UA) U (CUB) C U(AU B)= (C UA) n(QB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集 A的元素的个数叫做集合 A的基数，记为card( A)规定card( 0) =0.
基本公式：
(1) card (A IjB) =card (A) card (B) -card (Ap] B) (2) card (AU BUC)二 card (A) card (B) card (C)
-card (A Cl B) - card (B Pl C) - card (C 门 A) card(AClBnc)
(3) card ( 'UA)= card(U)- card(A)
(二) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1. 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)
① 将不等式化为ao(x-x i)(x-x 2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化
“ +”；(为了统一方便) ② 求根，并在数轴上表示出来；
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③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
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④ 若不等式（x的系数化“ +”后）是“ >0 ”，则找“线”在x轴上方的区间；若 不
等式是“ <0 ”，则找“线”在x轴下方的区间.
+ „n-3 - j + *
.m-2 x x 叱0）的解可以根据各区间的符
（自右向左正负相间） 则不等式a0xn a1xnJ - a2xn^
■ an .0（：：：。）®
号确定• 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式 ax +box>0（a>0）解的讨论.
也=0 A <0 二次函数 y = ax2 +bx +c (a AO )的图象 一兀二次方程 亍 1 I j \\ 有两相异实根 有两相等实根 1 --- a ax +bx+c = O （an0的根 ax +bx+c>0 (a > 0)的解集 ax 十 bx + c v 0
2 2 Xi,X2（Xi CX2） • X c 捲或 X A X } 2Xi =X2 = b 2a b、 无实根 ” 丿xx式-——> J 2a. 0 R (a > 0)的解集 形式, （2）转化为整式不等式（组） （ ） （ ） f(x) g(x) f(x)g(x) 0;^^ 一0二 g(x) f(x)g(x) -0 g(x) = 0 3. 含绝对值不等式的解法 0 = 学习必备 欢迎下载 (1) 公式法：ax+b cc,与ax + b>c(c>0)型的不等式的解法. (2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论. (3) 几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题 4. 一元二次方程根的分布 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 工 0) (1) 根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之 (2) 根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 (三) 简易逻辑 1、 命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、 逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是 简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是 复合命题。 )；p且q(记作 pAq );非 构成复合命题的形式：p或q(记作“ p Vq” p(记作、q”)。 3、 “或”、 “且”、 “非”的真值判断 互逆 (1) “非p”形式复合命题的真假与 F的真 假相 反； (2) “ p且q”形式复合命题当P与q同为真 时 为真，其他情况时为假； (3) “ p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真. 互逆 4、四种命题的形式: 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若「P贝逆否命题：若「q贝Ur p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题; 学习必备 欢迎下载 （2） （3） 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： （原命题二 逆否命题） ① 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ② 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③ 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、 如果已知p= q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若p= q且q= p,则称p是q的充要条件，记为p? q. 7、 反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出 （与已知、公理、定理…盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 ）矛 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容